1、1函数及其表示基础知识梳理1函数的基本概念(1)函数的定义：设 A、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么称 f：AB 为从集合 A 到集合B 的一个函数，记作：y f( x)，xA.(2)函数的定义域、值域在函数 yf(x )，xA 中，x 叫自变量，x 的取值范围 A 叫做定义域，与 x 的值对应的 y 值叫函数值，函数值的集合f (x)|xA叫值域值域是集合 B 的子集(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判
2、断两函数相等的依据2函数的三种表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法3映射的概念一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射另：求复合函数 yf (t)，tq(x )的定义域的方法：若 yf(t) 的定义域为(a，b)， 则解不等式得 aq(x)b 即可求出 yf(q(x)的定义域；若yf(g(x)的定义域为(a， b)，则求出 g(x)的值域即为 f(t)的定义域4函数的单调性(1)定义：一般地，设函数 f(
3、x)的定义域为 I.如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x 2,当 x1x 2 时，都有 f(x1)f(x 2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数；当x1x 2 时，都有 f(x1)f(x 2)，那么就说函数 f (x )在区间 D 上是减函数。(2)单调区间的定义：若函数 f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，则称函数 f(x)在这一区间上具有(严格的 )单调性，区间 D 叫做 f(x)的单调区间注：函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制例如函数 y 分别在(，0)，1x(0，)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(，0)(0，
4、)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(， 0)和(0， )，不能用“”连接函数单调性的判断2(1)定义法：取 值、作差、 变形、定号、下结论(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数在公共的单调区间内有：增函数+增函数= 增函数，增函数-减函数=增函数，减函数+减函数 =减函数，减函数-增函数= 减函数。(3)图象法：利用 图象研究函数的单调性函数的奇偶性与周期性基础知识梳理1奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f (x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有
5、f(x)f (x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数 注：奇、偶函数的定义域关于原点对称2奇、偶函数的性质（1）奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 y 轴对称（2）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反。 （3）若奇函数 f(x)在 x0 处有定义， 则 f(0)0 ，偶函数恒有 .|)()xf判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法3周期性(1)周期函数：对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(xT ) f(x)，那么就称函数 yf(x) 为周期函数，称 T
6、 为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中 存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期注：若 f(xa)f(x)或 f(xa) 或 f(xa) ，那么函数 f(x)是周期函数，其中一个周1fx 1fx期为 T2a；练习检测1(2011江西 )若 f(x) ，则 f(x)的定义域为( )1log122x 1A. B. C. D(0，)0,2(0,3解析 由 log (2x1)0，即 02x11，12解得 x 0.12答案 A2下列各对函数中，表示同一函数的是( )Af(x) lg x 2，g(x) 2lg x Bf( x)lg ，g(x)lg(
7、 x1)lg(x 1)x 1x 1Cf(u) ，g(v) Df(x )( )2，g(x)1 u1 u 1 v1 v x x2答案 C3函数 yf( x)的图象如图所示那么，f(x)的定义域是_；值域是_；其中只与 x 的一个值对应的 y 值的范围是 _解析 任作直线 xa，当 a 不在函数 yf(x )定义域内时，直线 xa 与函数 yf (x)图象没有交点；当 a 在函数 yf (x)定义域内时，直 线 xa 与函数 yf( x)的图象有且只有一个交点任作直线 y b，当直线 yb 与函数 yf( x)的图象有交点，则 b 在函数 yf (x)的值域内；当直线 yb 与函数 yf(x)的图象
