1、1、归一问题【含义】 在解题时，先求出一份是多少( 即单一量)，然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。【数量关系】 总量份数=1 份数量 1 份数量所占份数=所求几份的数量另一总量(总量份数)=所求份数【解题思路和方法】 先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。例 1 买 5 支铅笔要 0.6 元钱，买同样的铅笔 16 支，需要多少钱?解(1)买 1 支铅笔多少钱? 0.65=0.12(元)(2)买 16 支铅笔需要多少钱?0.1216=1.92(元)列成综合算式 0.6516=0.1216=1.92(元) 答：需要 1.92 元。例 2 3 台拖拉机 3 天耕
2、地 90 公顷，照这样计算，5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷?解(1)1 台拖拉机 1 天耕地多少公顷 ? 9033=10(公顷)(2)5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷 ? 1056=300(公顷)列成综合算式 903356=1030=300(公顷) 答：5 台拖拉机 6 天耕地 300 公顷。例 3 5 辆汽车 4 次可以运送 100 吨钢材，如果用同样的 7 辆汽车运送 105 吨钢材，需要运几次?解 (1)1 辆汽车 1 次能运多少吨钢材 ? 10054=5(吨)(2)7 辆汽车 1 次能运多少吨钢材 ? 57=35(吨)(3)105 吨钢材 7 辆汽车需要运几次 ? 10535=3(次
3、)列成综合算式 105(100547)=3(次) 答：需要运 3 次。2 、归总问题【含义】 解题时，常常先找出“总数量” ，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时(几天) 的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。【数量关系】 1 份数量份数=总量 总量1 份数量=份数 总量另一份数= 另一每份数量【解题思路和方法】 先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。例 1 服装厂原来做一套衣服用布 3.2 米，改进裁剪方法后，每套衣服用布 2.8 米。原来做791 套衣服的布，现在可以做多少套?解 (1)这批布总共有多少米 ? 3.2791=25
4、31.2(米)(2)现在可以做多少套? 2531.22.8=904(套)列成综合算式 3.27912.8=904(套) 答：现在可以做 904 套。例 2 小华每天读 24 页书，12 天读完了红岩一书。小明每天读 36 页书，几天可以读完红岩?解 (1)红岩 这本书总共多少页? 2412=288(页)(2)小明几天可以读完红岩? 28836=8(天)列成综合算式 241236=8(天)答：小明 8 天可以读完红岩 。例 3 食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃 50 千克，30 天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃 10 千克，这批蔬菜可以吃多少天 ?解 (1)这批蔬菜共有多
5、少千克? 5030=1500(千克)(2)这批蔬菜可以吃多少天? 1500(50+10)=25(天)列成综合算式 5030(50+10)=150060=25(天)答：这批蔬菜可以吃 25 天。3 、和差问题【含义】 已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。【数量关系】 大数=(和+差) 2 小数=(和-差) 2【解题思路和方法】 简单的题目可以直接套用公式;复杂的题目变通后再用公式。例 1 甲乙两班共有学生 98 人，甲班比乙班多 6 人，求两班各有多少人?解 甲班人数=(98+6)2=52(人 )乙班人数=(98-6)2=46(人)答：甲班有 52 人，乙班有 46
6、 人。例 2 长方形的长和宽之和为 18 厘米，长比宽多 2 厘米，求长方形的面积。解 长=(18+2)2=10(厘米) 宽 =(18-2)2=8(厘米)长方形的面积=108=80(平方厘米)答：长方形的面积为 80 平方厘米。例 3 有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重 32 千克，乙丙两袋共重 30 千克，甲丙两袋共重 22千克，求三袋化肥各重多少千克。解 甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多(32-30)=2 千克，且甲是大数，丙是小数。由此可知 甲袋化肥重量=(22+2) 2=12(千克)丙袋化肥重量=(22-2)2=10(千克)乙袋化肥重量=32-12=20( 千克)答：甲袋化
7、肥重 12 千克，乙袋化肥重 20 千克，丙袋化肥重 10 千克。例 4 甲乙两车原来共装苹果 97 筐，从甲车取下 14 筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多 3筐，两车原来各装苹果多少筐?解 “从甲车取下 14 筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多 3 筐” ，这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是(14 2+3)，甲与乙的和是 97，因此 甲车筐数=(97+14 2+3)2=64(筐)乙车筐数=97-64=33( 筐)答：甲车原来装苹果 64 筐，乙车原来装苹果 33 筐。4、 和倍问题【含义】 已知两个数的和及大数是小数的几倍( 或小数是大数的几分之几)，要求这两个数各是多少，这类应用题叫
