1、一、实数,课程标准及学习目标,1、实数课标要求 (有的放矢),(1)有理数理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小。借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与 绝对值(绝对值符号内不含字母)。理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算以三步为主)。,理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算。能运用有理数的运算解决简单的问题。能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断。参见例1 (2)实数 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根。,了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些
2、数的立方根，会用计算器求平方根和立方根。了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应。能用有理数估计一个无理数的大致范围。参见例2,了解近似数与有效数字的概念；在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值。了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算(不要求分母有理化)。,例1在下列实数中,无理数共有( )A2个 B3个 C4个 D5个,一、实数的分类(基本概念)：,C,有 理 数 总 复 习,一、有理数的基本概念,二、有理数的运算,1.负数 2.有理数 3.数轴 4.互为相反数 5.互为倒数 6.有理数的绝对值 7.有理数
3、大小的比较 8.科学记数法、近似数与有效数字,加、减、乘、除、乘方运算,一、有理数的基本概念,1.负数：,在正数前面加“”的数；,0既不是正数，也不是负数。,判断：1）a一定是正数；2）a一定是负数；3）（a）一定大于0；4）0是正整数。,2.有理数：,整数和分数统称有理数,有理数,整数,分数,正整数（自然数）,零,负整数,正分数,负分数,有理数,正有理数,零,负有理数,正整数（自然数）,正分数,负整数,负分数,3.数 轴,规定了原点、正方向和单位长度的直线.,1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；,2）正数都大于0,负数都小于0；正数大于一切负数；,3）所有有理数都可以用数轴上的
4、点表示。,4.相反数,只有符号不同的两个数，其中一个是另一个的相反数。,1）数a的相反数是-a,2）0的相反数是0.,-2,2,-4,4,3）若a、b互为相反数，则a+b=0.,（a是任意一个有理数）；,5.倒 数,乘积是1的两个数互为倒数 .,1）a的倒数是 （a0）；,3）若a与b互为倒数，则ab=1.,2）0没有倒数 ；,例：下列各数，哪两个数互为倒数？8， ，-1，+（-8），1，,6.绝对值,一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。,1）数a的绝对值记作a;,a,-a,0,3) 对任何有理数a,总有a0.,7.有理数大小的比较,1）可通过数轴比较：在数轴上的两个数，右边的
5、数 总比左边的数大；正数都大于0，负数都小于0； 正数大于一切负数； 2）两个负数，绝对值大的反而小。 即:若a0,b0,且ab,则a b.,8.科学记数法、近似数与有效数字,1. 把一个大于10的数记成a10n 的形式，其中a是整数数位只有一位 的数，这种记数法叫做科学记数法 .,2. 一个近似数，从左边第一个不是0 的数字起到，到精确到的数位止，所 有的数字，都叫做这个数的有效数字。,9.有理数的五种运算,1.运算法则 2.运算顺序 3.运 算 律,1.运算法则,1）有理数加法法则 2）有理数减法法则 3）有理数乘法法则 4）有理数除法法则 5）有理数的乘方,1)有理数加法法则, 同号两数
6、相加,取相同的符号,并把绝对值相加；, 异号两数相加,取绝对值较大 的加数的符号,并用较大的绝对值 减去较小的绝对值；互为相反数 的两数相加得0；, 一个数同0相加,仍得这个数。,若a0,bb, 则a+b=,用数学语言描述有理数加法法则：,同号相加：若a0,b0,则a+b=,若a0,b0,则a+b=,若a0,b0,ab,则a+b=,异号相加,与0相加,若a、b互为相反数，则a+b=,a是任一个有理数，则a+0=,a+b,-,a-b,(b-a),0,a,(a+b),-,2)有理数减法法则,减去一个数，等于加上这个数的相反数.即 a-b=a+(-b),例：分别求出数轴上两点间的距离： 表示2的点与
7、表示-7的点； 表示-3的点与表示-1的点。,解：2-（-7）=2+7=9=9-3-（-1）=-3+1=-2=2,3）有理数的乘法法则,两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0., 几个不等于0的数相乘，积的符号 由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个 时，积为正., 几个数相乘，有一个因数为0， 积就为0.,用数学语言描述有理数乘法法则：,同号相乘若a0,b0,则 ab=,ab,若a0,b0,则 ab=,ab,异号相乘若a0,b0,则 ab=,若a0,则 ab=,ab,ab,数与0相乘,a为任何有理数，则 a0=,0,+,+,-,-,4
8、)有理数除法法则,除以一个数等于乘上这个数的倒数;即,ab=a (b0), 两数相除,同号得正,异号得负, 并把绝对值相除;0除以任何一个不等于0的数,都 得0.,5)有理数的乘方,求n个相同因数的积的运算,叫做乘方。,正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.,2.运算顺序,1）有括号，先算括号里面的； 2）先算乘方，再算乘除，最后算加减； 3）对只含乘除，或只含加减的运算，应从左往右运算。,3.有理数的运算律,1)加法交换律,a+b=b+a,2)加法结合律,(a+b)+c=a+(b+c),3)乘法交换律,ab=ba,4)乘法结合律,(ab)c=a(bc),5)分 配
