1、1常州市第一中学 2017 届高三数学高考前热身卷一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1设集合 ， ，则 =1,0A,123BAB_.0,12. 已知复数 z112i，z 2a2i（其中 i 为虚数单位，aR） 若 z1z2 是纯虚数，则 a 的值为 4 3右图是甲、乙两名同学在五场篮球比赛中得分情况的茎叶图那么甲、乙两人得分的平均分 （填,= ） 。 x甲 乙 4. 以双曲线 的右焦点 为圆心， 为半径的圆恰好与双曲线的21(0,)xyabFa两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为_ . 25. 右图是一个算法的伪代
2、码，其输出的结果为 10116. 有 5 条线段，其长度分别为 1，3，5，7，9现从中任取 3 条，恰能构成三角形的概率为 3107.已知如图正三棱锥 PABC 中，E，F 分别是 AC，PC 的中点，若 AB2，P 到底面 ABC 的距离为 3，则三棱锥 EBCF 的体积为_348.已知实数 满足约束条件 ，则 的最大值为_.,xy152xy13yx759. 已知 且 ，则 的最小值为 。31ba7log3l2abba 2bS0For i From 1 To 10 Step 1SS1i(i 1)End ForPrint S（第 5 题）2【命题意图】本题考查对数性质与对数方程、基本不等式，
3、考查消元思想。【解析】因 ，故 ，由已知等式得 ，从而 ，1ba1log0ba 21logbaa代入得 32 10. 在平面直角坐标系 xOy 中， P 是曲线 C：y e x 上一点，直线 l：x2yc0 经过点 P，且与曲 线 C 在 P 点处的切线垂直，则实数 c 的值为 4ln2 11. 在直角三角形 中， ，若 ，则 AB,90AB 3DABCD 1812. 若 nS为等差数列 na的前 n 项和，且 记 =lgnba，其中x 表示不超10,5aS过 x的最大整数，如 则数列 n的前 2017 项和为 49440.9,lg13. 已知 为单位圆 上的点， 为圆 上两点，函数POMN2
4、6xy，若函数 的最小值为 ，且当点 在单位圆上运动()fx()R()ftP时， 的最大值为 ，则线段 的长度为_ t314. 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b ，c ，已知 ，1sinA且m，sinsiAB且且 ， ，则实数 的取值范围是 m2abc4(,3二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （本题满分 14 分）已知函数 ，设 时 取到最大值2()sin()3cos2,44fxxx()f（1）求 的最大值及 的值；（2）在 中，角 所对的边分别为 ， ，且 ，ABC, ,abc12A2sin
5、siBCA判断 的形状3BA（第 16 题）DCEFGyABCDEFG解：（1）由题意可得：， （3 分） ()cos(2)3cos21in3cos21sin(2)fxxxxx又 ， ， （5 分）,46 故当 ，即 时， ；（7 分）23x12xmax()f（2）由（1）知 ， （8 分）3A又 ， ， （9 分）2sinsiBC2bc ， （11 分）2oabc ，即 ，故 （13 分）()0c所以ABC 是等边三角形（14 分）16. （本题满分 14 分）如图，在四面体 ABCD 中，ADBD ，ABC 90，点 E，F 分别为棱 AB，AC 上的点，点 G 为棱 AD 的中点，且平面
6、 EFG/平面 BCD求证：（1）EF BC；12（2）平面 EFD平面 ABC（1 ）因为平面 EFG平面 BCD， 平面 ABD平面 EFGEG ，平面 ABD平面 BCDBD，所以 EG/BD， 4 分又 G 为 AD 的中点，故 E 为 AB 的中点，同理可得，F 为 AC 的中点，所以 EF BC 7 分12（2）因为 ADBD，由（1 ）知，E 为 AB 的中点，所以 ABDE，又ABC90，即 ABBC ，由（1 ）知，EF /BC，所以 ABEF，又 DEEF E，DE，EF平面 EFD，4ABOD所以 AB平面 EFD， 12 分又 AB平面 ABC，故平面 EFD平面 AB
7、C 14 分17. (本小题满分 14 分)有一块以点 O 为圆心，半径为 2 百米的圆形草坪，草坪内距离 O 点 百米的 D 点有2一用于灌溉的水笼头，现准备过点 D 修一条笔直小路交草坪圆周于 A，B 两点，为了方便居民散步，同时修建小路 OA，OB，其中小路的宽度忽略不计(1)若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；(2)若要在 区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，设弦AB（单位为百米） ，当圆形场地面积最大时，用 表示该面积，并求出该面积x x的最大值(结果保留根号和 )解： 建立如图所示的平面直角坐标系，则 (0,2)D(1)小路的长度为 ，因为OABOA
