1、高二年级：数学教学内容：极坐标系主讲教师：肖国友单 位： 北京四中播出时间：6月30日 7：10-7：50,极坐标一、极坐标系：,1、引入,O,x,y,M,N,x,y,o,M,2、极坐标系的定义： 在平面内任取一个定点O，叫做极点，引一条射线ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)，对于平面内任意一点M，用 表示线段OM的长度， 表示从ox到OM的角度， 叫做点M的极径， 叫做点M的极角，有序数对 就叫做点M的极坐标，表示为 。这样建立的坐标系叫做极坐标系。,O,x,3、极坐标系下点与极坐标的对应关系 规定：当点M在极点时，它的极坐标为 ， 可以取任意值。例：在极坐
2、标系下，写出A、B、C、D、E、F、 G各点的极坐标。,D,E,F,G,A,B,C,o,角 也可以取负值，如：,D,E,F,G,A,B,C,o,在一般情况下，极径都是取正值，但是在某些必要的情况下，也允许取负值。 当 时，点 的位置可以按以下规则确定：作射线OP，使 ，在OP的反向延长线上取一点M，使 ，点M就是坐标为 的点。,O,M,x,当 时，写出A、B、C、D、E、F、G各点极坐标。,D,E,F,G,A,B,C,o,例：在极坐标系下，作出下列各点：,D,E,A,B,C,例：在极坐标系下说明点 、 、 、 的位置关系。,O,x,一般地，如果 是一个点的极坐标，那么 、 都可以 作为它的极坐
3、标 。 如果限定 ， ，那么除极点外，平面内的点和极坐标可以一一对应。 不作特殊说明时，认为 。,4、极坐标系下，曲线与方程的对应关系。（1）定义：在极坐标系中，曲线可以用含有 、 这两个变数的方程 来表示，这种方程叫做曲线的极坐标方程。（2）说明：方程的每一个解为坐标的点都是曲线上的点；曲线上每一个点的无穷多个坐标中，至少有一个坐标满足方程。,高二年级：数学教学内容：常见曲线的 极坐标方程单 位：北京四中主讲教师：肖国友播出时间：7月1日 9：50-10：30,极坐标二 、常见曲线的极坐标方程 求曲线的极坐标方程的方法和步骤： 和求直角坐标方程类似，就是把曲线 看作适合某种条件的点的集合或轨
4、迹，将已知条件用曲线上点的极坐标 、 的关系式 表示出来，就得到曲线的极坐标方程。,1、直线的极坐标方程 例：求极坐标系下，经过定点 且 关于极轴的倾斜角为 的直线 方程 （其中 为定值）,O,x,解：如图，设所求直线上任一点 ， 与极轴所在直线交于N点，连接OM、OP 在 中，由正弦定理得：即 方程 （定值）,O,x,N,当 时，代入方程 方程化为 （定值),O,x,当 时，代入方程 方程化为 （定值）,O,x,当 表示极点时， 代入方程 方程化为 （表示极点）或 即 或 若允许 ，则 方程可写为：,O,x,2、圆的极坐标方程例：求极坐标系下，以定点 为圆心， 为半径的圆的方程。解：如图，设
5、所求圆上任一点 ， 在 中，由余弦定理： 即为所求圆方程。,当圆心 表示极点时， 代入 则圆方程化为：,x,O,当圆心在极轴上，且圆经过极点时， 则圆方程化为 即：,O,x,3、三种圆锥曲线的统一的极坐标方程 如图建立坐标系， 设圆锥曲线上任一点 ， 由定义知 整理得： 称此方程为三种圆锥曲线的统一的极坐标方程,x,K,A,F,B,表示椭圆 表示抛物线 表示双曲线右支 (允许 表示整个双曲线),x,F,y,例：确定方程 表示曲线的离心 率、焦距、长短轴长。解：,x,O,P,x,O,高二年级：数学教学内容：极坐标与直角 坐标的互化主讲教师：肖国友单 位：北京四中播出时间：7月3日,极坐标三、极坐
6、标与直角坐标的互化 极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系，同一点可以有极坐标，也可以有直角坐标；同一条曲线可以有极坐标方程，也可以有直角坐标方程。为了研究问题方便，有时需要把在一种坐标系中的方程化为在另一种坐标系中的方程。,1、极坐标和直角坐标的互化公式： 把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。 设M是平面内任一点，它的直角坐标为极坐标是 ，从点M作 ，由三角函数定义，可得出 之间的关系。,x,y,O,y,M,N,x,(1),(2),公式(1)是用极坐标表示直角坐标的表达式公式(2)是用直角坐标表示极坐标的表达式 在一般情况下，由 确定极角 时，可根据点M所在的象限取最小正角。,2、极坐标与直角坐标互化公式的应用例1、解：,例2、解：,例3、解：,例4、解：,另解：,x,O,例5、利用抛物线的极坐标方程，证明抛物线 过焦点的弦中通径最短，其长为2P。,x,O,N,M,证明：,
