1、第 2 章 线性规划的对偶理论,Duality 对偶Dual Problem 对偶问题 Dual Linear Programming 对偶线性规划Dual Theory 对偶理论,2.1 问题的提出,例：某企业计划生产甲、乙两种产品，该两种产品均需经 A、B、C、D 四种不同设备上加工，按工艺资料规定，在各种不同设备上的加工时间及设备加工能力、单位产品利润如表中所示。问:如何安排产品的生产计划,才能使企业获利最大?,1.最大生产利润模型,设 企业生产甲产品为X1件， 乙产品为X2件，则 max z= 2 X1 +3 X2 s.t 2 X1 +2 X2 12 X1 +2 X2 8 4 X1 1
2、6 4 X2 12 X1 0 , X2 0,2.资源最低售价模型,(原问题) ( 对偶问题),设第i种资源价格为yi,（ i=1, 2, 3, 4,） 则有,min w= 12y1 + 8y2 + 16y3 +12 y4,s.t 2y1 + y2 + 4y3 +0 y4 2,2y1 +2y2 + 0y3 +4 y4 3,yi 0, (i=1, 2, 3, 4 ),y1,y2,y3,y4,2.2 原问题与对偶问题的关系,一般表示式：原问题： max z = c1 X1 + c2 X2 + + cn Xn s.t a11 X1 + a12 X2 + + a1n Xn b1 a21 X1 + a22
3、 X2 + + a2n Xn b2 am1 X1 + am2 X2 + + amn Xn bm Xj 0，j=1,2,n 对偶问题： min w = b1 y1 + b2 y2 + + bm ym s.t a11 y1 + a21 y2 + + am1 ym c1 a12 y1 + a22 y2 + + am2 ym c2 a1n y1 + a2n y2 + + amn ym cn yi 0，(i=1,2,m ),对偶模型结构关系,（1）若模型为 max z = C X s.t AX b X 0,max z = C X s.t - AX -b X 0,变形,min w = Y b s.t YA
4、 C Y 0,Min w=Y (-b) st. Y (-A) CY 0,令 Y=- Y ,对偶问题,对偶变量Y,（3）max z = C X s.t AX b X 0,变形,设X= -X,max = -CX st. -AX b X 0,min w = Y b s.t YA C Y 0,则有,min w = Y b s.t -YA - CY 0,对偶问题典式：,用矩阵形式表示： （1） max z = C X min w = Y b s.t AX b s.t YA C X 0 Y 0 （2） max z = C X min w = Y b s.t AX b s.t YA C X 0 Y 0 （3
5、）max z = C X min w = Y b s.t AX b s.t YA C X 0 Y 0,原问题与对偶问题关系表,原问题(对偶问题) 对偶问题(原问题) 目标函数系数 约束右端项 约束右端项 目标函数系数 约束条件系数列向量 A约束条件系数行向量 AT 变量个数约束条件个数max min 变量 x j : 约束方程 i : x j 0 x j 无约束 = x j 0 约束方程: 变量 y i : y i 0 = y i 无约束 y i 0,2.3 对偶问题的基本性质,Max z = CXMin w = Y b s t . AX b s t . YA C X 0Y 0(1) 弱对偶性
6、： 若 X0原问题可行解，Y0对偶问题可行解则 CX0 Y0 b证明： Y0 0， AX0 b， Y0 AX0 Y0 b，而 Y0 A C ， CX0 Y0AX0 ， CX0 Y0 AX0 Y0 b,（2）最优性：,若 X0原问题可行解，Y0对偶问题可行解，且 CX0 = Y0 b 则 X0原问题最优解， Y0对偶问题最优解证明：设 X* 原问题最优解， Y* 对偶问题最优解 则 CX0 CX* Y* b Y0 b 但 CX0 = Y0 b， CX0 = CX* = Y* b = Y0 b X0 = X* ， Y0 = Y* 即 X0原问题最优解， Y0对偶问题最优解证毕。,（3）无界性,若原
