1、直线的方向向量与平面的法向量【问题导思】 图 3211如图 321，直线 lm，在直线 l 上取两点 A、B，在直线 m 上取两点 C、D，向量 与 有怎样的关系？AB CD 【提示】 .AB CD 2如图直线 l平面 ，直线 lm ，在直线 m 上取向量 n，则向量 n 与平面 有怎样的关系？【提示】 n.直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个直线 l，取直线 l 的方向向量 a，则向量 a 叫做平面 的法向量.空间中平行关系的向量表示线线平行设两条不重合的直线 l，m 的方向向量分别为 a(a 1，b 1，c 1)，b(a 2，b 2，c 2)，则 l
2、ma b( a1，b 1，c 1)k(a 2，b 2，c 2)线面平行设 l 的方向向量为 a(a 1，b 1，c 1)， 的法向量为 u( a2，b 2，c 2)，则lau 0a 1a2b 1b2c 1c20面面平行设 ， 的法向量分别为 u( a1，b 1，c 1)，v( a2，b 2，c 2)，则 u v (a 1，b 1，c 1)k(a 2，b 2，c 2)求平面的法向量图 322已知 ABCD 是直角梯形，ABC 90 ，SA平面ABCD， SAABBC1，AD ，试建立适当的坐标系12(1)求平面 ABCD 与平面 SAB 的一个法向量(2)求平面 SCD 的一个法向量【自主解答】
3、 以点 A为原点，AD、AB、AS 所在的直线分别为 x轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的坐标系，则 A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D( ，0,0) ，S(0,0,1)12(1)SA平面 ABCD， (0,0,1)是平面 ABCD的一个法向量AS ADAB，ADSA，AD 平面 SAB， ( ，0,0)是平面 SAB的一个法向量AD 12(2)在平面 SCD中， ( ，1,0)， (1,1，1) DC 12 SC 设平面 SCD的法向量是 n( x，y，z) ，则 n ，n .DC SC 所以Error!得方程组Error!Error!令 y1 得 x2，z1， n(2
4、，1,1) 1若一个几何体中存在线面垂直关系，则平面的垂线的方向向量即为平面的法向量2一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下：(1)设出平面的法向量为 n(x，y ，z) (2)找出(求出) 平面内的两个不共线的向量a(a 1，b 1，c 1)，b(a 2，b 2，c 2)(3)根据法向量的定义建立关于 x，y，z 的方程组Error!(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量3在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组Error!有无数多个解，只需给x，y，z 中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量正方体 ABCDA
5、1B1C1D1 中，E、F 分别为棱 A1D1、A 1B1 的中点，在如图 323所示的空间直角坐标系中，求：图 323(1)平面 BDD1B1 的一个法向量(2)平面 BDEF 的一个法向量【解】 设正方体 ABCDA 1B1C1D1的棱长为 2，则 D(0,0,0)，B(2,2,0)，A(2,0,0) ，C(0,2,0)，E (1,0,2)(1)连 AC，因为 AC平面 BDD1B1，所以 (2,2,0) 为平面 BDD1B1的一个法向量AC (2) (2,2,0)， (1,0,2) DB DE 设平面 BDEF的一个法向量为 n(x，y，z)Error! Error! Error!令 x
6、2 得 y2，z1.n (2，2,1)即为平面 BDEF的一个法向量.长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E、F 分别是面对角线 B1D1，A 1B 上的点，且D1E2 EB1，BF2FA 1.求证：EFAC 1.【自主解答】 如图所示，分别以 DA，DC，DD 1所在的直线为 x轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设 DAa， DCb，DD 1c，则得下列各点的坐标：A(a,0,0) ，C1(0，b，c)， E( a， b，c)， F(a， c)23 23 b3 23 ( ， )， ( a，b，c) ，FE a3b3 c3 AC1 .FE 13AC1 又 FE与 AC1不共线，直线 E
7、FAC1.利用向量法证明线线平行的方法与步骤：图 324如图 324 所示，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E、F 分别为 DD1 和 BB1 的中点求证：四边形 AEC1F 是平行四边形【证明】 以点 D为坐标原点，分别以 ， ， 为正交基底建立空间直角坐标系，DA DC DD1 不妨设正方体的棱长为 1，则 A(1,0,0)，E(0,0， )，C 1(0,1,1)，F(1,1 ， )，12 12 (1,0， )， ( 1，0， )， (0,1 ， )， (0,1， )， ，AE 12 FC1 12 EC1 12 AF 12 AE FC1 ，EC1 AF ， ，AE FC1 EC1
