1、1七、三角形四心问题一、四心的概念介绍（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成 2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1） 是 的重心.0OCBAABC证法 1：设 ),(),(),(), 321yxyx0)()()(321 3213yyxx是 的重心.OABC证法 2：如图0D三点共线，且 分A、OAD为 2：1是 的重心OBC（2） 为 的垂心. BC证明：如图所示 O 是三角形 ABC 的垂心，BE 垂直 A
2、C，AD 垂直 BC， D、E 是垂足.0)( AOAACB同理 ， B为 的垂心OA（3）设 , , 是三角形的三条边长，O 是 ABC 的内心abc为 的内心.CB0ABC证明： 分别为 方向上的单位向量，、平分 ,bAc)，令(OCBcba OAB CD EOAB CDE2（ )cbaAObACB化简得 0)( （4） 为 的外心。CBAOAB三、例题分析例 1： 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足C、 P， ，则点 的轨迹一定通过 的 )(ABOP,0PABC例 2： 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足OCBA、 P， ，则点 的轨迹一定通过 的 )
3、(ACBP,0PABC例 3： 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足OCBA、 P， ，则点 的轨迹一定通过 的)coscs(BAP,0ABC3四、巩固练习1已知 三个顶点 及平面内一点 ，满足 ，若ABCCB、P0PCBA实数 满足： ，则 的值为 P2若 的外接圆的圆心为 O，半径为 1， ，则 ABC 0OCBABA3点 在 内部且满足 ，则 面积与凹四边形O02A面积之比是 ABC4 的外接圆的圆心为 O，若 ，则 是 的 OCBHHAB5 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，若OCBA、 22O，则 是 的 22CA6 的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H，B，)(mOH则实数 m = 7已知非零向量 与 满足( + ) =0 且 = , 则ABC 为 AB AC AB |AB |AC |AC | BC AB |AB |AC |AC |128已知 三个顶点 ，若 ，则ABB、 ABABA24为 ABC
