1、微积分是算术作为关于高的故事（以 表示）9.0林群（linq ）http:/ ） 。第0.9二，故事后面的展开，需要代数（符号、方程与运算） 。目录第 1 集 大众微积分第 2 集 中学微积分第 3 集 多项式微积分第 4 集 非多项式=多项式+第 5 集 非多项式微积分（补遗）第 6 集 展开式与函数的算法第 1 集 大众微积分主要内容1.多项式简介 多项式易理解，易计算，易预测2.世界由多种函数构成 任意函数难理解，难计算，难预测3.所有函数可以转换为多项式来计算4.主角“高”亮相：树高与山高1. 我们最早接触的数学恐怕是数字 1,2,3，以及它们的运算 。大家对于+， ，类似于 这样的式
2、子不会陌生。现在让我们看一组式子：21+4-3+3， ， ， 324+563277发现它们有一个共同的特点，就是把 中的 换为 2,4,7 即可。我+456xx们发现类似于 的多项式函数既容易理解也容易计算。但是，世界32+456x是丰富多彩的，生活中充满了各种各样的函数。2. 世界好像起伏不平的山坡，有变化的斜坡、峰与谷、高与低。如何用数字刻画它们？数字世界首先需要函数。根据 Strang 的演讲26：“对于增长运动，有幂函数 ，2,x：3,nx抛物线 （见附录 3）2x如果想要速度增长很快，还有指数函数 ： e利息 繁殖（见附录 3）相反，减少足够快的则是 ：xe项链，晒衣绳或吊桥（见附录
3、 3）2xe当我们看到了振动，物体来来回回，物体上上下下，比如钟摆，圆周运动，心跳，呼吸，地球的公转，很多运动都是这种重复运动：于是三角函数 与 就派上用场了。 ” 张景中 28李大潜27 还讲到了对sinxco数函数 的途径：l兀鹰捕食的路径（见附录 3）3. 但是这样的函数，如 ，不是多项式，又怎么计算呢？不用担心，sin,lxe它们都可以转化为多项式来计算。欲知详情，有知情权或话语权，必须学习高等算术，或微积分。微积分含有微分与积分， 简单的理解，它们是曲线的高，或仔细说，有小高（微分）与全高（积分）：这一理解，感受到微积分是求高，来自一根导火线，或一个故事。4. 树高与山高 一天我散步
4、在一棵古树下，听游客争论如何测树高，有人说只有砍树才行，要砍树么？我学过初中三角，意识到一个经济的方法是利用一个直角三角形,不必砍树（谁说数学不中用）！人民日报(1997.08.06) =小 高斜 率 小 底我突发奇想：当问题变复杂，例如遇到测山高，我们将面临一个曲边山坡，怎么办？还能不能利用直角三角形求高呢？有一张图，将曲边三角形分割为直边三角形：光明日报 (1997.06.27) 张景中（30 图 16-2，称林群模型）（也参考注 7 后的图）后者称为“微分三角形” （黑色） ，它跟山坡相切或靠的尽量近的。它的高简称微分。图中还有一小缝（否则山坡是直的） ，于是，山坡小高=微分+小缝，而山
5、坡全高= 微分的和+小缝的和 （1-1）或微分的和= 全高 小缝的和 （1-2）那么，能不能计算小缝以及它们的和呢？举例：当山坡是在区间0,1的抛物线，由计算得到（或见第二集） ，小缝的和就等于剖分的尺寸。那么，当后者相继取 0.1，0.01,0.001，前者也就相继取到 0.1,0.01,0.001，。因全高=1 ，那么（ 1-2）的右边变成 ，所以左边也变成 ：0.9A0.9A微分的和=求出了（只要不断地加 9）！这时左边（即无限小数的无限多和）按传统的记号，记为积分。谁想得到这个积分即循环小数？如果承认 ，我们便说0.1A积分=全高 小缝的和消失了，曲直合一，称为微积分的基本公式。谁想得