8、做和倍问题。【数量关系】 总和 (几倍 +1)=较小的数 总和 -较小的数= 较大的数较小的数 几倍 = 较大的数【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例 1 果园里有杏树和桃树共 248 棵，桃树的棵数是杏树的 3 倍，求杏树、桃树各多少棵?解 (1)杏树有多少棵 ? 248(3+1)=62(棵)(2)桃树有多少棵? 623=186(棵)答：杏树有 62 棵，桃树有 186 棵。例 2 东西两个仓库共存粮 480 吨，东库存粮数是西库存粮数的 1.4 倍，求两库各存粮多少吨?解 (1)西库存粮数 =480(1.4+1)=200(吨)(2)东库存粮数=480-2
9、00=280(吨)答：东库存粮 280 吨，西库存粮 200 吨。例 3 甲站原有车 52 辆，乙站原有车 32 辆，若每天从甲站开往乙站 28 辆，从乙站开往甲站 24 辆，几天后乙站车辆数是甲站的 2 倍?解 每天从甲站开往乙站 28 辆，从乙站开往甲站 24 辆，相当于每天从甲站开往乙站(28-24)辆。把几天以后甲站的车辆数当作 1 倍量，这时乙站的车辆数就是 2 倍量，两站的车辆总数(52+32)就相当于(2+1)倍，那么，几天以后甲站的车辆数减少为(52+32)(2+1)=28(辆)所求天数为 (52-28)(28-24)=6(天)答：6 天以后乙站车辆数是甲站的 2 倍。例 4
10、甲乙丙三数之和是 170，乙比甲的 2 倍少 4，丙比甲的 3 倍多 6，求三数各是多少?解 乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为 1 倍量。因为乙比甲的 2 倍少 4，所以给乙加上 4，乙数就变成甲数的 2 倍;又因为丙比甲的 3 倍多 6，所以丙数减去 6 就变为甲数的 3 倍;这时(170+4-6)就相当于 (1+2+3)倍。那么，甲数=(170+4-6)(1+2+3)=28乙数=282-4=52丙数=283+6=90 答：甲数是 28，乙数是 52，丙数是 90。5、差倍问题【含义】 已知两个数的差及大数是小数的几倍( 或小数是大数的几分之几)，要求这两个数 各是多少，这类应用题
11、叫做差倍问题。【数量关系】 两个数的差(几倍-1)=较小的数较小的数几倍= 较大的数【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例 1 果园里桃树的棵数是杏树的 3 倍，而且桃树比杏树多 124 棵。求杏树、桃树各多少棵?解 (1)杏树有多少棵 ? 124(3-1)=62(棵)(2)桃树有多少棵? 623=186(棵) 答：果园里杏树是 62 棵，桃树是 186 棵。例 2 爸爸比儿子大 27 岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的 4 倍，求父子二人今年各是多少岁?解 (1)儿子年龄 =27(4-1)=9(岁)(2)爸爸年龄=94=36( 岁) 答：父子二人今年的年龄分别
12、是 36 岁和 9 岁。例 3 商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的 2 倍还多 12 万元，又知本月盈利比上月盈利多 30 万元，求这两个月盈利各是多少万元?解 如果把上月盈利作为 1 倍量，则 (30-12)万元就相当于上月盈利的 (2-1)倍，因此上月盈利=(30-12)(2-1)=18(万元)本月盈利=18+30=48(万元) 答：上月盈利是 18 万元，本月盈利是 48 万元。例 4 粮库有 94 吨小麦和 138 吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是 9 吨，问几天后剩下的玉米是小麦的 3 倍?解 由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差(138-
13、94)。把几天后剩下的小麦看作 1 倍量，则几天后剩下的玉米就是 3 倍量，那么，(138-94) 就相当于(3-1)倍，因此剩下的小麦数量=(138-94) (3-1)=22(吨)运出的小麦数量=94-22=72( 吨)运粮的天数=729=8(天) 答：8 天以后剩下的玉米是小麦的 3 倍。6、倍比问题【含义】 有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。【数量关系】 总量一个数量=倍数 另一个数量倍数=另一总量【解题思路和方法】 先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。例 1 100 千克油菜籽可以榨油 40 千
14、克，现在有油菜籽 3700 千克，可以榨油多少?解 (1)3700 千克是 100 千克的多少倍? 3700100=37(倍)(2)可以榨油多少千克? 4037=1480(千克)列成综合算式 40(3700100)=1480(千克) 答：可以榨油 1480 千克。例 2 今年植树节这天，某小学 300 名师生共植树 400 棵，照这样计算，全县 48000 名师生共植树多少棵?解 (1)48000 名是 300 名的多少倍? 48000300=160(倍)(2)共植树多少棵? 400160=64000(棵)列成综合算式 400(48000300)=64000(棵) 答：全县 48000 名师生
