1、,86 微分法在几何中的应用,一 空间曲线的切线与法平面,二曲面的切平面与法线,曲线的切向量、法平面,曲面的切平面、曲面的法线、曲面的法向量,一 空间曲线的切线与法平面,设空间曲线的参数方程为 x(t)，yy(t)，zw(t) 这里假定(t)， y(t)，w(t)都可导,考虑,当M M ，即t 0时,，,，,其方程为,过曲线上tt0和tt0t对应的 点M 和M，作曲线的割线M M ，,一 空间曲线的切线与法平面,设空间曲线的参数方程为 x(t)，yy(t)，zw(t) 这里假定(t)， y(t)，w(t)都可导,过曲线上tt0和tt0t对应的 点M 和M，作曲线的割线M M ，,考虑,当M M
2、 ，即t 0时,，,，,其方程为,一 空间曲线的切线与法平面,设空间曲线的参数方程为 x(t)，yy(t)，zw(t) 这里假定(t)， y(t)，w(t)都可导,过曲线上tt0和tt0t对应的 点M 和M，作曲线的割线M M ，,考虑,当M M ，即t 0时,，,，,其方程为,一 空间曲线的切线与法平面,设空间曲线的参数方程为 x(t)，yy(t)，zw(t) 这里假定(t)， y(t)，w(t)都可导,过曲线上tt0和tt0t对应的 点M 和M，作曲线的割线M M ，,考虑,当M M ，即t 0时,，,，,其方程为,一 空间曲线的切线与法平面,设空间曲线的参数方程为 x(t)，yy(t)，
3、zw(t) 这里假定(t)， y(t)，w(t)都可导,得曲线在点M 处的切线方程为,过曲线上tt0和tt0t对应的 点M 和M，作曲线的割线M M ，,考虑,当M M ，即t 0时,，,，,其方程为,就是曲线在点M处的一个切向量,曲线的切向量：,切线的方向向量称为曲线的切向量,向量,通过点M而与切线垂直的平面 称为曲线在点M 处的法平面，,法平面：,法平面方程为j (t0)(xx0)y (t0)(yy0)w (t0)(zz0)0,解 因为xt1，yt2t，zt3t 2 ，而点(1，1，1)所对应的参数t1， 所以,例1 求曲线xt，yt 2，zt 3在点(1，1，1)处的切线及法平面 方程,
4、于是，切线方程为,法平面方程为 (x1)2(y1)3(z1)0，即x2y3z6,提示: 曲线的参数方程为： xx，yj(x)，zy(x) 切向量为,讨论：,1若曲线的方程为 yj(x)，zy(x) 问其切线和法平面方程是什么形式?,1，j(x0)，y(x0),2若曲线的方程为 F (x，y，z)0，G (x，y，z)0 问其切线和法平面方程又是什么形式?,提示: 两个方程确定了两个隐函数：yj(x)，zy(x)，,切向量为,1， ， ,例2 求曲线x2y2z26，xyz0在点(1，2，1)处的切线及法平面方程,解 为求切向量,将所给方程的两边对x求导数，得,解得,，,1,0，,所求切线方程为,
5、法平面方程为 (x1)0(y2)(z1)0，即xz0,二曲面的切平面与法线,设曲面 ：F(x，y，z)0，M(x0，y0，z0)是 上的一点,考虑F (t)，y(t)，w(t) =0 两边在 tt0的全导数： Fx(x0，y0，z0)j(t0)Fy(x0，y0，z0)y (t0)Fz(x0，y0，z0)w (t0)0,可见向量,在 上，通过点M 任意引一条 曲线，其参数方程式为x(t)，yy(t)，zw(t)； x0(t0)，y0y(t0)，z0w(t0) ,二曲面的切平面与法线,设曲面 ：F(x，y，z)0，M(x0，y0，z0)是 上的一点,考虑F (x，y，z)=0两边在tt0的全导数：
6、 Fx(x0，y0，z0)j(t0)Fy(x0，y0，z0)y (t0)Fz(x0，y0，z0)w (t0)0,可见向量,在 上，通过点M 任意引一条 曲线，其参数方程式为x(t)，yy(t)，zw(t)； x0(t0)，y0y(t0)，z0w(t0) ,二曲面的切平面与法线,设曲面 ：F(x，y，z)0，M(x0，y0，z0)是 上的一点,考虑F (x，y，z)=0两边在tt0的全导数： Fx(x0，y0，z0)j(t0)Fy(x0，y0，z0)y (t0)Fz(x0，y0，z0)w (t0)0,可见向量,在 上，通过点M 任意引一条 曲线，其参数方程式为x(t)，yy(t)，zw(t)；
7、x0(t0)，y0y(t0)，z0w(t0) ,曲面上通过点M的一切曲线在点M的切线都在同一个平面 上这个平面称为曲面在点M 的切平面这切平面的方程式是,Fx(x0，y0，z0)(xx0)Fy(x0，y0，z0)(yy0)Fz(x0，y0，z0)(zz0)0,通过点M (x0，y0，z0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该 点的法线法线方程为,曲面的切平面：,曲面的法线：,垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量在点M处的 法向量为,曲面的法向量：,例3 求球面x2y2z214在点(1，2，3)处的切平面方程及法线 方程,解 F (x，y，z) x2y2z214，,所求切平面方程为 (x1)2(y2)3(z3)0，即x2y3z140,法向量,法线方程为,若曲面方程为zf (x，y) ，问曲面的切平面及法线方程式是 什么形式?,讨论：,提示：此时F (x，y，z)f (x，y)z ,解 f (x，y) x2y21，,例4 求旋转抛物面zx2y21在点(2，1，4)处的切平面方程及 法线方程,所以在点(2，1，4)处的切平面方程为 4(x2)2(y1)(z4)0，即4x2yz60 法线方程为,
