1、第 25讲 图形的相似考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考点必备梳理考点一 考点二 考点三 考点四考点一 比例线段及其性质 1.成比例线段的概念 :若四条线段 a,b,c,d满足 ab=cd,那么这四条线段叫做成比例线段 ,简称比例线段 .其中 a,d叫比例外项 ,b,c叫比例内项 ,特别地 ,当 b与 c相同时 ,即 ab=bd时 ,称 b是 a,d的比例中项 .2.比例的性质 :考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考点必备梳理考点一 考点二 考点三 考点四3.黄金分割 :如图 ,点 C把线段 AB分成 AC和 BC(ACBC)两部分 ,若 AC2=BCAB,则把点 C叫做线段 A
2、B的黄金分割点 .其中 比值0.618叫做黄金比 . 4.平行线分线段成比例定理 :三条平行线截两条直线 ,所得的对应线段成比例 .推论 :平行于三角形一边的直线截其他两边或其延长线所得三角形的三边与原三角形的三边对应成比例 .考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考点必备梳理考点一 考点二 考点三 考点四考点二 相似三角形 1.相似三角形的定义 :形状相似 (即对应角相等 ,对应边成比例 )的两个三角形叫做相似三角形 ,其对应边的比叫做相似比 .2.相似三角形的性质 :(1)相似三角形的对应角 相等 ,对应边 成比例 ; (2)相似三角形的对应边上高的比、对应角平分线的比、对应边中线的比等
3、于 相似比 ; (3)相似三角形的周长比等于 相似比 ; (4)相似三角形的面积比等于 相似比的平方 . 考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考点必备梳理考点一 考点二 考点三 考点四3.相似三角形的判定 :(1)两个角对应 相等 的两个三角形相似 ; (2)两条边对应成比例 ,且夹角 相等 的两个三角形相似 ; (3)三边对应成比例的两个三角形相似 ;(4)两个直角三角形 ,如果有斜边及一条直角边对应成比例 ,那么这两个直角三角形相似 ;(5)平行于三角形一边的直线截其他两边或其延长线所得的三角形与原三角形相似 .考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考点必备梳理考点一 考点二 考点三
4、 考点四考点三 相似多边形 1.相似多边形的定义 :边数相同 ,且各角相等 ,各边对应成比例的两个多边形相似 .2.相似多边形的性质 :(1)相似多边形的对应角相等 ,对应边 成比例 ; (2)相似多边形的对应对角线的比等于相似比 ;(3)相似多边形的周长比等于 相似比 ; (4)相似多边形的面积比等于 相似比的平方 . 3.相似多边形的判定 :根据定义 ,两个边数相同的多边形 ,如果对应角相等 ,对应边成比例 ,那么这两个多边形相似 .考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考点必备梳理考点一 考点二 考点三 考点四考点四 图形的位似 1.位似的定义 :如果两个相似图形的所有对应点的连线都经
5、过同一点 ,那么就说这两个图形关于这一点位似 ,这一点叫做 位似中心.这时 ,相似比又叫位似比 . 2.位似图形的画法 :(1)找到位似中心 ;(2)连接原图形上各点与位似中心 ,并延长 (扩大 )或取分点 (缩小 )作出其对应点 ;(3)依次连接各对应点 ,即得 .考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 4比例线段及其性质的应用比例的性质、平行线分线段成比例定理及其推论是学习相似图形的基础 ,需要熟练掌握 .例 1如图 ,已知直线 a b c,直线 m,n与 a,b,c分别交于点 A,C,E,B, D,F,AC=4,CE=6,BD=3,则
6、 BF=( )A.7 B.7.5C.8 D.8.5答案 B 方法点拨 在应用平行线分线段成比例定理时 ,要弄清对应线段的对应关系 ,写出比例式进行求解 .同时 ,解题时还要注意应用比例的性质 .考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考法 2 考 法 3 考 法 4相似三角形的判定和性质的应用相似三角形的性质为我们解决有关线段的比、多边形的周长比、面积比等问题提供了方法和依据 .考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考法 2 考 法 3 考 法 4例 2(2015甘肃庆阳 )如图 ,在 ABC中 ,两条中线 BE,CD相交于点 O,则 SDOESD
