1、北师大版九年级(上),第三章 证明(三),3.2 特殊平行四边形(3),情景引入,如图是一个活动的矩形，当它的一条边平移，使得一组邻边相等，这个矩形会形成一个 怎样的特殊平行四边形？,一组邻边相等,矩形,正方形,四个角都是直角，四条边都相等；,新知探究,、什么是正方形？正方形有什么特征？,正方形ABCD,有一组邻边相等的矩形叫做正方形,特征：,请分组进行证明。,对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角，,O,四个角都是直角，四条边都相等；,新知探究,、什么是正方形？正方形有什么特征？,正方形ABCD,有一组邻边相等的矩形叫做正方形,特征：,请分组进行证明。,对角线相等，并且互相垂直
2、平分，每条对角线平分一组对角，,O,特征一：正方形的四个角都是直角，四条边都相 等。,已知：如图，矩形ABCD中，AD=AB。,求证：(1) A= B=C= D=90；(2)AB=BC=CD=DA。,证明：,(1)四边形ABCD是矩形, A= B=C= D=90,(2)四边形ABCD是矩形,A B=CD，BC=DA,新知探究,且AD=AB, AB=BC=CD=DA,新知探究,特征二：正方形的对角线相等，并且互相垂直平 分，每条对角线平分一组对角。,已知：如图，正方形ABCD中，对角 线AC、BD相交于点O。,求证：(1)AC=BD；(2)ACBD； (3)OA=OB=OC=OD； (4)AC和
3、BD分别平分DAB、DCB和ADC、ABC。,证明：,四边形ABCD是正方形,四边形ABCD是矩形也是菱形, (1)AC=BD,(2)ACBD,(3) OA=OB=OC=OD,(4)AC和DB分别平分DAB、DCB和ADC、ABC,新知归纳,正方形的性质：,定理：正方形的四个角都是直角，四条边都相等；,定理：正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。,例1、 如图，ABCDXA表示一条环形高速公 路，X表示一座水库，B、C表示两个大市镇。 已知ABCD是一个正方形，XAD是一个等边三 角形。假设政府要铺设两条水管XB和XC，从 水库向B、C两个市镇供水，那么这两条水管 的夹
4、角(即 BXC) 是多少度？,巩固练习,1、如图，四边形ABCD是正方形，CDE是等 边三角形，求的度数。,巩固练习,新知探究,、怎样判定一个正方形呢？,正方形ABCD,有一组邻边相等的矩形叫做正方形,O,对角线相等的菱形；,一个角是直角的菱形；,判定方法：,请分别进行证明。,对角线互相垂直的矩形。,对角线相等的菱形；,一个角是直角的菱形；,新知探究,、怎样判定一个正方形呢？,判定方法：,请分别进行证明。,正方形ABCD,有一组邻边相等的矩形叫做正方形,对角线互相垂直的矩形。,O,求证：有一个角是直角的菱形是正方形。,已知：如图，菱形ABCD中， A =90。,求证：四边形ABCD是正方形。,
5、证明：,四边形ABCD是菱形,ABCD， ADBC，AD=AB,A+B=180， A+D=180,且A=90, A=B=D=90,新知探究,四边形ABCD是矩形,四边形ABCD是正方形,且AD=AB,求证：对角线相等的菱形是正方形。,已知：如图，菱形ABCD中， AC=BD。,求证：四边形ABCD是正方形。,证明：,四边形ABCD是菱形,AB=AD，四边形ABCD是平 行四边形,且AC=BD,四边形ABCD是正方形,四边形ABCD是矩形,新知探究,又AB=AD,求证：对角线互相垂直的矩形是正方形。,已知：如图，矩形ABCD中， ACBD。,求证：四边形ABCD是正方形。,证明：,四边形ABCD
6、是矩形,四边形ABCD是平行四边形,且ACBD,且四边形ABCD是矩形,新知探究, AB=AD,且OB=OD,四边形ABCD是正方形,新知归纳,正方形的判定：,定理：一个角是直角的菱形是正方形；,定理：对角线相等的菱形是正方形；,定理：对角线互相垂直的矩形是正方形。,2、已知：如图，四个小朋友分别站在正方形 ABCD四条边的点处，并且AA1=BB1=C1C= DD1 ，那么以下四个小朋友所站点为顶点的四 边形A1、B1、C1、D1是一个怎样的图形？请证 明你的结论。,巩固练习,合作交流,、我们知道：依次连接任意四边形各边的中点 可以得到一个平行四边形。,那么依次连接正方形各边的中点能得到一个怎
7、样的图形呢？,合作交流,、依次连接菱形、矩形、平行四边形各边中点，分别能得到一个什么图形？,菱形,矩形,平行四边形,矩形,菱形,平行四边形,合作交流,、依次连接四边形各边中点所得到的新四边形 的形状与哪些线段有关系？有怎样的关系？,3、已知：点D、E、F分别是ABC中AB、BC、 CA的中点，四边形DECF的菱形。 求证：ABC是等腰三角形。,巩固练习,课堂小结,1、正方形的性质：,定理：正方形的四个角都是直角，四条边都相等；,定理：正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。,2、正方形的判定：,定理：一个角是直角的菱形是正方形；,定理：对角线相等的菱形是正方形；,定理：对角线互相垂直的矩形是正方形。,