6、到这个公式即 ？0.91A到此我们只用了一张示意图（剖分为“微分三角形” ）以及一个循环小数（） ，无需令人烦恼的符号与计算，可称大众（甚至儿童）微积分。这便是全0.9A书的思想，要渗透血液，进入基因。剩下只是对更多曲线（如 ）精确计算小缝的和，验证它也能取到小数3,.nx0.1, 0.01, 0.001。但这时只用图形与文字解说已经不够了，还需要代数（记号，方程与运算） 。（1-1 ）是求高的公式， （1-2）变为求和的公式，后者将给出多项式曲线下的面积。5. 简史传统微积分课本，积分求面积，微分求切线 前者一团，后者一条，它们是不同的测量单位。它们的统一很费事（需要众多准备知识与人工技巧）
7、 。如今（或早先的书 ）积分作为全高，微分改写63或成小高，两者都是一条（长或短） ，同一的测量单位，自动统一。换言之，如今只需要一个改写程序，它便是贯穿全书的普适生产线。此外，传统课本惯用 方法（不等式） ，它是处理一般函数的存在性方法。相反，我们采用循环小数（等式） ，构造性的方法，来构造多项式（最重要的函数类）微积分。注意 新近，张景中2430提出了一个不等式，他别出心裁，开辟新路，轻巧揭开了微积分的基本理论与丰富的应用。相形之下，本书偏重于数字化（即两个展开式） ，只有一碗水。读者阅读本书时，别忘了2430，还有杨玮琦31Range32项武义33，他们有一桶水。本书路线图 先把 的微积
8、分算好，再搬到 。 2xnx第 2 集 中学微积分剧情 如何计算 的小高与全高？2虽然我们要把公式减到最少，但至少需要下面这个中学公式：(2-1) 1. 小高取山坡为抛物线， ，作为微积分的雏形。如何计算 在子区间2x 2x的小高？需要代数（符号，方程与运算）！x,+h山坡在点 的高等于 ,在另一点 的高等于 ，两者的差xh()h就是山坡在 的小高：对给定 与任一x,+hxh（2-2）22()x或当 ，变为0h（2-2()hxh3）右边分解为两部分，其中常数， ，称为 在点 的导数，记2x2x（2-()22()uvuv4）实际上，若 ，取 - -0.001,，则（2-3）的右边变为0x.1,h
9、0,（这里假设 是整数，否则还要加上非整数部分），所以左边也变成 (21).9A2: 2()(1).9xhx求出了（只要不断地加 9）！这时左边（有无限小的除数）按传统的记号，记为导数 。2()x谁能想到这个导数即循环小数？如果承认 ,我们便说 。0.1A2()x谁能想到这个公式即 ？0.91A习题 当 ，取 0.001,，则（2-3）的右边变为x0.1,h（这里假设 是整数，否则还要加上非整数部分），所以左边也变成(2).9A2。1当 时， （2-3）右边取什么？0x由于小高 = 2xh先把小缝 作为小缝，构造 “微分三角形”:2h剩下 ，便作为微分。这样的 “微分三角形 ”与山坡相切或靠的
10、最近。2xh延伸 既然导数很有用，我们能不能求出更多函数，例如函数 的导数？提2x示：模仿（2-2） ， 在 的小高2x,+h()20x常数 2, 称为 在点 的导数, 记类似有常数 C 的导数 : 。还可求高阶导数： 的二阶导数通过一阶导数0 2x来计算(2-5)2)()22xx三阶导数通过二阶导数来计算 0(222. 小高与微分（2-2） （2-4 ） （2-5）合成微分展开式：在子区间 x,+h（2-22()()2xhxh6）其中 与 又称 的 1 阶与 2 阶微分。于是小高（与小缝）改写成微分。()2xh2)2这是中学等式， （2-2） ，的改写，可推广为大学微分展开式：函数 的)(x
11、f变化, , 是自变量的变化 ， ，的多项式()(ffxh()()()2ffxfhx它说的是一个故事在未来的展开， ,由现状 , 和 决定。f)(xf算命甚或过去（ ）也能复原。0h由（2-6 ）反过来，把 1 阶与 2 阶微分相继替代为小高（2-22()()hxhx 7） （2-8） 2()()结果(2-9)22()2hxhxx即微分改写成小高。结论 小高与微分相互转换。（2-7 ） （2-8） （2-9）把微分改写成小高，这就是贯穿全书的改写程序！3. 全高设全区间 由各个子区间， ，组成。 a,bx,h有了（2-9 ）在每一子区间，它们的和,记 ，即在全区间的全高: (2-10)22()
