1、授课人：苟泰成2013年7月5日,数学归纳法,对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。,特点:,an=a1+(n-1)d,解:,猜想数列的通项公式为,验证:同理得,啊,有完没完啊?,正整数无数个!,（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？,（2）你的猜想一定是正确的吗？,情境,人的多米诺骨牌游戏,第一个人倒下，是否所有人都倒下？,课题探究,人的多米诺骨牌游戏,第k+1个人是如何倒下？,课题探究,第一，第一个人必须倒下； 第二，任意相邻的两个人，前一个人倒下一定撞到后一个.,要保证每个人都倒下，必需满足什么条件？,人的多米诺骨牌游戏,课题探究,条件2
2、给出了一个递推关系： 当第k个人倒下时，相邻的第k+1个人也倒下.,条件2的作用时什么？,人的多米诺骨牌游戏,课题探究,“对于数列an，已知a11， （n1，2，），通过对n = 1，2, 3, 4前4项的归纳，我们已经猜想出其通项公式为 ”.,怎样类比人的多米诺骨牌游戏原理，通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立？,探究任务一：一个数学问题新的证明方法,（1）第一个人倒下。,（1）当n=1时猜想成立。,（2）若第k个人倒下时，则相邻的第k+1个人也倒下。,根据（1）和 （2），可知不论有多少个人都能全部倒下。,根据（1）和（2），可知对所有的自然数n，猜想都成立。,类比多米诺骨牌游戏
3、，证明数列猜想,（2）若当n=k时猜想成立，则当n=k+1时猜想也成立,一般地，证明一个与自然数有关的命题，可按下列步骤进行：,（2） 假设n=k(kn0，kN* ) 时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。,只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有自然数都成立。 上述证明方法叫做数学归纳法.,（1） 证明当n取第一个值n0 (n0N* )时命题成立。,（归纳奠基）,(归纳递推),探究任务二：提炼原理，得出概念,用框图表示为：,验证n=n0时命题成立。,若n = k ( k n 0) 时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。,命题对所有的自然数n ( n n 0)都成立。,归纳
4、奠基,归纳递推,理解新知,问题1：甲同学猜想 用数学归纳法证明步骤如下：,问题:2：乙同学用数学归纳法证明如采用下面证法，对吗？为什么,理解新知,问题3：讨论 的大小,猜想：,用数学归纳法证明，第一个取值为5.,理解新知,求证,例2：用数学归纳法证明,（2）假设n=k(k2)时，不等式成立，即 (1+x)k1+kx 当n=k+1时，因为x 1 ，所以1+x0，于是 左边=(1+x)k+1,证明:(1)当n=2时，左(1x)2=1+2x+x2 x0， 1+2x+x21+2x=右,n=2时不等式成立,=(1+x)k(1+x)(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2；1+(k+1)x 因为k
5、x20，所以左边右边，即(1+x)k+11+(k+1)x这就是说，原不等式当n=k+1时也成立,根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.,2.证明平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2. 3.平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点, 证明这n条直线把平面分成f(n)(n2+n+2)/2个区域.,练习3:凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线的条数f(n+1)=f(n)+_.,n-1,思考1、比较n2与2n的大小，试证明你的结论.,两个步骤 一个结论 缺一不可,小结,作业: 课本2-2 P96 B组练习2.3题,
