定积分的定义,考虑正弦函数sin(x)在0，区间上。分割. 将0，区间等分，比如说20份。近似. 将每个小区间上的面积用矩形的面积来近似。积分和（黎曼和）. 将所有小矩形面积求和，得到整体面积的一个近似。求极限. 让等分的份数趋近于无穷大，所得极限就是所求面积的精确值。,定积分的定义,现在看看分成40份的情形。可以看到误差变小了。有理由相信：随着分点的增加，误差越来越小。,定积分的定义,当然，小区间上的面积也可以用其他容易求出面积的图形的面积来表示，比如梯形。这就是定积分的梯形算法。右图是取5等分的情形，就已经非常精确了。,定积分的定义,右图是正弦在一个周期上的积分示意。为20等分情形，取左端点处的函数值,定积分的定义,右图是正弦在一个周期上的积分示意。为20等分情形，取右端点处的函数值,定积分的定义,右图是正弦在一个周期上积分梯形公式的示意。为8个分点情形。,定积分的定义,右图是正弦在一个周期上积分梯形公式的示意。为15个分点情形。可以看到，梯形公式比矩形公式精确度高。,
