1、- 1 -为为为为p为q为为为为p为q为为为为q为p为为为为为q为p为为为为为为 为为为为为为为 为为为高中数学常用公式及结论1. 元素与集合的关系: , .UxACxAxA2.包含关系：ABBUUCBUBR5.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式 ;2()(0)fxabc(2)顶点式 ;（当已知抛物线的顶点坐标 时，设为此式）)hak(,)hk(3)零点式 ；（当已知抛物线与 轴的交点坐标为 时，设为此式）12xx12(,0),x6.闭区间上的二次函数的最值 二次函数 在闭区间 上的最值只能在 处及区间的两端点处取得，具体如)0()(2cbxf qp, ab下：(1)当 a0 时，若 ，则
2、 ；qpa, minmax(),(),2bfxfffpq， ， .qpabx,2mx(),f ini),(2)当 a0y=kx+boy x a0y=ax2+bx+coy x -1-212y=x+1oyx 011y=axoy x 011y=logaxoyx15.对于函数 ( ), 恒成立,则函数 的对称轴是 ;两个函数)fR)()(bfaf)(f2b与 的图象关于直线 对称. )(xfy2x16.若 ,则函数 的图象关于点 对称; )(axf)(fy)0,(a若 ,则函数 为周期为 的周期函数.)(f 17.两个函数图象的对称性(1)函数 与函数 的图象关于直线 (即 轴)对称y()fxxy18
3、.若将函数 的图象右移 、上移 个单位，得到函数 的图象；若将曲线)(xfabbaxf)(的图象右移 、上移 个单位，得到曲线 的图象0),(xfab0,baf21.几个常见的函数方程(1)正比例函数 .()fc()()(1fyfxyc(2)指数函数 .x,f(3)对数函数 .loga 0,1)a(4)幂函数 .()f()(),fff(5)余弦函数 ,正弦函数 ， . csxsingx()()()xyfgxy0sin(1,lmxf22.几个函数方程的周期(约定 a0)（1） ，则 的周期 T=a；)()af)(f（2） ，或 ,则 的周期 T=2a；01xx 1()(fxaf)0x)(xf(3
4、) ，则 的周期 T=3a；)()()(faff(4) 且 ，则 的周期 T=4a；1221xfx1212()(,0|)fxxa)(xf23.分数指数幂 (1) （ ，且 ）. (2) （ ，且 ）.mna0,nNmnnma0,nN124根式的性质（1） .（2）当 为奇数时， ；当 为偶数时， .()ann ,0|a25有理指数幂的运算性质(1) . (2) .(3) .0,rsrsaQ()(0,)rsrasQ()(,)rrabbrQ- 3 -注： 若 a0，p 是一个无理数，则 ap 表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用 .26.指数式与对数式的互化式: .l
5、ogbN(0,1)aN27.对数的换底公式 : ( ,且 , ,且 , ).lma m0对数恒等式： ( ,且 , ).logaN01推论 ( ,且 , ).lmnab028对数的四则运算法则:若 a0，a1，M0，N0，则(1) ; (2) ;log()llogaaNlogllogaaaMN(3) ; (4) 。 。()naR(,)mnnmR30. 对数换底不等式及其推广：设 ， ， ，且 ，则1m0pa1（1） . （2） .log()logmnn2loglogaa31.数列的通项公式与前 n 项的和的关系： ( 数列 的前 n 项的和为 ).1,nns12nnsa32.等差数列的通项公式
6、： ；*11()()nadaN其前 n 项和公式为： .2ns1()221dndn33.等比数列的通项公式： ；*1nnaq其前 n 项的和公式为 或 .1(),ns1,nnaqs34.等比差数列 : 的通项公式为a11,(0)nqdab； 其前 n 项和公式为： (1),nbdaq (1),(1)nnbdqs35.同角三角函数的基本关系式 ： ， = ， .22sico1tacositacot36.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限），21()sin,()sin(2co为 偶 数为 奇 数 21(),()s(2sinnnc为 偶 数为 奇 数37.和角与差角公式; ;si()sis
7、io()co. tantan1t(平方正弦公式); .22si()si()siin 22s()s()cosin= (辅助角 所在象限由点 的象限决定, ).cob)babtab38.二倍角公式及降幂公式 - 4 -. .sin2icos2tan12222cossincos1sin21ta. 2tata1i,costaci39.三角函数的周期公式 函数 ，xR 及函数 ，xR(A, 为常数，且 A0)的周期 ；函数sin()yxcos()yx2|T， (A, 为常数，且 A0)的周期 .ta,2kZ|T三角函数的图像：-11y=sinx-2 23/2/2-3/2-/2 oy x -11y=cos
8、x-2 23/2/2-3/2- -/2oy x40.正弦定理 ： （R 为 外接圆的半径）.sinisinabcABCABC,aR:sin:siabc52.余弦定理; ; .22cob22oc22coabC41.面积定理（1） （ 分别表示 a、b、c 边上的高）.1abcShhabc、 、（2） .1sinsisin2CAB42.实数与向量的积的运算律:设 、 为实数，那么(1) 结合律：( )=() ;(2)第一分配律：(+) = + ;aa(3)第二分配律：( + )= + .b43.向量的数量积的运算律：(1) = （交换律）; (2)（ ） = （ ）= = （ ）;ababba(3
