1、授课人:苟泰成2013年7月5日,数学归纳法,对于某类事物,由它的一些特殊事例或其全部可能情况,归纳出一般结论的推理方法,叫归纳法。,特点:,an=a1+(n-1)d,解:,猜想数列的通项公式为,验证:同理得,啊,有完没完啊?,正整数无数个!,(1)求出数列前4项,你能得到什么猜想?,(2)你的猜想一定是正确的吗?,情境,人的多米诺骨牌游戏,第一个人倒下,是否所有人都倒下?,课题探究,人的多米诺骨牌游戏,第k+1个人是如何倒下?,课题探究,第一,第一个人必须倒下; 第二,任意相邻的两个人,前一个人倒下一定撞到后一个.,要保证每个人都倒下,必需满足什么条件?,人的多米诺骨牌游戏,课题探究,条件2
2、给出了一个递推关系: 当第k个人倒下时,相邻的第k+1个人也倒下.,条件2的作用时什么?,人的多米诺骨牌游戏,课题探究,“对于数列an,已知a11, (n1,2,),通过对n = 1,2, 3, 4前4项的归纳,我们已经猜想出其通项公式为 ”.,怎样类比人的多米诺骨牌游戏原理,通过有限个步骤的推理,证明n取所有正整数都成立?,探究任务一:一个数学问题新的证明方法,(1)第一个人倒下。,(1)当n=1时猜想成立。,(2)若第k个人倒下时,则相邻的第k+1个人也倒下。,根据(1)和 (2),可知不论有多少个人都能全部倒下。,根据(1)和(2),可知对所有的自然数n,猜想都成立。,类比多米诺骨牌游戏
3、,证明数列猜想,(2)若当n=k时猜想成立,则当n=k+1时猜想也成立,一般地,证明一个与自然数有关的命题,可按下列步骤进行:,(2) 假设n=k(kn0,kN* ) 时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立。,只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有自然数都成立。 上述证明方法叫做数学归纳法.,(1) 证明当n取第一个值n0 (n0N* )时命题成立。,(归纳奠基),(归纳递推),探究任务二:提炼原理,得出概念,用框图表示为:,验证n=n0时命题成立。,若n = k ( k n 0) 时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立。,命题对所有的自然数n ( n n 0)都成立。,归纳
4、奠基,归纳递推,理解新知,问题1:甲同学猜想 用数学归纳法证明步骤如下:,问题:2:乙同学用数学归纳法证明如采用下面证法,对吗?为什么,理解新知,问题3:讨论 的大小,猜想:,用数学归纳法证明,第一个取值为5.,理解新知,求证,例2:用数学归纳法证明,(2)假设n=k(k2)时,不等式成立,即 (1+x)k1+kx 当n=k+1时,因为x 1 ,所以1+x0,于是 左边=(1+x)k+1,证明:(1)当n=2时,左(1x)2=1+2x+x2 x0, 1+2x+x21+2x=右,n=2时不等式成立,=(1+x)k(1+x)(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2;1+(k+1)x 因为k
5、x20,所以左边右边,即(1+x)k+11+(k+1)x这就是说,原不等式当n=k+1时也成立,根据(1)和(2),原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.,2.证明平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2. 3.平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点, 证明这n条直线把平面分成f(n)(n2+n+2)/2个区域.,练习3:凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线的条数f(n+1)=f(n)+_.,n-1,思考1、比较n2与2n的大小,试证明你的结论.,两个步骤 一个结论 缺一不可,小结,作业: 课本2-2 P96 B组练习2.3题,