15、共植树 64000 棵。例 3 凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家 4 亩果园收入 11111 元，照这样计算，全乡800 亩果园共收入多少元? 全县 16000 亩果园共收入多少元?解 (1)800 亩是 4 亩的几倍? 8004=200(倍)(2)800 亩收入多少元? 11111200=2222200(元)(3)16000 亩是 800 亩的几倍?16000800=20(倍)(4)16000 亩收入多少元 ? 222220020=44444000(元)答：全乡 800 亩果园共收入 2222200 元，全县 16000 亩果园共收入 44444000 元。7、相遇问题【含义】 两个运动
16、的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。【数量关系】 相遇时间= 总路程( 甲速+乙速)总路程=( 甲速+乙速)相遇时间【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。例 1 南京到上海的水路长 392 千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行 28 千米，从上海开出的船每小时行 21 千米，经过几小时两船相遇?解 392(28+21)=8(小时) 答：经过 8 小时两船相遇。例 2小李和小刘在周长为 400 米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑 5 米，小刘每秒钟跑 3 米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出
17、发到第二次相遇需多长时间?解 “第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。因此总路程为 4002相遇时间=(4002) (5+3)=100(秒) 答：二人从出发到第二次相遇需 100 秒时间。例 3 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行 15 千米，乙每小时行 13 千米，两人在距中点 3 千米处相遇，求两地的距离。解 “两人在距中点 3 千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点 3 千米，乙距中点 3 千米，就是说甲比乙多走的路程是 (32)千米，因此，相遇时间=(32)(15-13)=3(小时)两地距离=(15+13)3=84(千米) 答：两地距离
18、是 84 千米。8、追及问题【含义】两个运动物体在不同地点同时出发(或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发)作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。【数量关系】 追及时间= 追及路程( 快速- 慢速)追及路程=( 快速 -慢速)追及时间【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例 1 好马每天走 120 千米，劣马每天走 75 千米，劣马先走 12 天，好马几天能追上劣马?解 (1)劣马先走 12 天能走多少千米 ? 7512=900(千米)(2)好马几天追上
19、劣马? 900(120-75)=20(天)列成综合算式 7512(120-75)=90045=20(天) 答：好马 20 天能追上劣马。例 2 小明和小亮在 200 米环形跑道上跑步，小明跑一圈用 40 秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了 500 米，求小亮的速度是每秒多少米。解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即 200 米，此时小亮跑了(500-200)米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑 500 米所用的时间。又知小明跑 200 米用 40 秒，则跑 500 米用40(500 200)秒，所以小亮的速度是(500-200)40(500200)=300
20、100=3(米) 答：小亮的速度是每秒 3 米。例 3 我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午 16 点开始从甲地以每小时 10 千米的速度逃跑，解放军在晚上 22 点接到命令，以每小时 30 千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距 60 千米，问解放军几个小时可以追上敌人 ?解 敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是(22-16)小时，这段时间敌人逃跑的路程是10(22-6)千米，甲乙两地相距 60 千米。由此推知追及时间=10 (22-6)+60(30-10)=22020=11(小时)答：解放军在 11 小时后可以追上敌人。例 4 一辆客车从甲站开往乙站，每小时行 48 千米;一辆货