12、2hxhba此即化整（在 ）为零（在 ），再由零，（2-9），到整（2-10）。a,b,若 ， , 有1021xh当 0.001,则右边变成 ，所以左边也变成 ：.,h0.9A0.9A2x求出了（只要不断地加 9）！这时左边按传统的记号，记为积分, 。120dx谁能想到这个积分即循环小数？如果承认 ,我们便说 。0.1A120dx谁能想到这个公式即 ？0.91A一般，对(2-10),我们也能取 （即 的十等分,百.,hba ba等分，千等分，），能够得到这个数 （假设 是整数，2().A2否则还要加上非整数部分），求出了（只要不断地加 9）！如果承认 ，0.91A我们便说(2-11)22 db
13、axa谁能想到这个公式即 ？0.91A注 1 (唯一性) 我们认为当 充分小，有唯一的一个数，近似于 。 h 2xh实际上，如果我们将 取成两个不同的序列, 和 ： ，npq21nnp,则21nxq.22|()()|nnnnnxpppq由于 可以充分小, 和 也可以充分小, 于是这个数是唯一的。hnpnq令人吃惊的是, (2-11) 是中学等式(2-1) 的一个变形:(2-1) (2-2) (2-3) 微分三角形 (2-10) (2-11) (2-10) (2-11) 合成积分展开式22()2bahxh dxa于是，积分与和之间的缝，被精确计算出来了!因此在中学微积分，我们只需要一个等式与 ，
14、它的变形导出有用的定义0.9A或符号（导数，微分和积分） 。 我们已经实现了梦想，化曲为直或以直代曲！ 注 2 (唯一性) 当上面的分割不一致时，有不同的底， , 那么(2-10)01,mh变为 012mxhxh 2220=()ba(练习).右边, ,无论分割有多大都是唯一的.2ba总结 今后不管处理什么样品，抛物线或别的曲线，都采取同一改写程序，（2-7） （2-8 ） （2-9） ，把微分（或小缝）改写为小高，千篇一律，不需要再改变。这是一条普适的生产线，将在书中处处重现！于是，懂得抛物线的三个等式，（2-7）（2-8）（2-9）（酵母），也就懂了全书技巧与程序（发酵），一本万利。所以，忘
15、掉一切也不可忘了这三个等式，它们是本书唯一需要用心之处第 3 集 多项式微积分所有都是中学等式， （2-2） ，的变形。1 发酵： 的高3x出于好奇，要问当山坡是次曲线， ，时会发生什么？改写程序， （2-7） （2-3x8） （2-9 ） ，会变成什么样？幸亏可以复制对酵母， ，取得的经验，一条普适2x生产线，无需修改。托尔斯泰：幸福的家庭都是相似的首先重复（2-2） （2-3 ）的流程，把 在 的小高也分解成两部分：3x,h(3-1)322()xhh或当 ，变为 0h322()3xh其中常数， ，称为 在点 的导数，记23x3（3-32()x2）（3-1）右边为微分， ，与小缝（或高阶导数
16、） ， 。23xh23xh注意 对导数有不同的解读，特别见张景中，杨玮琦，Livshits, Range, Dovermann, Karcher, Leger 等。改写程序 把微分（与小缝）改写成小高。（3-1）与（ 3-2） （2-4） （2-5 ）合成微分展开式23333)( ()!)=hxhxx（后两项利用了 2 阶导数 与 3 阶导数 ） 。或改2(6(6)写成2()()()()3!hfxhfxhffx（ ）0A即小高改写成微分。反过来，重复改写程序， （2-7） （2-8） （2-9） ，把各阶微分相继替代为小高2()()()3!hfxhffxxf （ ）1A（ ）()()()2ff
