相似三角形强化讲义(修订版).doc

1、睿思理科 用心成就梦想1相似三角形强化讲义相似三角形的基本图形：1、A 字形和反 A字形 2、反 A共边形AEDCBAEDBC2ACDB:3、双垂线模型、 、 、2ADBC:2ACDB:2ABDC:4、一线三等角模型 ABCDE5、旋转模型注意公共角或对顶角或同角（等角）的余角（或补角）相等睿思理科 用心成就梦想2模块一：平行线分线段成比例 1、 （2015 年徐汇区一模）如图，已知 ，AC 与 BD 相交于点 O，点 G 是 BD 的中ADBC点，过点 G 作 交 AC 于点 E，如果 ， ，那么 等EBC 13:EBC于 （ ）(A) (B) (C) (D) 1:21:3:42:32、 （

2、2014 年普陀区一模）已知 、 分别是 的边 、 的上的点，DEABCA ， 若 ，则 为 DEBC34AB（ ）A ； B ； C ； D ；34473743、 （2014 年长宁区一模）如图，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，且将这个四边形分成、 、四个三角形，若 OAOC = OBOD，则下列结论中一定正确的是A 和 相似； B 和 相似； C 和 相似 ； D 和 相似；（ ）4、 （2015 年闵行区一模）如图，已知 ,DE分别是 ABC的边 和 A上的点，2AE， 3C，要使 ，那么 :应等于 ；睿思理科 用心成就梦想35、 （2015 宝山区一模）在某一时刻

3、，测得一根高为 的竹竿的影长为 ，同时测得一1.8m3根旗杆的影长为，那么这根旗杆的高度为 ；2m6、 （2015 年闸北区一模如图 5，在 RtABC 中，C90，点 D 在边 AB 上，线段 DC绕点 D 逆时针旋转，端点 C 恰巧落在边 AC 上的点 E 处如果 BA， nE那么 m 与 n 满足的关系式是： m （ 用含 n 的代数式表示 m）7、 （2014 年黄浦区一模）.如图 4，ABCDEF，如果 ， ，那么:2:3ACE10BF线段 DF 的长为 .8、 （2014 年虹口区一模）如图，若 ABCDEF，则下列结论中，与 相等的是ADFA ； B ； C ； D EFCDEF

4、BOEBCE9、（2015 年宝山区一模）如图直角梯形 ABCD中， B， 2CD， AB，1AD，动点 M、 N分别在 边和 的延长线运动，而且 MN，联结 交N于 E， H AC于 ，则 EH ；睿思理科 用心成就梦想410、 （2014 年闵行区一模）已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是边 BC、CD上的点，且 EFBD，AE、AF 分别交 BD 于点 G 和点 H，BD =12，EF=8求（1） 的值；DFAB（2）线段 GH 的长11、（2015 年徐汇区一模）如图， MN经过 ABC的顶点 ，MN BC， A， C交 于 D， 交 于 E；（1）求证： DE ；（

5、2）联结 ，如果 1， 3，求 的长；睿思理科 用心成就梦想512、 （2014 年嘉定区一模）四边形 是平行四边形， 是对角线 上一点，射线ABCDEAC分别交射线 、 于点 、 .DECBFG（1）如图 8，如果点 在 边上，点 在 边的延长线上，求证： . 1（2）如果点 在 边的延长线上，点 在 边上，FAB试写出 与 之间的一种等量关系，并给出证明.DEG睿思理科 用心成就梦想613、 （2015 年浦东新区二模）如图，已知在平行四边形 ABCD中， AE BC，垂足为点E， AFCD，垂足为点 F（1）如果 AB=AD，求证： EF BD；（2）如果 EF BD，求证： AB=AD

6、睿思理科 用心成就梦想7（ 第 题 图）2514、 （2015 年虹口区二模 25题）如图，在 RtABC中，90ACB， 13， CD .点 E为射线 D上一动点（不与点 C重合），联结 E，交边 于点 F， B的平分线交 于点 G（1）当 时，求 :CEAFS的值；（2）设 x， y，当 2G时，求 y与 x之间的函数关系式；（3）当 5A时，联结 ，若 为直角三角形，求 B的长睿思理科 用心成就梦想8模块二：A 字形模型和反 A字形模型 1、(2015 年崇明县一模)如图，点 D、 E、 F、 G为 BC两边上的点，且 DEFGBC ，若 DE、 FG将 ABC的面积三等分，那么下列结论