21、车同时从乙站开往甲站，每小时行 40 千米，两车在距两站中点 16 千米处相遇，求甲乙两站的距离。解 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车(162) 千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，这个时间为 162(48-40)=4(小时)所以两站间的距离为 (48+40)4=352(千米)列成综合算式 (48+40)162(48-40)=884=352(千米 )答：甲乙两站的距离是 352 千米。例 5 兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走 90 米，妹妹每分钟走 60 米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校 180 米处和妹妹相遇。问他
22、们家离学校有多远?解 要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。从题中可知，在相同时间(从出发到相遇)内哥哥比妹妹多走(180 2)米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走(90-60) 米，那么，二人从家出走到相遇所用时间为1802(90-60)=12(分钟)家离学校的距离为 9012-180=900(米) 答：家离学校有 900 米远。例 6 孙亮打算上课前 5 分钟到学校，他以每小时 4 千米的速度从家步行去学校，当他走了1 千米时，发现手表慢了 10 分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早 9 分钟到学校。求孙亮跑步的速度。解 手表
23、慢了 10 分钟，就等于晚出发 10 分钟，如果按原速走下去，就要迟到(10-5) 分钟，后段路程跑步恰准时到学校，说明后段路程跑比走少用了(10-5)分钟。如果从家一开始就跑步，可比步行少 9 分钟，由此可知，行 1 千米，跑步比步行少用 9-(10-5)分钟。所以步行 1 千米所用时间为 19-(10-5)=0.25(小时)=15(分钟)跑步 1 千米所用时间为 15-9-(10-5)=11(分钟)跑步速度为每小时 111/60=160/11=5.5(千米) 返回查字典首页九、 植树问题【含义】按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做
24、植树问题。【数量关系】 线形植树 棵数距离棵距1环形植树 棵数距离 棵距方形植树 棵数距离 棵距4三角形植树 棵数距离 棵距3面积植树 棵数面积 （棵距 行距）【解题思路和方法】 先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。例 1 一条河堤 136 米，每隔 2 米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？解 13621 68169（棵）答：一共要栽 69 棵垂柳。例 2 一个圆形池塘周长为 400 米，在岸边每隔 4 米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？解 4004100 （棵）答：一共能栽 100 棵白杨树。例 3 一个正方形的运动场，每边长 220 米，每隔 8 米安装一个照明灯，一共可
25、以安装多少个照明灯？解 220484110 4106（个）答：一共可以安装 106 个照明灯。例 4 给一个面积为 96 平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是 60 厘米和 40厘米，问至少需要多少块地板砖？解 96（0.60.4）960.24400 （块）答：至少需要 400 块地板砖。例 5 一座大桥长 500 米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔 50 米有一个电杆，每个电杆上安装 2 盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？解 （1）桥的一边有多少个电杆？ 500501 11 （个）（2 ）桥的两边有多少个电杆？ 11222（个）（3 ）大桥两边可安装多少盏路灯？22244（盏）答
26、：大桥两边一共可以安装 44 盏路灯。十、 年龄问题【含义】这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。【解题思路和方法】 可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。例 1 爸爸今年 35 岁，亮亮今年 5 岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？解 3557（倍）（35+1）（5+1）6 （倍）答：今年爸爸的年龄是亮亮的 7 倍，明年爸爸的年龄是亮亮的 6 倍。例 2 母亲今年 37 岁，女儿今年
27、 7 岁，几年后母亲的年龄是女儿的 4 倍？解 （1）母亲比女儿的年龄大多少岁？ 377 30 （岁）（2 ）几年后母亲的年龄是女儿的 4 倍？30（41 ）73（年）列成综合算式 （377 ） （4 1）7 3（年）答：3 年后母亲的年龄是女儿的 4 倍。例 3 3 年前父子的年龄和是 49 岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的 4 倍，父子今年各多少岁？解 今年父子的年龄和应该比 3 年前增加（32）岁，今年二人的年龄和为 493255（岁）把今年儿子年龄作为 1 倍量，则今年父子年龄和相当于（4 1）倍，因此，今年儿子年龄为 55（41）11 （岁）今年父亲年龄为 11444（岁）答：今年父亲