7、CE=( )A.14 B.13 C.12 D.23答案 :B 解析 : 在 ABC中 ,两条中线 BE,CD相交于点 O, DE是 ABC的中位线 . ODE OCB. DOE与 DCE等高 , SDOESDCE=ODCD=13. 方法点拨 本题考查的是相似三角形的判定与性质 ,根据题意得出DE是 ABC的中位线是解答此题的关键 .考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考 法 2 考法 3 考 法 4相似三角形 的性质在实际问题中的应用根据实际问题背景建立相似三角形模型 ,是解决实际问题的关键 .例 3如 图 ,小明在打网球时 ,使球恰好能打过网 ,而且落在离网 4 m
8、的位置上 ,则球拍击球的高度 h为 . 答案 :1.5 m 解析 :如图 , DE BC, ADE ACB.考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考 法 2 考法 3 考 法 4方法点拨 把实际问题抽象成几何问题是解题的关键 .此例中球拍和地面的垂线与球网构成了平行线 ,这样就得到了相似三角形 ,进而利用相似三角形的性质列式求解 .考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考 法 2 考 法 3 考法 4图形的位似位似是特殊的相似 ,因此位似的性质的应用与相似是相同的 .位似作图问题通常在网格中进行 ,需要准确找到位似中心和位似比 ,并要分清两个图形
9、与位似中心的关系 (反向位似和同向位似 ).考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考 法 2 考 法 3 考法 4例 4如图 ,ABC的顶点坐标分别为 A(1,3),B(4,2),C(2,1).(1)作出与 ABC关于 x轴对称的 A1B1C1,并写出 A1,B1,C1的坐标 ;(2)以原点 O为位似中心 ,在原点的另一侧画出 A2B2C2,使考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考 法 2 考 法 3 考法 4解 :(1)如图 ,A1(1,-3),B1(4,-2),C1(2,-1).(2)如图 .方法点拨 网格具有可操作性和直观性等特点 .考题
10、初做诊断1.(2017甘肃兰州 )已知 2x=3y(y0),则下面结论成立的是 ( A ) 考题初做诊断2.(2017甘肃兰州 )如图 ,小明为了测量一凉亭的高度 AB(顶端 A到水平地面 BD的距离 ),在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶 BC等高的台阶 DE(DE=BC=0.5米 ,A,B,C三点共线 ),把一面镜子水平放置在平台上的点 G处 ,测得 CG=15米 ,然后沿直线 CG后退到点 E处 ,这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端 A,测得 EG=3米 ,小明身高 EF=1.6米 ,则凉亭的高度 AB约为 ( A )A.8.5米 B.9米 C.9.5米 D.10米解析 :由题意 AGC= FG
11、E. ACG= FEG=90 , AC=8, AB=AC+BC=8+0.5=8.5(米 ).故选 A. 考题初做诊断3.(2016甘肃平凉 )如图 ,已知 EC AB, EDA= ABF.(1)求证 :四边形 ABCD是平行四边形 ;(2)求证 :OA2=OEOF.考题初做诊断证明 :(1) EC AB, EDA= DAB. EDA= ABF, DAB= ABF, AD BC, DC AB, 四边形 ABCD为平行四边形 .(2) EC AB, OA2=OEOF. 考题初做诊断4.(2017甘肃兰州 )如图 ,ABC内接于 O,BC是 O的直径 ,弦 AF交BC于点 E,延长 BC到点 D,连接 OA,AD,使得 FAC= AOD, D= BAF.(1)求证 :AD是 O的切线 ;(2)若 O的半径为 5,CE=2,求 EF的长 .考题初做诊断证明 : BC是 O的直径 , BAF+ FAC=90 . D= BAF, AOD= FAC, D+AOD=90 , OAD=90 , AD是 O的切线 . (2)解 :连接 BF, FAC= AOD, ACE OCA,