7、正确的是 （ ）(A) 14DEFG(B) 1(C) 32A(D) 2A2、 （2014 年宝山区一模）如图已知ABC 中，D 为边 AC 上一点，P 为边 AB 上一点，AB=12，AC=8，AD=6， 当 AP 的长度为_时ADP 和ABC 相似. BACD3、 （2014 年虹口区一模）如图，在ABC 中，如果 DE 与 BC 不平行，那么下列条件中，不能判断ADEABC 的是AADE=C； BAED=B ； C ； D AEBAECBAB CED4、 （2014 年黄浦区一模）如图，在ABC 中，AD 是 BC 上的高，且 BC= 5，AD =3，矩形EFGH 的顶点 F、G 在边 B

8、C 上，顶点 E、H 分别在边 AB 和 AC 上，如果设边 EF 的长为，矩形 EFGH 的面积为 ，那么 关于 的函数解析式是 . (03)xyx睿思理科 用心成就梦想9睿思理科 用心成就梦想105、 （2015 年徐汇区一模）如图，在 ABC中， D、 E分别是 AB、 C上的点，且DEBC，如果 :1:4AE，那么 :BS（ ）A. 1:24； B. 20； C. 18； D. 1:6；6、 （2014 年黄浦区一模）如图，点 D 为ABC 内部一点，点 E、F、G 分别为线段AB、AC、AD 上一点，且 EGBD， GFDC.（1）求证: EFBC；（2）当 时，求 的值.23AEB

9、EFGBCDS（ 表示EFG 的面积, 表示BCD 的面积）EFGSB睿思理科 用心成就梦想117、 （2015 年嘉定、宝山区二模）在 Rt ABC中， 90， 2BC，Rt AB绕着点 B按顺时针方向旋转，使点 落在斜边 上的点 D，设点 旋转后与点 E重合，联结 AE，过点 作直线 EM与射线 垂直，交点为 M（1）若点 与点 重合如图 10，求 Ecot的值；（2）若点 在边 C上如图 11，设边长 xAC， yB，点 与点 B不重合，求y与 x的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；（3）若 EBA，求斜边 的长AC B(M)ED图 10AC BMED图 11睿思理科 用心成就梦想1

10、28、 （2015 年金山区二模）如图，已知在 中， ，ABC1034tanB图1图 求 的长；BC图2图 点 、 分别是边 、 的中点，不重合的两动点 、 在边 上（点DEMNC、 不与点 、 重合） ，且点 始终在点 的右边，联结 、 ，交MNNDE于点 ，设 ，四边形 的面积为 OxADOEy求 关于 的函数关系式，并写出定义域；y当 是等腰三角形且 时，求 的长1BMCBA备用图睿思理科 用心成就梦想13模块三：反 A共边模型 1、 （2014 年黄浦区一模）.如 图 ， 在 ABC 中 ， 若 AB=AC=3， D 是 边 AC 上 一 点 ， 且BD=BC=2， 则 线 段 AD

11、的 长 为 .2、（2014 年普陀区一模）如图，在边长为 1的正方形网格上有点 P、A、B、C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是 3、 （2015 年嘉定区一模）在 ABC中， 9， 5， D是 的平分线交BC于点 D（如图 5）， D沿直线 翻折后，点 B落到点 1处，如果21，那么 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图4、 （2015 年虹口区一模）如图，RtABC 中，C=90，AB=5， AC=3，在边 AB 上取一点 D，作 DEAB 交 BC 于点 E现将BDE 沿 DE 折叠，使点 B 落在线段 DA 上（不与点 A 重合） ，对应点记为 B1；BD 的

12、中点 F 的对应点记为 F1若EFBA F1E，则 B1D= 5、 （2014 年虹口区一模）如图，在ABC 中， C=90，AD 是 CAB 的角平分线，A垂足为点 E.求证： 2BD AEC D B第 21 题图睿思理科 用心成就梦想146、 （2015 年金山区一模）如图， 中， 平分 ， ABCPACBP(1)求证： ；AP(2)若 ， ，求 的长267、 （2015 年闵行区二模）如图，已知在梯形 ABCD中，AD / BC ，A = 90，AB = AD点E在边 AB上，且 DECD，DF 平分EDC，交 BC于点 F，联结 CE、EF（1）求证：DE = DC；（2）如果 2BF