28、年龄是 44 岁，儿子年龄是 11 岁。例 4 甲对乙说：“ 当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才 4 岁”。乙对甲说：“ 当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将 61 岁”。求甲乙现在的岁数各是多少？解这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析：过去某一年 今 年 将来某一年甲 岁 岁 61 岁乙 4 岁 岁 岁表中两个“”表示同一个数，两个“ ”表示同一个数。因为两个人的年龄差总相等：4 61 ，也就是 4，61 成等差数列，所以，61 应该比 4 大 3 个年龄差，因此二人年龄差为 （614 ）319（岁）甲今年的岁数为 611942（岁）乙今年的岁数为 421923（岁）
29、答：甲今年的岁数是 42 岁，乙今年的岁数是 23 岁。十一、行船问题【含义】行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。【数量关系】 （顺水速度逆水速度）2船速（顺水速度逆水速度）2水速顺水速船速2逆水速逆水速水速2逆水速船速2顺水速顺水速水速2【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例 1 一只船顺水行 320 千米需用 8 小时，水流速度为每小时 15 千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？解由条件知，顺水速
30、船速水速3208，而水速为每小时 15 千米，所以，船速为每小时 320815 25（千米）船的逆水速为 2515 10（千米）船逆水行这段路程的时间为 3201032（小时）答：这只船逆水行这段路程需用 32 小时。例 2 甲船逆水行 360 千米需 18 小时，返回原地需 10 小时；乙船逆水行同样一段距离需15 小时，返回原地需多少时间？解由题意得 甲船速水速3601036甲船速水速3601820可见 （3620）相当于水速的 2 倍，所以， 水速为每小时 （3620）2 8 （千米）又因为， 乙船速水速36015，所以， 乙船速为 36015832（千米）乙船顺水速为 328 40（千
31、米）所以， 乙船顺水航行 360 千米需要36040 9（小时）答：乙船返回原地需要 9 小时。例 3 一架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速度是每小时 576 千米，风速为每小时 24 千米，飞机逆风飞行 3 小时到达，顺风飞回需要几小时？解 这道题可以按照流水问题来解答。（1 ）两城相距多少千米？（57624）31656 （千米）（2 ）顺风飞回需要多少小时？1656（57624）2.76（小时）列成综合算式（57624）3 （576 24）2.76（小时）答：飞机顺风飞回需要 2.76 小时。十二、 列车问题【含义】 这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。【数量关系】
32、火车过桥：过桥时间（车长桥长）车速火车追及： 追及时间（甲车长乙车长距离）（甲车速乙车速）火车相遇： 相遇时间（甲车长乙车长距离）（甲车速乙车速）【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例 1 一座大桥长 2400 米，一列火车以每分钟 900 米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要 3 分钟。这列火车长多少米？解 火车 3 分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。（1 ）火车 3 分钟行多少米？ 90032700（米）（2 ）这列火车长多少米？ 27002400300（米）列成综合算式 90032400300（米）答：这列火车长 300 米。例 2 一列长 2
33、00 米的火车以每秒 8 米的速度通过一座大桥，用了 2 分 5 秒钟时间，求大桥的长度是多少米？解火车过桥所用的时间是 2 分 5 秒125 秒，所走的路程是（8125）米，这段路程就是（200 米桥长） ，所以，桥长为8125200800（米）答：大桥的长度是 800 米。例 3 一列长 225 米的慢车以每秒 17 米的速度行驶，一列长 140 米的快车以每秒 22 米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间？解从追上到追过，快车比慢车要多行（225140）米，而快车比慢车每秒多行（2217 ）米，因此，所求的时间为（225140）（22 17） 73（秒）答：需要 73 秒
34、。例 4 一列长 150 米的列车以每秒 22 米的速度行驶，有一个扳道工人以每秒 3 米的速度迎面走来，那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间？解 如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问题。150（223） 6（秒）答：火车从工人身旁驶过需要 6 秒钟。例 5 一列火车穿越一条长 2000 米的隧道用了 88 秒，以同样的速度通过一条长 1250 米的大桥用了 58 秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少？解车速和车长都没有变，但通过隧道和大桥所用的时间不同，是因为隧道比大桥长。可知火车在（8858）秒的时间内行驶了（20001250）米的路程，因此，火车的车速为每秒（2000