9、律,a(b+c)=ab+ac,10.平方根与算术平方根,一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“ ”，读作“根号a” .特别地，我们规定0的算术平方根是0，即 =0.,一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根(square root)，记为“ ”，读作“正负根号a” .特别地，我们规定0的平方根是0，即 =0.,你发现它们的区别了吗！,11.平方根与算术平方根,在“如果x2=a，那么x= ”中.其隐含的条件有： 1.x0（即 0 ）,2.a0 ； 3.（ ）2=a ；4. =a.,在“如果x2=a，那么x= ”
10、 中.其隐含的条件有： 1.a0 ； 2.（ ）2=a ； 3.,12.平方根的性质与开平方,1.一个正数有两个平方根，且它们互为相反数； 2.0只有一个平方根，它是0本身； 3.负数没有平方根. 4.（ ）2=a ； 5.,开平方： 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方(extraction of square root)，其中a叫做被开方数. 开平方运算与平方运算互为逆运算.,一般地，求一个数的平方根的方法有两种： 1.根据乘方意义求平方根; 2.用计算器求平方根.,13.立方根与开立方,一般地，如果一个正数x的立方等于a，即x3=a，那么这个正数x就叫做a的立方根（cube root），
11、记为“ ”，读作“3次根号a” .特别地，我们规定0的立方根是0，即“ ” 在“如果x3=a，那么x= ” 中.其隐含的条件是 x、a都可以是任意数 ；,14.立方根的性质与开立方,1.一个正数有一个正立方根； 2.一个负数有一个负的立方根. 3. 0的立方根是0本身； 4. 5. 6.,开平方： 求一个数a的立方根的运算，叫做开立方(extraction of square root)，其中a叫做被开方数. 开立方运算与立方运算互为逆运算.,一般地，求一个数的立方根有两种： 1.根据乘方意义求立方根; 2.用计算器求立方根.,1.有理数和无理数的区别: 不同之处在于“无限不循环小数“与“无限
12、循环小数“的差别，前者不能化为分数，而后者能化为分数,2.开方运算是作为乘方运算的逆运算引人的，它使6种代数运算(加、减、乘、除、乘方、开 方)的学习趋于完善，同时把数系扩张到实数加法、乘法和乘方是“定义”的运算，而减法、除法和开方是作为“定义运算”的逆运算而引人的，加法和减法的统一,乘法和除法的统一,乘方和开方的统一。,3.实数的运算法则和运算律: 有理数的运算法则和运算律完全适用于实数.,15.实数与有理数,16.有关实数的非负性：,若几个非负数的和等于0,那么这几个非负数都0.,18.近似数与有效数字：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。这时，从左边第一个非0数字起
13、，到精确的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。,17.科学记数法：把一个数记成 的形式，其中 ，n 为整数。这种记数方法叫做科学记数法。,19.带根号的数的化简和计算：,化简标准: （1）被开方数不含开得尽方的因数或因式；（2）被开方数不含分母；（3）分母中不含带根号的数。,化简工具：,20.计算：,(1)加减法把带根号的数看作“字母”,仿“通分”、 “分解因式”、“合并同类项”运算；,(2)乘除法运用性质：,把带根号的数(因式)看作“字母”,仿“分解因式”,“约分”运算；,特别地,化去分母中的根号,如：,(4)乘方开方运用性质：,把带根号的数(因式)看作“字母”,仿“分解因式”,“约
14、分”运算；,例2：3的相反数的倒数是 。,例3：a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，且 ，则 。,例4：已知：| a |=3，| b |=2，且 ab 0，求 ab 的值。,a =3， b =2时， ab5,a =3， b =2时， ab5,例5：0.16的平方根是 ； 的算术平方根是 ；,例6：已知 ，化简 。,例7：若 ,则 。,例8：卫星绕地球运行的速度(即第一宇宙速度)是，则卫星绕地球运行 秒走过的路程 米(结果保留两个有效数字)。,例9：02潍坊若 与 互为相反数，则 的值为 。,例10：（中考题选）,1.(海淀区2004)2的相反数是 A B C-2 D2,2.(海淀区2004
15、)2003年信息产业部的统计数据表明,截止到10月底,我国的电话用户总数达到5.12亿,居世界首位其中5.12亿用科学记数法表示应为 A B C D,3.(重庆市北碚区 2004 ) 的相反数是（） A B C -2 D 2,4.(重庆市北碚区 2004 )据重庆经济报2004年 4月 22日报道，今年我国要确保粮食产量达到 4550亿千克 .则该产量用科学记数法表示正确的是 （） A 4.55 103亿千克 B 0.455 104亿千克 C 45.5 102亿千克 D 455 10亿千克,5.(青海省湟中县实验区2004 ) 的相反数的倒数是 .,6.(青海省湟中县实验区2004 ) 我县是
16、全省人口最多的县，约为473500人，用科学记数法表示为_.,7.(灵武开福曲沃乌海卷2004 )世界文化遗产长城总长约6 700 00 m，用科学记数法可表示为（ ） A、6.7105m B、6.710-5m C、6.7106m D、6.710-6m,8.(南宁市实验区2004 ) 一个机器人从O点出发，向正东方向走3米到达A1点,再向正北方向走6米到达A2点,再向正西方向走9米到达A3点,再向正南方向走12米到达A4点,再向正东方向走15米到达A5点.按如此规律走下去,当机器人走到A6点时,离O点的距离是 米.,能力测试独立作业,数学专页第三27期,祝同学们：金榜题名！,愿我们：心想事成！,