8、没有交点， 则 b 不在函数 yf( x)的值域内答案 3,02,3 1,5 1,2)(4,54 求下列函数的定义域：(1)f(x) ；|x 2| 1log2x 1(2)f(x) .lnx 1 x2 3x 4审题视点 理解各代数式有意义的前提，列不等式解得解 (1)要使函数 f(x)有意义，必须且只须Error!解不等式组得 x3，因此函数 f(x)的定义域为3，)(2)要使函数有意义，必须且只须Error!即Error!解得：1x 1.因此 f(x)的定义域为(1,1)5. (2012天津耀华中学月考)(1) 已知 f(x)的定义域为 ，求函数 yf 的定义域；21,)21(x4(2)已知函
9、数 f(32x )的定义域为1,2，求 f(x)的定义域解 (1)令 x2x t，12知 f(t)的定义域为Error!， x 2x ，12 12 12整理得Error!Error!所求函数的定义域为 .1 52 ，0 1，1 52 (2)用换元思想，令 32xt，f(t)的定义域即为 f(x)的定义域，t32x(x 1,2)，1t5，故 f(x)的定义域为1,5 6.(1)已知 f lg x ，求 f(x)；)(2)定义在(1,1)内的函数 f(x)满足 2f(x)f(x)lg(x 1)，求函数 f(x)的解析式审题视点 (1)用代换法求解； (2)构造方程组求解解 (1)令 t 1，则 x
10、 ，2x 2t 1f(t)lg ，即 f(x)lg .2t 1 2x 1(2)x(1,1)时，有 2f(x)f(x )lg(x1)以x 代 x 得，2f(x)f(x) lg(x1)由消去 f(x )得f(x) lg(x1) lg(1x) ，x(1,1)23 13求函数解析式的方法主要有：(1) 代入法； (2)换元法；(3) 待定系数法；(4)解函数方程等7. (1)已知 f(x)是二次函数，若 f(0)0，且 f(x1) f (x)x 1，试求 f(x)的表达式(2)已知 f(x)2f( )2x 1，求 f(x)1x解 (1)由题意可设 f(x)ax 2bx(a0) ，则5a(x 1)2b(
11、x1)ax 2bx x1ax2(2ab)xabax 2(b1)x 1Error!解得 a ，b .12 12因此 f(x) x2 x.12 12(2)由已知得Error! 消去 f ，(1x)得 f(x) .4 x 2x23x8. 求函数 y log (x23x)的单调区间13正解 设 tx 23x ，由 t0，得 x0 或 x3，即函数的定义域为(，0)(3，)函数 t 的对称轴为直线 x ，32故 t 在( ，0) 上单调递减，在 上单调递增(3， )而函数 ylog t 为单调递减函数，由复合函数的单调性可知，函数 ylog (x23x)的单调递13 13增区间是(，0) ，单调递减区间
12、是(3，) 9. 求函数 f(x)log 2(x22x3)的单调区间尝试解答 由 x22x30，得 x1 或 x3，即函数的定义域为(，1)(3，) 令 tx 22x3，则其对称轴为 x1，故 t 在(，1)上是减函数，在(3，)上是增函数又 ylog 2t 为单调增函数故函数 ylog 2(x22x3)的单调增区间为(3，)，单调减区间为(，1)10.(2011江苏 )函数 f(x)log 5(2x1)的单调增区间是_解析 要使 ylog 5(2x1)有意义， 则 2x10，即 x ，而 ylog 5u 为(0，)上的增函数，12当 x 时，u2x1 也为增函数，故原函数的单调增区间是 .1
13、2 ( 12， )6答案 ( 12， )11. 函数 y 在( 1，)上单调递增，则 a 的取值范围是 （ ）x 5x a 2Aa3 Ba3 Ca3 Da3解析 y 1 ，需Error!x 5x a 2 a 3x a 2即Error!a3.答案 C12.已知函数 f(x)对于任意 x，yR，总有 f(x)f(y )f(xy )，且当 x0 时，f (x)0，f (1).23(1)求证：f(x)在 R 上是减函数；(2)求 f(x)在3,3上的最大值和最小值审题视点 抽象函数 单调性的判断，仍须紧扣定义，结合题目作适当变形(1)证明 法一 函数 f(x)对于任意 x，yR 总有f(x)f(y)
14、f(x y )，令 xy0，得 f(0)0.再令 yx，得 f(x)f(x) 在 R 上任取 x1x 2，则 x1x 20，f(x1)f(x 2)f(x 1)f(x 2)f(x 1x 2)又x0 时， f(x)0，而 x1x 20，f(x 1x 2)0，即 f(x1)f(x 2)因此 f(x)在 R 上是减函数法二 设 x1 x2，则 f(x1)f(x 2)f(x 1x 2 x2)f(x 2)f(x 1x 2)f(x 2)f(x 2)f(x 1x 2)又x0 时， f(x)0，而 x1x 20，f(x 1x 2)0，即 f(x1)f(x 2)，f(x)在 R 上为减函数(2)解 f(x)在 R