8、B长为定值，故只需要 最小即可作 于 ，记 ，则Md，224B又 ，故 ，dD 此时点 为 中点A故小路的最短长度为 (百米) 4 分(2)显然，当广场所在的圆与 内切时，ABC面积最大，设 的内切圆的半径为 ，r则 的面积为 ，6 分BC11()22ABSABd由弦长公式 可得 ，所以 ，84d422()4r分设 ，则 ，ABx222(16)()()xxrf（ ）所以 ， 10 分3228416()4()()f又因为 ，即 ，所以 ，12 分0dCD 0d 24,4xABd所以 ，所以 ，2(16)()xfma()()6ff即 的内切圆的面积最大值为 14 分AB2ABODyx518. (本
9、小题满分 16 分)如图，在直角坐标系 中， 分别是椭圆 的xoy,AB2:14xGy左右顶点， 为直线 上的一个动点，过(2,)Pt,0)Rt且点 任意作一条直线 与椭圆 交于 ，直线 分别于直线lCD且PO交于 。,ACD,EF（1 ）当直线 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点时，求 的值；l t（2 ）记直线 的斜率分别是 。,A12k且若 时，求证： 是定值；1t12k求证：四边形 为平行四边形。FBE619. (本小题满分 16 分)已知 ，函数 ， 。0a(ln(1)fxax(xge（1）求函数 的单调区间；)（2）过原点分别作曲线 和 的切线 ，若两切线斜率之积为 1，求证：()yfx
10、()12,l；1ae（3）设 ，且当 时， 恒成立，求实数 的取值()(hxfgx0,)()hxa范围。720. (本小题满分 16 分)各项为正的数列 满足 ，na2*11,()naN(1)当 时，求证：数列 是等比数列，并求其公比；1(2)当 时，令 ，记数列 的前 n 项和为 ，数列 的前 n 项之积为2nbnbnSnb，nT求证：对任意正整数 n， 为定值12nTS证明：(1)由 ，得 ，所以 ，两边同时除以 可1na1a2210nnaa2na得：，2 分2110nna解得 4 分152n8因为 ，所以 为常数，故数列 是等比数列，公比0na152nana为 6 分152(2)当 时，
11、 ，得 ，21na1(2)nna所以 8 分1nnb，10 分12 11231()()()2nnnnnaaT 又 ； 12 分111nnnb所以 ， 14 分2112n nnSbaa故 为定值 16 分1111()nnnnT常州市第一中学 2017 届高三数学高考前热身卷附加题21 本题包括高考 A，B，C， D 四个选题中的 B，C 两个小题，每小题 10 分，共 20分把答案写在答题卡相应的位置上解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤B选修 42：矩阵与变换已知矩阵 的一个特征值为 ，求 .15Mx22M【命题意图】本题考查矩阵的运算，意在考查运算求解能力【答案】 26451【解析】 代
12、入 ，得 5 分2(1)(5)02x3x矩阵 153M9 10 分26451MC选修 44：极坐标与参数方程在平面直角坐标系 中，已知直线 的普通方程为 ，曲线 C 的参数方程为xOyl 20xy( 为参数) ，设直线 与曲线 C 交于 A，B 两点若点 P 在曲线 C 上运动，23cos,inxy当 的面积最大时，求点 P 的坐标及 的最大面积PABVVC解：曲线 的普通方程为 2 分214xy由曲线 方程与直线 联立,可求得 4 分03AB的面积最大，即点 到直线 的距离 最大ld设 ， ，6 分(23cos,in)P|4cos()2|23cosin26d当 ，即 时，16,6kZ，(,)
13、2max32d的最大面积为 10 分PABV9SABdD选修 45：不等式选讲（本小题满分 10 分）已知 ，且 ，求 的最小值2xyxy221xy解析： , , 24, 22221()()xyxy， 当且仅当 ，或 时 221()()xy0,y2x,y的最小值是 1. 22【必做题】 （第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共 20 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）22. 一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的 三种商品有购,ABC10买意向.已知该网民购买 种商品的概率为 ，购买 种商品的概率为 ，购买 种A34B23C商品的概率为 .假设该网民是否购买
14、这三种商品相互独立.12（1 ）求该网民至少购买 2 种商品的概率；（2 ）用随机变量 表示该网民购买商品的种数，求 的概率分布和数学期望 .hh【命题意图】本题考查概率、分布列及数学期望等基础知识，意在考查运算求解能力，逻辑思维能力（2）随机变量 的可能取值为 ,h0123, 3(0)(1)()44P又 , , 所以 .2Ah31()PAh11()244Ph所以随机变量 的概率分布为：0 1 2 3来源 :Z+xx+k.ComP24148 分故数学期望 . 10 分123021Eh23 （本小题满分 10 分）设 为虚数单位， 为正整数in（1 ）证明： ；(cosi)cosinnxx（2 ）结合等式“ ”证明：1(i)(1cos)inx12CcosCnnnx2s2nx证明：（1）当 时， ，即证；cosicosixx假设当 时， 成立，k(n)isnkkx