17、ff 2A（ ）xhx 3结果（ ） 222()()()()3!()()()(14hfxhffxfhfxfhfxfxhffxhffxhf 4A即微分改写成小高。于是，小高与微分相互转换！这里没有技巧，只是机械的操作！图示（把竖的高放平）：（ ）为积分展开式开路：在每个子区间 的小高加起来就是在大区4Ax,+h间 的全高 a,b（3-3） 2()()()()21fxhfbafbfafbfa 此即化整（在 ）为零（在 ） ，再由零， （ ） ，到整， （3-3） 。,xh4A回到 , ( ) 即3()fx4A（3-22 2)36()1hhhxx4）由此小高的和便是全高（3-2232(3)(6)1h
18、hxhbaba5）当小缝的和相继取为 0.1,0.01,0.001,（例如选适当的 ),则右边变成 h(假设 是整数，否则还要加上非整数部分 ) ，于是左边也3(1).9baA3ba变成 :3 23(1).9xhbaA这时左边按传统的记号，记为积分, 。 d谁能想到这个积分即循环小数？如果承认 ，我们便说0.91A（3-23 baxa6） 谁能想到这个公式即 ？0.91A习题 只要 缩小， （3-5）右边必定经过 ，h3().*ba3(1).9*,ba最后仍然写成 。3(1).9*,ba 3().A（3-5 ） （3-6 ）合成积分展开式223()(6)12b2ahhxh= dxaba于是，积
19、分与和之间的缝，能精确计算。注 3 (初学不读） 当分割变成不均匀，有不同的底， ，那么（3-5）01,m右边中间项变成 2(3)ii hIx（练习） 。由注 2 并考虑 ，令 ，则有,0,abmai223()=iiIxhbh所以（3-5 ）右边， ，保持不变，无论怎样分割。特别3230ix注 4 回顾小平邦彦的计算（20例 4.2） ，他要用中值定理以及黎曼积分的唯一性，太深奥！我们直接由小高（3-4）导出等式（3-5） ，既精确又容易！这样一条生产线（或改写程序） ，也适用于 ，但比 的各等式， （ ）4x30A（ ） ，都多增一项。3A2 继续发酵： 的高4x改写程序 把微分（或小缝）改
20、写成小高。重复 的流程，把 在 的小高也分解成两部分34,xh43234()6xhxhxh那么有微分， ，与小缝（或高阶微分） ， 。或改写成3423(4)()()()()3!fxhfxhffxhxfh（比（ ）增一项） 。重复 的改写程序，把各阶微分相继替代为小高 0A323(4)()()()!fxffxfxfx 2()hhh(4)()()fxfhfxf(比（ ） （ ） （ ） 增一项), 结果1A23 2(4)()()()23!hfxhffxfhfxfhfx 23(4)3!ff 233(4)(4)()()()21!2!hhhfxhffxhffxfxxf(4)()()()1fffffff4
21、(4)!hfx 244()()()()()(21!hhfffxhffxffxfx 2(4)()()()(0fxhfffffxf 即微分改写成小高。于是，小高与微分相互转换！这里没有技巧，只是机械的操作！ 图示（把竖的高放平）：这为积分展开式开路：把每个子区间的小高加起来就是全高 2()()()()21hhfxhfbafbafbfa 这就是积分展开式！回到 , 加上 ，便有微积分基本公式4()f0.91A43dbax此即曲线 下的面积。3x3 继续发酵： 的高5生产线或改写程序 把微分（与小缝）改写成小高。有微分展开式 234(4)(5)()()()()3!hhhfxhfxhffxfxfx（比（
22、 ）增两项） 。重复 的改写程序，把各阶微分相继替代为小高0A4234(4)(5)()()()3!hhhfxhffxfxffxx 23()()h 2(4)(5)()() !hfxffxffx(5)(4)(4)fhff（比（ ） （ ）增两项） ，结果1A2 23(4)(5)()()() 23!4!2hhfxhffxfhfxfhfxfx 234(4)(5)()3!fff234(4)(5)3()()()21!10hhhfxhffxhffxfxfx(4) 2fffffff234(5) (4)(5)33!1!10hhhfxfxfx 24(5)()()()(26!hhffffffxfx 2()()()(