8、 AF 又 FAE，F EC1，AEFC 1，EC 1AF，四边形 AEC1F是平行四边形.利用空间向量证明线面平行图 325如图 325，在正三棱柱 ABCA 1B1C1 中，D 是 AC 的中点，求证：AB 1平面 DBC1.【自主解答】 以 A为坐标原点建立空间直角坐标系设正三棱柱的底面边长为 a(a0)，侧棱长为 b(b0)，则 A(0,0,0)，B( a，0)，B 1( a，b) ，C 1(0，a，b)， D(0，0)，32 a2 32 a2 a2 ( a， ，b)， ( a,0,0)，AB1 32 a2 BD 32(0，b)DC1 a2设平面 DBC1的一个法向量为 n( x，y，
9、z) ，则Error!Error!不妨令 y2b，则 n(0,2b， a)由于 nabab0，因此 n.AB1 AB1 又 AB1平面 DBC1， AB1平面 DBC1.利用空间向量证明线面平行一般有三种方法：方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明方向向量与平面的法向量垂直在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，AA 12AB 2BC，E，F，E 1 分别是棱AA1，BB 1，A 1B1 的中点求证：CE平
10、面 C1E1F.【证明】 以 D为原点，以 DA，DC，DD 1所在的直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，如图设 BC1，则 C(0,1,0)，E(1,0,1)，C 1(0,1,2)，F(1,1,1) ，E 1(1，2)12设平面 C1E1F的法向量为 n (x，y，z)， (1 ， ，0) ， (1,0,1) ，C1E1 12 FC1 Error!即Error!取 n(1,2,1) (1 ，1,1)，n 1210，CE CE n，且 平面 C1E1F.CE CE CE平面 C1E1F.向量法证明空间平行关系图 326(12 分)如图 326，在多面体 ABCDEF 中，四边形 A
11、BCD 是正方形，EF AB，EF FB ，AB2EF，BFC90，BFFC ， H 为 BC 的中点求证：FH平面 EDB.【思路点拨】 先通过推理证明 FH平面 ABCD，建立空间直角坐标系，再设证明、 、 共面HF BE BD 【规范解答】 四边形 ABCD是正方形，ABBC，又 EFAB，EFBC.又 EFFB，EF平面 BFC.EFFH ， ABFH.2 分又 BFFC，H 为 BC的中点，FHBC .FH平面 ABC.4 分以 H为坐标原点， 为 x轴正方向， 为 z轴正方向HB HF 建立如图所示的空间直角坐标系设 BH1，则 B(1,0,0)，D (1，2,0)， E(0，1,
12、1)，F(0,0,1).6 分 (0,0,1)， (1，1,1)， (2，2，0)，HF BE BD 设 ( 1，1,1) (2，2,0) (2，2，)8 分HF BE BD (0,0,1)( 2 ， 2， )，Error!，解得Error! 10 分HF BE 12BD 向量 ， ， 共面HF BE BD 又 HF不在平面 EDB内，HF平面 EDB.12 分【思维启迪】 1.建立空间直角坐标系，通常需要找出三线两两垂直或至少找到线面垂直的条件2证明时，要注意空间线面关系与向量关系的联系与区别，注意所运用定理的条件要找全1利用向量解决立体几何问题的“三步曲”：(1)建立立体图形与空间向量的联
13、系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系( 距离和夹角等)；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题2证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系；也可以转化为线线平行，利用向量共线来证明1若 A(1,0,1)，B(1,4,7)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量为( )A(1,2,3) B(1,3,2)C(2,1,3) D(3,2,1)【解析】 (2,4,6)2(1,2,3)AB 【答案】 A2下列各组向量中不平行的是( )Aa(1,2，2)，b( 2，4,4)Bc (1,0,0)
14、，d(3,0,0)Ce (2,3,0)，f(0,0,0)Dg(2,3,5)，h (16,24,40)【解析】 b(2，4,4)2(1,2，2)2a，a b，同理：cd，e f.【答案】 D3设平面 内两向量 a(1,2,1)，b( 1,1,2)，则下列向量中是平面 的法向量的是( )A(1，2,5) B(1,1，1)C(1,1,1) D(1，1，1)【解析】 平面 的法向量应当与 a、b 都垂直，可以检验知 B 选项适合【答案】 B4根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系：(1)直线 l1，l 2 的方向向量分别是 a(1 ，3，1)，b(8,2,2)；(2)平
15、面 ， 的法向量分别是 u(1,3,0)，v (3，9，0) ；(3)直线 l 的方向向量，平面 的法向量分别是 a(1，4，3)，u(2,0,3) 【解】 (1)ab18(3)2( 1)20，l 1l 2.(2)v( 3，9,0) 3(1,3,0)3 ， .(3)a、 u不共线，l 不与 平行，也不在 内又 au70，l 与 不垂直故 l与 斜交.一、选择题1(2013吉林高二检测)l 1 的方向向量为 v1(1,2,3) ，l 2 的方向向量 v2( ，4,6)，若l1l 2，则 ( )A1 B2 C3 D4【解析】 l 1l2，v 1v2，则 ， 2.1 24【答案】 B2(2013青岛