7、问题最优解无界，则对偶问题无可行解 证：有性质1，C X0 Y0 b，当 CX0 时，则不可能存在Y0，使得 C X0 Y0 b 。 注：逆定理不成立，即 如果原问题（对偶问题）无可行解，那么 对偶问题（或原问题）“解无界”不成立。,（4）强对偶性（对偶定理）,若原问题有最优解，则对偶问题一定有最优解，且有 z max = w min证： 由 = C- CB B-1 A 0 令 CBB-1 = Y* ，得 Y*A C-Y* = -CBB-1 0， Y* 0 因此， Y*是对偶问题的可行解，又 CX* = CB (B-1 b) = CB B-1b = Y* b Y*是对偶问题的最优解。,Max
8、z=CX st. AX b X 0,Max z=CX st. AX +Xs = b X 0,标准形,Max z=CBXB+CNXN+0XS st.BXB+NXN+IXS=b ，XB,XN,XS 0,改写,B-1存在,Max z=CBXB+CNXN+0XS st. B-1BXB+ B-1NXN+ B-1I XS= B-1 bXB,XN,XS 0,左乘B-1,LP模型矩阵变换：,|B|0，,（XB+ B-1NXN+ B-1 XS= B-1 b）,单纯形法的矩阵描述：,XB,XN,XS,B,N,I,I,N,B-1,b,b,XS,XB,CB,CN,0,CB,CN,0,= C- CB B-1 A0,0,
9、N,S,xj,cj,pj,0,pj,j,cj,XB= b = B-1 b,N = B-1 N,N = CN -CBB-1 N 0,CB,S = -CB B-1 0,初始表,最终表,（5）互补松弛性,n 若 y i * 0, 则 aij xj* = bi j=1 n 若 a ij xj* 0, a ij xj* - bi =0, 即 a ij xj* = bi,当 a ij xj* - bi 0, y i*=0,j=1,j=1,j=1,n,n,n,（6）单纯形表中的对应关系,max z= 2 x1 +3 x2 min w= 12y1 + 8y2 + 16y3 +12 y4 s.t 2 x1 +2
10、 x2 12 s.t 2y1 + y2 + 4y3 +0 y4 2 x1 +2 x2 8 2y1 +2y2 + 0y3 +4 y4 3 4 x1 16 yi 0, i=1, 2, 3, 4 4 x2 12 x1 0 , x2 0,-y5 -y6 -y1 - y2 - y3 - y4,2.4 影子价格(Shadow price),取决于企业对资源使用的状况，受生产任务、产品结构差异、管 理效率等因素影响。 边际利润的概念： 对资源使用决策的参考依据：买进、卖出 对资源使用状况的估算：互补松弛性 机会成本： j = cj- CB B-1pj = cj- Ypj= cj- aijyi， aijyi
11、为生产xj而放弃其他产品生产的利润。 制定内部结算价格的参考,2.5 对偶单纯形法（略）,从对偶角度求解LP模型。,2.6 灵敏度分析,1灵敏度分析的概念： 当某一个参数发生变化后，引起最优解如何改变的分析。 可以改变的参数有：bi约束右端项的变化，通常称资源的改变；cj 目标函数系数的变化，通常称市场条件的变化；pj 约束条件系数的变化，通常称工艺系数的变化； 其他的变化有：增加一种新产品、增加一道新的工序等。,2处理方法：,DO RANGE ANALYSIS ?,2.7 参数线性规划,概念：研究目标函数值随某一参数变化的规律及最优解相应的变化。,例：,某大学教授利用部分业余时间从事咨询工作
12、。现有三个A、B、C企业欲聘请，各自每小时的咨询费用分别为10，12，16元。教授每月可用于外出咨询的时间为40小时，但对每个企业而言，用于准备的时间与咨询所花的时间的比例分别为0.1,0.5，0.8，教授每月可用于准备的时间应不超过24小时。若假定三个企业每月要求的咨询时间可分别达到80，60，20小时。现问：教授应作何种决策，才能使收益最大？ 从目前看，教授有许多咨询机会，但可用的外出咨询时间及准备的时间有限，所以可考虑雇用助手（用于帮助准备），但要支付每小时4元的费用，现帮助教授分析一下，它是否该雇用助手，若需雇用，每月应雇用多少时间？,设 用于三个企业咨询的时间分别为Ax1， Bx2， Cx3，,Max z=10x1+12x2+16x3s.t. x1+x2+x340 0.1x1+0.5x2+0.8x324 x180 x2 60 x3 20 x10, x20, x30,