23、1fxhffxhfff4(4)()6!ff即微分改写成小高。于是，小高与微分相互转换！这里没有技巧，只是机械的操作！ 这为积分展开式开路：在每个子区间的小高加起来就是全高 2()()()()21hhfbafxhfbafbfa4(4)()6!ff这就是积分展开式！回到 , 加上 ，便有微积分基本公式5()fx0.91A54dbax此即曲线 下的面积。4x同样处理 （如果你能作出 ，你就彻底掌握了本书生产线或改写6,n 6x程序） 。现在过河拆桥忘掉 ，换成大学包装：2345,x， ，4 总结：多项式小高的两种表达式（3-21()()()()()3!nnhhfxhfxhffxfx -7）（3-21
24、 2()()()(fxcffxcfxhf 8） 3(4)(4) ()()3()(nnfhff xhxfcff 由后者直得全高（3-2123(4)(4) ()()3()() nnfbafxhcfbahcfbfahc f 9）加上 ，便有微积分基本公式0.1A（3-()()dbaffx10）此即曲线 下的面积。为简化符号，令()fx fF那么（3-9 ）改写成231234(1)(1)4()()()()ba nnnFxdxhcFbahcbahcFbahca（3-11）其中124681011,!7!39!32693,5!0ccc皆等于零。357913517,cc注 5 （选修）为何不出现奇次幂？把（
25、3-11）右边第 2 项后记为 ，附录Bh1 将证明它是偶函数: Bh这样的多项式微积分（包括展开式） ，无需不等式、极限与实数，就像刘嘉荃指出的那样，最适合于高中教学。另外，根据伍鸿熙，中学数学是有理数数学。所以，这是理想的中学教材，解了当务之急!多项式微积分（包括展开式） ，或有限等式的微积分，到此结束。第 4 集 非多项式=多项式+上篇通过等式（3-7） （3-9） （3-11） ，精确与有限的方法，来解读什么是多项式的导数与积分，看得见摸得到。本篇将指出，非多项式与多项式的差别就在于多出一个余项。1 微分展开式的余项通过（3-7 ） ，一个多项式， ，在 的小高可展成 的多项式()fx
26、,+hh（4-1）21()()()3!nnfxhfxhf fx -有微分， ，与小缝（或高阶微分）一个简单的证明基于 201() nfxaxa把它代入（4-1）两边，比较系数即得两边相等。如果非多项式（如 ）也要写成（4-1） ，那么，首先也要有各高sin,le阶导数，然后多出一个余项：余项 (4-2)1()2()()3!()()!nnhfxhfxhffxhfx -但非多项式的导数要等到下篇补出。当务之急，本篇先讨论余项到底多大？跟有什么关系？n首先，必须用到非多项式也有微积分基本公式（3-10） 。让我们先预支，下篇偿还。那么可以推出|余项| （4-+1(+1),|)!nnxhhuperfx
27、3）普适性证明如下：由（3-10） ，小高 (4-4)0()()dxfxft1 （4-0,|d|xtuper5）注意， ，于是继续用（3-10），把小缝也改写成小高 0()=()xffdt(0)fx00()()xftdft改写成小高了10()xtft,10,|()|t tfdtuper 2 100,0,|)=(|)xt xt txdftfrf比（4-5 ）提高一阶（当 是小数） 。重复这一生产线，小缝又改写成小高h2()()()fxfxf1100()()xtxtdftdft改写成小高了1tft,120(t)xt1210|(t)|xtdfd 30,(|6txuperf又提高一阶。诀窍是每一步都改