35、 1250） （8858 ）25（米）进而可知，车长和桥长的和为（2558）米，因此，车长为 25581250200（米）答：这列火车的车速是每秒 25 米，车身长 200 米。十三、时钟问题【含义】就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为 60 度等。时钟问题可与追及问题相类比。【数量关系】 分针的速度是时针的 12 倍，二者的速度差为 11/12。通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。【解题思路和方法】 变通为“追及问题”后可以直接利用公式。例 1 从时针指向 4 点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？解钟面的一周分为 60 格，分针每分
36、钟走一格，每小时走 60 格；时针每小时走 5 格，每分钟走 5/601/12 格。每分钟分针比时针多走（ 11/12）11/12 格。4 点整，时针在前，分针在后，两针相距 20 格。所以分针追上时针的时间为 20（11/12） 22（分）答：再经过 22 分钟时针正好与分针重合。例 2 四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？解钟面上有 60 格，它的 1/4 是 15 格，因而两针成直角的时候相差 15 格（包括分针在时针的前或后 15 格两种情况） 。四点整的时候，分针在时针后（ 54）格，如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走（5415）格，如果分针在时针前与它成直角
37、，那么分针就要比时针多走（5415）格。再根据 1 分钟分针比时针多走（1 1/12）格就可以求出二针成直角的时间。（54 15 ）（11/12 ） 6（分）（54 15 ）（11/12 ） 38（分）答：4 点 06 分及 4 点 38 分时两针成直角。例 3 六点与七点之间什么时候时针与分针重合？解六点整的时候，分针在时针后（56）格，分针要与时针重合，就得追上时针。这实际上是一个追及问题。（56 ）（1 1/12） 33（分）答：6 点 33 分的时候分针与时针重合。十四、 盈亏问题【含义】根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈） ，一次不足（亏） ，或两次都有余，或
38、两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。【数量关系】 一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：参加分配总人数（盈亏）分配差如果两次都盈或都亏，则有：参加分配总人数（大盈小盈）分配差参加分配总人数（大亏小亏）分配差【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例 1 给幼儿园小朋友分苹果，若每人分 3 个就余 11 个；若每人分 4 个就少 1 个。问有多少小朋友？有多少个苹果？解 按照“参加分配的总人数（盈亏）分配差”的数量关系：（1 ）有小朋友多少人？（111 ）（43 ）12（人）（2 ）有多少个苹果？ 3121147（个）答：有小朋友 12 人，有 47
39、 个苹果。例 2 修一条公路，如果每天修 260 米，修完全长就得延长 8 天；如果每天修 300 米，修完全长仍得延长 4 天。这条路全长多少米？解题中原定完成任务的天数，就相当于“参加分配的总人数 ”，按照“参加分配的总人数（大亏小亏） 分配差” 的数量关系，可以得知原定完成任务的天数为（26083004）（300260）22 （天）这条路全长为 300（224 ） 7800（米）答：这条路全长 7800 米。例 3 学校组织春游，如果每辆车坐 40 人，就余下 30 人；如果每辆车坐 45 人，就刚好坐完。问有多少车？多少人？解 本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”，于是就有（1
40、）有多少车？（30 0）（4540）6（辆）（2 ）有多少人？ 40630 270（人）答：有 6 辆车，有 270 人。十五、工程问题【含义】工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程 ”、 “一块土地” 、 “一条水渠”、 “一件工作”等，在解题时，常常用单位“1” 表示工作总量。【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几） ，进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。工作量工作效率 工作时间工作时间工作
41、量 工作效率工作时间总工作量 （甲工作效率乙工作效率）【解题思路和方法】 变通后可以利用上述数量关系的公式。例 1 一项工程，甲队单独做需要 10 天完成，乙队单独做需要 15 天完成，现在两队合作，需要几天完成？解题中的“一项工程” 是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需 10 天完成，那么每天完成这项工程的 1/10；乙队单独做需15 天完成，每天完成这项工程的 1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的（1/101/15） 。由此可以列出算式： 1（1/101/15）11/66 （天）答：两队合做需要 6 天完成。例 2 一批零件，甲独