13、C，求证：BEF =CEF睿思理科 用心成就梦想158、 （2014 年徐汇区一模）已知：如图，ABC 中，点 D、E 是边 AB 上的点，CD平分ECB，且 .2BCDA(1) 求证： CED ACD；(2) 求证： .ECBDEA睿思理科 用心成就梦想169、（2014 年崇明县一模）如图， 中，点 D、E 分别在 BC 和 AC 边上，点 G 是 BEABC边上一点，且 ，联结 AGBDG（1）求证： ；CE（2）求证： A10、 （2014 年奉贤区一模）如图，已知在等腰ABC 中， AB=AC，点 E、点 D 是底边所在直线上的两点，联接 AE、AD，若 ， DECA2求证：（1）A

14、DCEDA；（2） B2（第 23 题图）BDAGE C第 23 题ACBD E睿思理科 用心成就梦想1711、(2015 年虹口区一模)如图，在ABC 中，点 D 在边 AC 上，AE 分别交线段 BD、边BC 于点 F、G，1=2， AFEB 求证： B: 12、 （2015 年普陀区二模）如图 9，在ABC 中，点 D、E 分别在边 BC、AC 上，BE、AD 相交于点 G，EFAD 交 BC 于点 F， 且 2BC:，联结 FG。（1）求证：FGCE；（2）设BAD= C，求证：四边形 AGFE 是菱形。图9GFED CBA睿思理科 用心成就梦想1813、 （2015 年闵行区一模）已

15、知如图， D是 ABC的边 上一点， DE BC，交边AC于点 E，延长 至点 F，使 E，联结 F，交边 A于点 G，联结 F（1）求证： G；（2）如果 2B，求证： E14、(2014 年闵行区一模)已知：如图，在梯形 ABCD中，AD/BC，BCD=90，对角线 AC、BD 相交于点E，且 ACBD（1）求证： ；2CDBA（2）点 F 是边 BC 上一点，联结 AF，与 BD 相交于点 G如果BAF = DBF，求证： 2ADB A CB DEFG（第 23 题图）睿思理科 用心成就梦想1915、 （ 2014 年 黄 浦 区 一 模 ） 如 图 12， 在 ABC 中 ， ACB=

16、90， AC=8， ， D 为 边sin45BAC 中 点 ， P 为 边 AB 上 一 点 (点 P 不 与 点 A、 B 重 合 ) ， 直 线 PD 交 BC 延 长 线 于 点 E， 设 线段 BP 长 为 ， 线 段 CE 长 为 .xy（1）求 关于 的函数解析式并写出定义域；y（2）过点 D 作 BC 平行线交 AB 于点 F，在 DF 延长线上取一点 Q，使得 QF=DF，联结 PQ、QE，QE 交边 AC 于点 G，当EDQ 与 EGD 相似时，求 的值；x求证： . PEQEDCBAP图 12睿思理科 用心成就梦想2016、 （2015 闵行区一模）已知在矩形 ABCD中，

17、 P是边 A上的一动点，联结 BP、CP，过点 B作射线交线段 P的延长线于点 E，交边 于点 M，且使得AE，如果 2， 5， x， y；（1）求 y关于 x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当 4时，求 E的正切值；（3）如果 是以 C为底角的等腰三角形，求 AP的长；睿思理科 用心成就梦想21模块四：双垂线模型 1、(2015 年徐汇区一模)如图，在 ABC中， 90， 6AB， 8C，点 M、N分别在边 AB、 上，沿直线 MN将 折叠，点 落在点 P处，如果P C且 4，那么 ；2、 （2014 年奉贤区一模）如图，在 中，已知 ， ， ，将AOB90AB3O6BAOB绕顶点 O

18、 逆时针旋转到 处，此时线段 与 BO 的交点 E 为 BO 的中点，那么 线段 的长度为 E3、 （2015 年徐汇区二模 18题）如图，已知扇形 AOB 的半径为 6，圆心角为 90，E 是半径 OA 上一点，F 是 :AB上一点 将扇形 AOB 沿 EF 对折， 使得折叠后的圆弧 :AF恰好与半径 OB 相切于点 G，若 OE5，则 O 到折痕 EF 的距离为 4、 （2014 年黄浦区一模）如图，在 RtABC 中，C =90，AC=3， ，点 D、Ecot34A分别是边 BC、AC 上的点，且EDC=A ，将ABC 沿 DE 对折，若点 C 恰好落在边 AB上，则 DE 的长为 .