28、写成小高，然后利用（3-10） 。继续这条生产线1 利用 （参看（3-11） ） ，有0()d()xFtthC，由此得（4-5） ，否则导致矛盾。0,|,0xuper余项23 (n)()0()(0)()-0=6!xxfxffff|余项| +1(n+1)0,|!nxuper所以 (4-3)（当 ）得证。 ,xh推论 当 是小数时，上式右端的正负由第一项决定。如果 处是极小值点，则x当 时， ，则 ，从而 ；当 时，仍0h()(0fxhf()0fxh()0fh有 ， ，但此时 ，因而 。故 。()f x()0fx当 时，上式右端的正负就取决于 。此时当且仅当 时，0fx2()fx f处才是极小值点
29、。批注 由证明过程可见，展开式（4-2） （4-3）是由基本公式（3-10）堆起来的!但在过去，余项（4-3）的证明需要更多准备知识（例如中值定理）与人工技巧（例如分部积分或洛比达法则） ，好恐怖！尽管一遍又一遍地念，合上书还是忘现在可以跟过去的证明叫板告别。取而代之，我们对余项的证明只依赖于基本公式（4-11） 。或者（4-2）只是基本公式的量变，无需更多知识或技巧，称为直接法。当（4-2 ）的余项， （4-3 ） ，是小数，由“四舍五入” ， （非多项式）可()fx由多项式计算（即无限项变成有限项） 。另一解读：命运 的未来（在 ）xh由初始（ 与 阶导数在 的值）决定。这不是算命吗？()
30、fxnx若在每个子区间对（4-2）(4-3) 直接求和，则得全高2 -1()()()() ) )26!nnhfxhfxhfxhfb fxa余项 （4-6）| 余项 | (+1),()|)!nnabhuperfx即使 （例如后面（5-7）中 ） ， 无论 多大（长期） ， （4-1!nfx=Fxba6）当 都有精度。但要计算 在所有结点 的值, 算法成h(),nff x本太高！与此不同，根据本书生产线，则有（3-9） 。这时只要计算 在(),nff两端点 与 的值，轻松多了。但（3-9）的余项 “ ”有多大？当 是小数，ba h也有精度吗？见下节。2 积分展开式的余项实际计算时, 固定。首先试验
31、 =4nn234()()()()()03hhfxhfxffxfxr！ ！（ ）0A重复改写程序，把各阶微分相继替代为小高 234()()()()03hhfxhffxfxfxr ！ ！12fffff！(4)()()(2hfxhffxfr()3h(4) 其中 。结果55(),()!ixhlrluperf,+0,122(4)()() 3!hffffxhffxhfxr 123(4)(03!ffr23(4)()()()21!hhfxhffxhffxfx10r2(4) ()fffffffh4(4)(1)0!2hfxr 22(4)()()()(0()211hhfffxhffxffxr102hr2()()()
32、(21hfxfxhfffx30 )01hrr21 2( ) ()(4)(fxfcfxfhcfxfhR(4-6)3124)0,0Rrrrc=(5) 41(!42!xhupefhh,+即微分改写成小高加一小数。这里没有技巧，只是机械的操作！（4-6）为积分展开式开路：把每个子区间的小高加起来就是全高 212()()()()4fxhfbacfbahcfbfahM 或 212()()()()baFdxFF其中， ,f4MR=() 4115!23!4xhuperFhh,+当 (4-7)(4) 415!23!abuperF,- 无论 多大（长期） ，只要分割 是小数， （4-7）都有精度。所以， （3-1