16、高二检测)若 ，则直线 AB 与平面 CDE 的位置关系是( )AB CD CE A相交 B平行C在平面内 D平行或在平面内【解析】 ， 、 、 共面，则 AB与平面 CDE的位置关系是AB CD CE AB CD CE 平行或在平面内【答案】 D3已知平面 内有一个点 A(2，1,2) ， 的一个法向量为 n(3,1,2)，则下列点 P 中，在平面 内的是( )A(1，1,1) B(1,3， )32C(1，3， ) D(1,3， )32 32【解析】 对于 B， (1,4， )，AP 12则 n (3,1,2)(1,4， )0，AP 12n ，则点 P(1,3， )在平面 内AP 32【答案
17、】 B4已知 A(1,1,0)，B(1,0,1) ，C(0,1,1)，则平面 ABC 的一个法向量的单位向量是( )A(1,1,1)B( ， ， )33 33 33C( ， )1313 13D( ， ， )33 33 33【解析】 设平面 ABC的法向量为 n(x，y，z)， (0，1,1)， (1,1,0) ，AB BC ( 1,0,1)，则 Error!xyz，AC 又 单位向量的模为 1，故只有 B 正确【答案】 B图 3275如图 327，在平行六面体 ABCDA 1B1C1D1 中，点 M，P，Q 分别为棱AB， CD，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则( )A 1MD 1
18、P；A 1MB 1Q；A 1M平面 DCC1D1；A 1M平面 D1PQB1.以上正确说法的个数为( )A1 B2 C3 D4【解析】 ， ， ，所以A1M A1A AM A1A 12AB D1P D1D DP A1A 12AB A1M D1P A1MD1P，由线面平行的判定定理可知，A 1M面 DCC1D1，A 1M面 D1PQB1.正确【答案】 C二、填空题6(2013泰安高二检测)已知直线 l 的方向向量为(2 ，m,1)，平面 的法向量为(1，2)，12且 l ，则 m_.【解析】 l，l 的方向向量与 的法向量垂直，(2，m, 1)(1，2)2 m 20，m8.1 12【答案】 87
19、已知 A(4,1,3)，B(2,3,1) ，C(3,7，5) ，点 P(x，1,3)在平面 ABC 内，则x_.【解析】 ( 2,2，2) ， (1,6，8) ， (x 4，2,0)，由题意知AB AC AP A、B 、C 、P 共点共面， ( 2 ，2，2)( ，6 ，8)AP AB AC (2 ，2 6 ，28) Error!Error!而 x42 ，x 11.【答案】 118下列命题中，正确的是_(填序号)若 n1，n 2 分别是平面 ， 的一个法向量，则 n1n 2；若 n1，n 2 分别是平面 ， 的一个法向量，则 n 1n20；若 n 是平面 的一个法向量，a 与平面 共面，则 n
20、a0；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直【解析】 一定正确，中两平面有可能重合【答案】 三、解答题图 3289已知 O、A、B、C、D、E、F、G 、H 为空间的 9 个点(如图 328 所示) ，并且k ， k ， k ， m ， m .OE OA OF OB OH OD AC AD AB EG EH EF 求证：(1)A、B、C、D 四点共面，E、F、G、H 四点共面；(2) ；AC EG (3) k .OG OC 【解】 (1)由 m ， m ，知 A、B、C、D 四点共面，AC AD AB EG EH EF E、F 、G、H 四点共面(2) m m( )EG EH EF
21、OH OE OF OE k( )km( )k kmOD OA OB OA AD AB k( m )k ，AD AB AC .AC EG (3)由(2)知 k kOG EG EO AC AO k( )k .AC AO OC k .OG OC 10在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E，F 分别是 BB1，DC 的中点，求证： 是平面AE A1D1F 的法向量【证明】 设正方体的棱长为 1，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0)，E(1,1， )，D 1(0,0,1)，F(0 ， ，0) ，A 1(1,0,1)， (0,1， )，12 12 AE 12(0，1) ， (1,0,0
22、)D1F 12 A1D1 (0,1， )(0，1)AE D1F 12 12 0，12 12又 0，AE A1D1 ， .AE D1F AE A1D1 又 A1D1D 1FD 1，AE平面 A1D1F， 是平面 A1D1F的法向量AE 图 32911如图 329，在四棱锥 OABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，ABC ，OA底面 ABCD，OA2，M 为 OA 的中点， N 为 BC 的中点，证明：直线4MN平面 OCD.【证明】 作 APCD 于点 P.如题图分别以 AB、AP 、AO 所在直线为 x轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系A(0,0,0)，B (1,0,0)，P (0， ，0) ，D( ， ，0)，O (0,0,2)，M(0,0,1)，N(1 ， ，0).22 22 22 24 24(1 ， ，1)，MN 24 24(0， ， 2)， ( ， ，2) OP 22 OD 22 22设平面 OCD的法向量为 n(x，y，z)，则 n 0，n 0.OP OD 即Error!，取 z ，则 y 4，x0，2得 n(0,4 ， )2 n(1 ， ，1)(0,4 )0，MN 24 24 2MN平面 OCD.