19、睿思理科 用心成就梦想22睿思理科 用心成就梦想235、 （ 2015 年奉贤区一模） 已知：矩形 ABCD 中，过点 B 作 BGAC 交 AC 于点 E，分别交射线 AD 于 F 点、交射线 CD 于 G 点，BC6（1）当点 F 为 AD 中点时，求 AB 的长；（2）联结 AG，设 ABx，S AFG =y,求 y 关于 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围；（3）是否存在 x 的值，使以 D 为圆心的圆与 BC、BG 都相切？若存在，求出 x 的值；若不存在，请说明理由睿思理科 用心成就梦想246、 （2014 虹口区一模）已知：正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 为 BC

20、边的中点，点 P 为AB 边上一动点，沿 PE 翻折BPE 得到FPE，直线 PF 交 CD 边于点 Q，交直线 AD 于点G，联结 EQ.（1）如图，当 BP=1.5 时，求 CQ 的长；（2）如图，当点 G 在射线 AD 上时，设 BP=x，DG=y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；（3）延长 EF 交直线 AD 于点 H，若CQEFHG，求 BP 的长睿思理科 用心成就梦想257、 （2015 年黄浦区二模 25题）如图，Rt ABC中， 90， 3A， 2BC，CD是斜边 AB上的高，点 E为边 上一点（点 E不与点 、 重合），联结 DE，作F E， 与边 、

21、线段 D分别交于点 F、 G；（1）求线段 、 的长；（2）设 x， Fy，求 关于 x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结 ，当 G与 C相似时，求线段 CE的长；睿思理科 用心成就梦想26模块五：一线三等角模型 1、 （2014 年宝山区一模）已知 D、E、F 分别为等腰ABC 边 BC、CA、AB 上的点，如果 AB=AC，BD=2 ，CD=3，CE=4，AE= ，FDE=B，那么 AF 的长为（ ）23A. 5.5 B. 4.5 C. 4 D. 3.52、 （2015 年宝山区一模）如图， 为等边 边 上一点， ，交DAC60ADE于 ，若 ， ，则 ；ACE2B3CE3、 （2

22、015 年奉贤区一模）如图，将边长为 6cm的正方形 ABCD折叠，使点 D落在 AB边的中点 E处，折痕为 FH，点 C落在 Q处， EQ与 BC交于点 G，那么 B的周长是 cm ABCFDE第 1 题图 第 2题图 第 3题图 第 4题图4、 （2015 年金山区一模）如图 4，梯形 ABCD 中，AD/BC，AB=DC，点 P 是 AD 边上一点，联结 PB、PC ，且 PDAB2，则图中有 对相似三角形5、（2015 年金山区二模）在矩形 C中， 6AB， 8D，把矩形 ABCD沿直线MN翻折，点 落在边 上的 E点处，若 M2，那么 EN的长等于 睿思理科 用心成就梦想27（201

23、5 年奉贤区一模）如图，在四边形 ABCD 中，B=ACD，过 D 作 ACDE交BC 的延长线于点 E，且 2CDAE（1）求证：DAC=DCE；（2）若 BA2,求证：ACD=90 o睿思理科 用心成就梦想286、 （2014 年崇明区一模）如图，在 中， , , , , ABC810BC3cos42ABCBD 平分 交 AC 边于点 D，点 E 是 BC 边上的一个动点（不与 B、C 重合） ，F 是 ACABC边上一点，且 ，AEEF与 BD 相交于点 G（1）求证： ；ABC（2）设 , ，求 与 之间的函数关系式，并写出 的取值范围；ExFyxx（3）当 是以 AE 为腰的等腰三角

24、形时，求 BE 的长A（第 25 题图）B CEFDGA（备用图 1）B CDA（备用图 2）B CDA睿思理科 用心成就梦想297、 （2014 年徐汇区一模）如图，ABC 中，AB=5 ，BC=11， ，点 P 是3cos5BBC 边上的一个动点，联结 AP，取 AP 的中点 M，将线段 MP 绕点 P 顺时针旋转 90得到线段 PN，联结 AN，NC .(1) 当点 N 恰好落在 BC 边上时，求 NC 的长；(2) 若点 N 在ABC 内部(不含边界)，设 BP=x，CN=y，求 y 关于 x 的函数关系式，并求出函数的定义域；(3) 若PNC 是等腰三角形，求 BP 的长.睿思理科 用心成就梦想308、 （2015 年虹口区一模）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD/BC，AB=CD，AD=6，BC= 24， ，点 P 在边 BC 上，BP=8，点 E 在边 AB 上，4sin5B点 F 在边 CD 上，且EPF=B过点 F 作 FGPE 交线段 PE 于点 G，设BEx ，FGy （1）求 AB 的长；（2）当 EPBC 时，求 y 的值；（3）求 y 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围.