33、1）h是一个可取的算法。附录 1（或（4-8） ）将对一般的 作出估计。n总结 (3-10) (4-2) (4-3) (4-7) (4-8)它们是微分与积分的精确算法，既普适又简单。批注 由推导过程可见，微分或积分展开式完全是机械的等式。但在过去，需要大量准备知识（例如伯努利数）与人工技巧（例如分部积分） ，好恐怖！即使最好的专家，学过也忘了。现在可以跟过去的证明叫板告别。取而代之，只需要一个改写程序，把微分改写成小高，称为直接法！问题 微积分与经济学能不能对应起来？微分（或导数）是边际（最大化或最小化） ，微分开式是近期（或微观）行为；积分是总量，积分展开式是长期（或宏观）行为？ 附录 1
34、积分展开式以下是由我的学生李瑜、徐飞、韩晓乐写的。1. 继续（3-8）的推导。为简洁明了，引进记号：， ，()()(,kkMfbfa-1()0(,)mkhiiRffxh()=(1)!khak那么，有 21(,)(,)(,)(,3)+26, ,1,hhhhifkffkRfkRaRi 特别（ ）0k1 121 11 1212,()(,0)(,)(),),(,)(),()(,),khhihhi jhs skhijsifbaMfffiRiaRjfafsMfsMf 1 1,1(,).k khijsiaRfs则得一个关于 的展开式 -101()()(,)mkikifbafxhcf12123 11123 1
35、, , ,() ()kkk ksksk scasaas 计算得124681011,!7!39!32693,5!0ccc皆等于零。35791317,cc注 6 事实上， !kkBc2kk其中 是著名的伯努利数，它的渐近性由陈永川告知。kB2. 继续(4-7)对一般 的推导：n234()()()()6hhfxhfxffxfx()（ ）10nnfr-! 0A11nxnhhuperfx+, +!24()()()()26fxhffff1nnhfrx-!（ ）1A11nxhnruperfx+, !4()()() 22nnhfxhffffr -3!（ ） 2A112nxnhhruperfx+, -!（ ）(
36、1)(1)()1nnnfxhfxfhr- -1nA12nxhruperfx+,-!用后面（ ） （ ） 改写掉（ ）的 2，3， 阶微分：1A2 0A 22()()()()(hfxhfxffxcfxfh3()()3nncfhcR 211()0nRnrrchr -=011()2!nxh nnupefhch ,+!其中 . 全高0 -11201-,=()!()!kkc ck 22)()hfabfxhfbafbfah3()()3()nnncfcfMMnR=1011()!2n nb nauperfxcch , !-或 23123()()()()()baFxdhFahFbacFbah(1)()nnncb
37、M MR=011()() 2!nn nabnuperFxcch , !-若有 (例如见 (6-5)：当 ), 由注 6, , !nab()=Fx,于是112nnc- !（4-8）121/21/21/21() nnnnnMhhh -!- -!其中用到 当 , 以及 .21n71/23. 现在来证注 5。为简化符号，令 ，则,xahb0()()()2=miifbafxhfbB.(4-9)()2=1iifffh下面对 进行同样过程()fab2()()()26hhffhfbfb 34 145210nnfhf f !24() 26hhfafbfhfbfb 3 15 14!nnf f 25() 26hhf
38、abfhfbfb 3 164!nnf f 同理对 ， 也有展开式。然后，利用它们对 的各3fx,(),nfx fafb项进行替代： 22()()()()hfabfhfafbcffh3()()3() nnncfafbhcffhab 则 1()()()2=miiffxffB()22=1ifafbfh 与（4-9 ）比较, 注 5 得证： 。B4. 有没有更简单的方法，如利用（3-9） 1()= () +fxhfbfarh2(n)(n-1)(n-1)-1= +()nfxhfbfarh那么展开式（4-6）便改写为 2-1(n-1)(n-1)=() ( )() ) +2!3!+ +!nii hfxfbf