9、)（ + ） = + .cac44向量平行的坐标表示 设 = , = ，且 ，则 ( ) .1()xy2(,)xyb0A01210xy45. 与 的数量积(或内积)： =| | | 。abaos46. 的几何意义：数量积 等于 的长度| |与 在 的方向上的投影| | 的乘积 bc向量 在向量 上的投影：| | bcos|ba47.平面向量的坐标运算1)设 = , = ，则 + = .a1()xy2(,)xy12(,)xy(2)设 = , = ，则 - = . 12(3)设 A ，B ,则 .12 1(,)ABOxy(4)设 = ，则 = .(,)xyRa(,)xy(5)设 = , = ，则
10、= .a1b2(,)xyb12)48.两向量的夹角公式( = , = ).122cos|xya1xb2(,)xy49.平面两点间的距离公式- 5 -(A ，B ).,ABd2211()()xy1(,)xy2(,)50.向量的平行与垂直 ：设 = , = ，且 ，则abb0| = .ab1210( ) =0 .021xy50.线段的定比分公式 ：设 ， ， 是线段 的分点, 是实数，且 ，则1(,)Py(,)(,)Px12P12P（ ）.12xy12O12tOtt52.三角形的重心坐标公式 ABC 三个顶点的坐标分别为 、 、 ,则ABC 的重心的坐标是1A(x,y)2B3C(xy).12312
11、3(,)xyG53.一元二次不等式 ，如果 与 同号，则其解集在0()abc或 20,40)abaca2xbc两根之外；如果 与 异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.2x； .12112()xx121212,()0()xx或54.含有绝对值的不等式 ：当 a 0 时，有 . 或 .2aaaxa55.无理不等式（1） . （3）()0()()fxfxgfg 2()0()ffxgfxg（2） .2()()()00ffxxf或 2()()0fx或.56.指数不等式与对数不等式 (1)当 时, ; .1a()()()fxgxafgx()lo()lg()0aafxfxfg(2)
12、当 时, ; 0()()()fxgxf()l()lo()aafxfx57.斜率公式 （ 、 ）.21ykx1(,)Py2(,)xy58.直线的五种方程 （1）点斜式 (直线 过点 ，且斜率为 )11)l1,k（2）斜截式 (b 为直线 在 y 轴上的截距). (4)截距式 ( 分别为直线的横、纵截距，ykb 1xyab、) （5）一般式 (其中 A、B 不同时为 0).0ab、 0AxBC直线 的法向量： ，方向向量：0AxBC,)l(,)lA59.两条直线的平行和垂直 (1)若 ， ; .11:lykb22:lykb1212|,lkb121lk(2)若 , ,且 A1、A 2、B 1、B 2
13、 都不为零,0xy- 6 -ddd 为为为为为 r1+r2r2-r1o d ； ；11122|ABCl2120lAB60.夹角公式 (1) . ( ， , )21tan|k:ykxb22:lykxb1(2) .( , , ).121ta|AB1:0lx2:0lC20AB直线 时，直线 l1 与 l2 的夹角是 .12l62四种常用直线系方程及直线系与给定的线段相交：(1)定点直线系方程：经过定点 的直线系方程为 (除直线 ),其中 是待定的系0(,)Pxy00)ykx0xk数; 经过定点 的直线系方程为 ,其中 是待定的系数0(,)Pxy0()AB,AB(2)共点直线系方程：经过两直线 , 的
14、交点的直线系方程为11:lC22:lC(除 )，其中 是待定的系数1122( )AxBCABC2(3)平行直线系方程：直线 中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线系方程与直线 平kxb 0AxByC行的直线系方程是 ( )， 是参变量0y(4)垂直直线系方程：与直线 (A0，B0)垂直的直线系方程是 ,0Bxy63.点到直线的距离 ： (点 ,直线 ： ).02|ydAB0)PxylAC64. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 .（2）圆的一般方程 ( 0).()()xabr20xyDEF24EF66.点与圆的位置关系：点 与圆 的位置关系有三种0,Py2)()(rbyax若 ，则 点
15、在圆外; 点 在圆上; 点 在圆内.220()()dabdrPdPdrP67.直线与圆的位置关系直线 与圆 的位置关系有三种( ):CByAx 22)(byax2BACba; ; .0交rd 0交rd 0交rd68.两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为 O1，O 2，半径分别为 r1，r 2， O21;交421;交3r;交221d;交交21.0r(2)已知圆 过圆上的 点的切线方程为 ;2xy0(,)Pxy20xyr斜率为 的圆的切线方程为 .k21ykr(3) 过圆 外一点 的切线长为2DEF0(,)200lDEF69.椭圆 的离心率 ，21()xyab2cbea准线到中心的距离为 ，焦
16、点到对应准线的距离(焦准距) 。2c 2pc过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为： .2baA- 7 -70.椭圆 焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积 21(0)xyab， ； 。1()PFeexc2()aPFexec1221|tanFPFPScyb71椭圆的的内外部（1）点 在椭圆 的内部 .0(,)xy21(0)yb02xa（2）点 在椭圆 的外部 .,P2xa1yb72. 椭圆的切线方程 (1)椭圆 上一点 处的切线方程是 .21(0)xyab0(,)Pxy02xa（2）过椭圆 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 .2(, 021yb（3）椭圆 与直线 相切的条件是 .1()x