15、 上是减函数，7f(x)在3,3上也是减函数，f(x)在3,3上的最大值和最小值分别为 f(3)与 f(3)而 f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2.f(x)在3,3上的最大值为 2，最小值为2.对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧 扣单调性的定义， 结合题目所给性质和相应的条件，对任意 x1，x2 在所给区间内比较 f(x1)f(x 2)与 0 的大小，或 与 1 的大小有时根据fx1fx2需要，需作适当的变形：如 x1x 2 或 x1x 2x 1 x2 等x1x2【训练】已知定义在区间(0，)上的函数 f(x)满足 f f (x1)f(x 2)，且当 x1 时，f(x)20.(1)求 f
16、(1)的值；(2)判断 f(x)的单调性；(3)若 f(3)1，求 f(x)在2,9上的最小值解 (1)令 x1x 20，代入得 f(1) f(x1)f(x 1)0，故 f(1)0.(2)任取 x1，x 2(0，)，且 x1x 2，则 1，x1x2由于当 x1 时，f (x)0，所以 f 0，(x1x2)即 f(x1)f(x 2)0，因此 f(x1)f(x 2)，所以函数 f(x)在区间(0， )上是单调递减函数(3)f(x) 在0，)上是单调递减函数f(x)在2,9上的最小值为 f(9)由 f f(x 1)f(x 2)得，f f(9)f(3)，(x1x2) (93)而 f(3)1，所以 f(
17、9) 2.f(x)在2,9上的最小值为2. 1(2011全国 )设 f(x)是周期为 2 的奇函数，当 0x1 时，f (x)2x(1x)，则 f ( ( 52)8A. B. C. D.12 14 14 12解析 因为 f(x)是周期为 2 的奇函数，所以 f f f .故选 A.( 52) (52) (12) 12答案 A2(2011浙江 )若函数 f(x)x 2|xa|为偶函数，则实数 a_.解析 法一 f(x) f(x)对于 xR恒成立， |xa| |xa|对于 xR恒成立，两 边平方整理得 ax0 对于 xR恒成立，故 a0.法二 由 f(1)f(1)，得|a1|a1|，得 a0.答案
18、 0 3. 已知奇函数 f(x)的定义域为2,2，且在区间2,0内递减，求满足：f (1m )f (1m 2)0 的实数 m 的取值范围解 f( x)的定义域为 2,2，有Error!解得1m .3又 f(x)为奇函数，且在 2,0上递减，在 2,2上递减，f(1m ) f(1m 2)f (m21)1mm 21，即2m1.综合可知，1m1.4.已知函数 f(x)是(， )上的奇函数，且 f(x)的图象关于 x1 对称，当 x0,1时，f (x)2 x 1，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当 x1,2时，求 f(x)的解析式；(3)计算 f(0)f(1)f(2) f(2013)的值审题视点
19、 (1)只需证明 f(xT)f(x)，即可说明 f(x)为周期函数；(2)由 f(x)在0,1上的解析式及 f(x)图象关于 x1 对称求得 f(x)在1,2上的解析式；(3)由周期性求和的值(1)证明 函数 f(x)为奇函数，则 f(x)f(x )，函数 f(x)的图象关于 x1 对称，则 f(2x)f(x) f(x)，所以 f(4x) f(2x)2f(2x )f (x)，所以 f(x)是以 4 为周期的周期9函数(2)解 当 x1,2时，2x0,1，又 f(x)的图象关于 x1 对称，则 f(x)f(2x )2 2x 1，x1,2(3)解 f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)f(1
20、)f(1)1又 f(x)是以 4 为周期的周期函数f(0)f(1)f(2)f(2013)f(2 012)f(2 013)f(0)f(1)1.判断函数的周期只需证明 f(xT)f(x )(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为 T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题5. 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，g(x) 是定义在 R 上的奇函数，且 g(x)f(x1)，则 f(2 013) f(2 015)的值为( )A1 B1 C0 D无法计算解析 由题意，得 g(x)f(x 1)，又f(x)是定义在 R上的偶函数，g(x) 是定义在 R上的奇函数，g(x )g(x)
21、，f(x)f (x)，f(x1)f(x1)，f(x)f (x2)，f(x)f(x4)，f(x)的周期为 4，f(2 013)f(1)，f(2 015) f(3)f(1)，又f(1) f(1) g(0) 0，f(2 013)f(2 015) 0.答案 C 6. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x4)f (x)，且在区间0,2上是增函数，则( )Af( 25) f(11)f(80) Bf(80) f(11)f (25)Cf(11)f(80) f(25) Df(25)f (80)f(11)尝试解答 由函数 f(x)是奇函数且 f(x)在0,2 上是增函数可以推知，f(x)在2,2上递增，又f(x4)f(x)f(x 8)f(x4)f(x) ，故函数 f(x)以 8 为周期，f(25)f (1)，f(11)f (3)f(34) f(1)，f(80)f(0)，故 f(25)f(80) f(11)故选 D.答案 D