39、fbfahfbar尾 部但倒数第二项只有 的精度，不满意。2第 5 集 非多项式的微积分（补遗）如上篇所述，非多项式余项(4-3)的证明预支了微积分基本公式（3-10） 。现在要偿还。为此，首先要计算非多项式的导数。下面以 的求高为例。 sinx不幸， 的求导数要用到三角不等式（5-4） （“不幸的家庭各有各的不sinx幸” ） 。 我们的生产线仍是由小高到全高。在 的小高：sinx,hsin()si incos sin ixxhxx= (5-1)co(1)模仿（2-1 ）的流程， （5-1）能不能也分解成两部分， 的倍数（微分）与小缝h呢？正如姚景齐指出，直观上有（5-2）sinh(不精确，
40、有待展开式（6-2）来改进)。这是因为圆周长 边多角形的周长 22sinh(其中 ), 所以有 hn2sin h此即 (5-2)。 然后用它替代（5-1 ）右边的第一项，得出微分 ：cosxh(5-3)si()sicoi(co1)s(in)xhxhx有 =sin( )s(i )h小 缝满足三角不等式（5-4）232sin(co 1)s(i )cos 1in inxhxh面积不等式 （当 ）sinsintacohh02（不精确，有待展开式（6-3）来改进） 。（5-3）的分解有唯一性（见以后注 7） 。那么， 的倍数， ，可定义cosx为 在点 的导数，记sinx(sin)cosx习题 证明 。
41、(cos)-ix在每个子区间的小高加起来就是在 的全高,absincosbaxh小 缝2|(1)()mba小 缝或(5-5)|sincos|bxhC不如等式（3-9）精确。但仍有基本公式（5-6）如下。上面小缝的和，当底（或 ）是小数，由四舍五入，消失了 ,那么全高h变成微分的和。小底 记为微元 ,和号记为积分, ,那么（5-5）变sin-badx成无限的微积分（5-sincosba6）习题 证明 cosibaxd（5-5） （5-6 ）合成 |coscs|baxhC不如等式（3-11）精确。现在转到一般的函数 , 它定义在区间 上。 当你脑海中有了()fx,这个例子，你就明白为什么会引出下述
42、定义：sinx在 的小高 ,h(5-7) ()()fxhfxh小 缝这样的函数 存在且满足 ()fx|小缝| (5-8)2=()()fxfxC其中常数 不依赖于 , 正如例子 或（5-4）所示。Csin（5-7）的分解有唯一性（见以下注 7） 。那么， 的倍数， ，便定义h()fx为 在点 的导数。()fx注 7（选修） 这一分解是唯一的。 事实上，若有两种分解，如与 , 其中 , , 1()fhfgxr2()()fxhfgxr1|Ch2|r则相差为 , 即 （对一切 ）, 1220112|(|于是 , 这导致 。()x1r注 8 考虑 （第 1 篇中 的反函数） 。那么，在 的小高=f 2x
43、,xh221=2()hhxhxxx分解成微分， ，与小缝 。由于用到根号，必须假设122()h其中的 与 ，简单说，有定义区间0xh, （只需 ） a0xah|a或, x于是小缝的分母为正 22()0xha而不是一个小除数，简单的说 22=()hx小 缝见下面图示：在每个子区间的小高加起来就是在 的全高,ab()()fbafxh小 缝（5-21()mCah小 缝9）或(5-10) |()()|fbafxhC不如等式（3-9）精确。但仍有基本公式（5-11）如下。注 1 可推广如下： 注 9（选修） 当分割变成不均匀，有不同的底 ，那么项 变01,mh ()fxh成 01()()()fxhffx（