42、做 6 小时完成，乙独做 8 小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做 24 个，求这批零件共有多少个？解设总工作量为 1，则甲每小时完成 1/6，乙每小时完成 1/8，甲比乙每小时多完成（1/6 1/8） ，二人合做时每小时完成（1/61/8） 。因为二人合做需要 1（1/61/8） 小时，这个时间内，甲比乙多做 24 个零件，所以（1 ）每小时甲比乙多做多少零件？24 1（1/61/8） 7（个）（2 ）这批零件共有多少个？7（ 1/61/8） 168（个）答：这批零件共有 168 个。解二 上面这道题还可以用另一种方法计算：两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为 1/61/8 43由
43、此可知，甲比乙多完成总工作量的 43 / 43 1/7所以，这批零件共有 241/7168（个）例 3 一件工作，甲独做 12 小时完成，乙独做 10 小时完成，丙独做 15 小时完成。现在甲先做 2 小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？解必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为 12、10、和 15 的某一公倍数，例如最小公倍数 60，则甲乙丙三人的工作效率分别是60125 60106 60154因此余下的工作量由乙丙合做还需要（60 52）（64）5（小时）答：还需要 5 小时才能完成。例 4 一个水池，底部装有一个常开
44、的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4 个进水管时，需要 5 小时才能注满水池；当打开 2 个进水管时，需要 15 小时才能注满水池；现在要用 2 小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？解注（排）水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。要 2 小时内将水池注满，即要使 2 小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量（一池水） 。只要设某一个量为单位 1，其余两个量便可由条件推出。我们设每个同样的进水管每小时注水量为 1，则 4 个进水管 5 小时注水量为（14
45、5） ，2 个进水管 15 小时注水量为（1215） ，从而可知每小时的排水量为 （1215145）（155）1即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知一池水的总工作量为 145 1515又因为在 2 小时内，每个进水管的注水量为 12，所以，2 小时内注满一池水至少需要多少个进水管？ （1512）（12）8.59（个）答：至少需要 9 个进水管。十六、正反比例问题【含义】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定） ，那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。两
46、种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。【数量关系】判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。【解题思路和方法】解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。例 1 修一条公路，已修的是未修的 1/3，再修 300 米后，已修的变成未修的 1/2，求这条公路总长是多少米？解 由条件知，公路总长不变。原已修长度总
47、长度1（ 13）1 4312现已修长度总长度1（ 12）1 3412比较以上两式可知，把总长度当作 12 份，则 300 米相当于（43）份，从而知公路总长为 300（43 ）123600（米）答： 这条公路总长 3600 米。例 2 张晗做 4 道应用题用了 28 分钟，照这样计算，91 分钟可以做几道应用题？解 做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系设 91 分钟可以做 X 应用题 则有 284 91X28X914 X91428 X13答：91 分钟可以做 13 道应用题。例 3 孙亮看十万个为什么这本书，每天看 24 页，15 天看完，如果每天看 36 页，几天就可以看完？解 书的
48、页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系设 X 天可以看完，就有 2436 X1536X2415 X10答：10 天就可以看完。例 4 一个大矩形被分成六个小矩形，其中四个小矩形的面积如图所示，求大矩形的面积。A 25 2036 B 16解由面积宽长可知，当长一定时，面积与宽成正比，所以每一上下两个小矩形面积之比就等于它们的宽的正比。又因为第一行三个小矩形的宽相等，第二行三个小矩形的宽也相等。因此，A36 20 16 25B2016解这两个比例，得 A45 B20所以，大矩形面积为 453625 202016162答：大矩形的面积是 162.十七、 按比例分配问题【含义】所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各