17、yabAxByC2ABc96.双曲线 的离心率 ，准线到中心的距离为 ，焦点到对应准线的20,21ceaa距离(焦准距) 。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为： .pc baA73.双曲线的内外部(1)点 在双曲线 的内部 .0(,)Pxy21(0,)xyab201xy(2)点 在双曲线 的外部 .,2,2ab74.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为 渐近线方程： .12byax20xyx(2)若渐近线方程为 双曲线可设为 .02ba(3)双曲线与 有公共渐近线，可设为 （ 焦点在 x 轴上， 焦点在 y 轴上）.12byax 2byax00(4) 焦点到渐近线的距离总是
18、。75. 双曲线的切线方程(1)双曲线 上一点 处的切线方程是 .2(0,)xyab0(,)Pxy021yab（2）过双曲线 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 .210, 02x（3）双曲线 与直线 相切的条件是 .2xyabAxByC22ABc76. 抛物线 的焦半径公式抛物线 焦半径 .p22(0)px0pCFx(其中 为 x 轴的正向绕焦点按逆时针方向旋转到 FC 的角)1cosCF过焦点弦长 . (其中 为倾斜角)xD2121 2sinpD- 8 -77.抛物线 上的动点可设为 P 或 P ，其中 .pxy2),2(yp2(,)tp(,)xy2px102.二次函数 的图象是抛物线：2
19、4bacabcx0（1）顶点坐标为 ；（2）焦点的坐标为 ；4(,)241(,)bac（3）准线方程是 .1cya78.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或2211()()ABxy22 21 1(1)4|tan|tABkx yco （弦端点 A ，由方程 消去 y 得到 ， , 为直线 的倾斜角，,y0),(Fbky02bxAB为直线的斜率， ）. k 21211|xx80.分类计数原理（加法原理）： .nNm150.分步计数原理（乘法原理）： .12151.排列数公式 ： = = .( ， N *，且 )规定 .mnA)() ！ )(mn1!0152.排列恒等式 :(1） ;（2） ; （3）
20、; 1mnA1nnAmnA（4） ;（5） . (6) .1nn1n!2!()!81.组合数公式： = = = ( N *， ，且 ).mCA2)()！ ！ )82.组合数的两个性质:(1) = ;(2) + = .规定 mnn1mn10nC83.排列数与组合数的关系: .！（4）两组相同元素的排列：两组元素有 m 个和 n 个，各组元素分别相同的排列数为 .nmC84.二项式定理 ;nrnrnn baCbaab 210)(二项展开式的通项公式 .rrrT1 )0(， 的展开式的系数关系：20()n nfxaxx； ； 。012()nf 012(1(nf 0()f85.等可能性事件的概率： .
21、mPA86 互斥事件 A，B 分别发生的概率的和：P(AB)=P(A)P(B)87. 个互斥事件分别发生的概率的和：nP(A1A 2A n)=P(A1)P(A 2)P(A n)88.独立事件 A，B 同时发生的概率：P(AB)= P(A)P(B).89.n 个独立事件同时发生的概率： P(A 1 A2 An)=P(A1) P(A2) P(An)90.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率： ()().knkPCP168.离散型随机变量的分布列的两个性质（1） ;（2） .0,i 191.数学期望： 12nExPx 92.数学期望的性质 （1） .()(abE93.方差： 2211 n
22、nDppxEp 94.标准差： = . - 9 -102. 在 处的导数（或变化率或微商） .)(xf0 0 000 ()()limlixxfxfyfy103.瞬时速度： .00()limlittstss104.瞬时加速度： .()(ttvvtav105. 在 的导数： .)(xf,b()dyffxx00()(lilixyffx106. 函数 在点 处的导数的几何意义：函数 在点 处的导数是曲线 在 处)(fy0 ) )(xfy)(,0xfP的切线的斜率 ，相应的切线方程是 .0 (00f107.几种常见函数的导数 (1) （C 为常数）.(2) .(3) . 1()nQcos(sin(4) . (5) ； .(6) ; .xsin)(co x1)ln(log)laaexxeaxl)108.导数的运算法则 1） .（2） .（3） .uvuv2()(0uv109.复合函数的求导法则 设函数 在点 处有导数 ，函数 在点 处的对应点 U 处有导数 ，则复合函数()ux()x)(fyx()uyf在点 处有导数，且 ，或写作 .yf uxy ()xfu110.判别 是极大（小）值的方法当函数 在点 处连续时，0 f0（1）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，则 是极大值；0)(f)(f（2）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，则 是极小值.xxf)(
