1、第 19讲 矩形、菱形、正方形考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考点必备梳理考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 4矩形的性质和判定明晰矩形与一般平行四边形的区别和联系是解答此类问题的突破口 .例 1(2017湖北鄂州 )如图 ,将矩形 ABCD沿对角线 AC翻折 ,点 B落在点 F处 ,FC交 AD于点 E.(1)求证 : AFE CDE;(2)若 AB=4,BC=8,求图中阴影部分的面积 .考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 4(1)证明 : 在矩形 ABCD中 ,AB=
2、CD, D= B=90 ,又将矩形 ABCD沿对角线 AC翻折 , AB=AF=CD, F= D=90 , AEF= DEC, AFECDE.(2)解 :设 EF=ED=x,则 AE=8-x,在直角三角形 AEF中 ,由勾股定理得 ,(8-x)2=x2+42解得 x=3.S阴影 =SADC-SEDC.考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 4方法点拨 (1)利用 AAS证全等 ;(2)根据勾股定理列方程求 EF,计算面积 .考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 4例 2(2018山东青
3、岛 )已知 :如图 ,平行四边形 ABCD,对角线 AC与 BD相交于点 E,点 G为 AD的中点 ,连接 CG,CG的延长线交 BA的延长线于点 F,连接 FD.(1)求证 :AB=AF;(2)若 AG=AB, BCD=120 ,判断四边形 ACDF的形状 ,并证明你的结论 .分析 :(1)只要证明 AB=CD,AF=CD即可解决问题 ;(2)结论 :四边形 ACDF是矩形 .根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可 ;考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 4(1)证明 : 四边形 ABCD是平行四边形 , AB CD,AB=CD, A
4、FC= DCG, GA=GD, AGF= CGD, AGF DGC, AF=CD, AB=AF. (2)解 :结论 :四边形 ACDF是矩形 .理由 : AF=CD,AF CD, 四边形 ACDF是平行四边形 , 四边形 ABCD是平行四边形 , BAD= BCD=120 , FAG=60 , AB=AG=AF, AFG是等边三角形 , AG=GF, AGF DGC, FG=CG, AG=GD, AD=CF, 四边形 ACDF是矩形 . 考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 4方法点拨 此题主要考查了矩形的性质以及判定 ,要证明两直线平行
5、和两线段相等、两角相等 ,可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上 ,通过证明四边形是平行四边形达到上述目的 .考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考法 2 考 法 3 考 法 4菱形的性质1.明晰菱形与一般平行四边形的区别和联系 .2.涉及对角线时要考虑勾股定理 .考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考法 2 考 法 3 考 法 4例 3(2018湖北随州 )如图 ,在平面直角坐标系 xOy中 ,菱形 OABC的边长为 2,点 A在第一象限 ,点 C在 x轴正半轴上 , AOC=60 ,若将菱形 OABC绕点 O
6、顺时针旋转 75 ,得到四边形 OABC,则点 B的对应点 B的坐标为 . 考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考法 2 考 法 3 考 法 4解析 :作 BH x轴于 H点 ,连接 OB,OB,如图 , 四边形 OABC为菱形 , OB平分 AOC, AOB=30 , 菱形 OABC绕原点 O顺时针旋转 75 至第四象限 OABC的位置 , BOB=75 ,OB=OB=2 , AOB= BOB- AOB=45 ,考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考法 2 考 法 3 考 法 4方法点拨 本题考查了数形结合思想和坐标与图形变化 -旋转 :图
7、形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标 .常见的是旋转特殊角度如:30 ,45 ,60 ,90 ,180 .考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考 法 2 考法 3 考 法 4菱形的判定证明菱形的常用思路 :“平行四边形 +一组邻边相等 ”或 “平行四边形 +对角线互相垂直 ”.例 4(2018江苏扬州 )如图 ,在平行四边形 ABCD中 ,DB=DA,点 F是AB的中点 ,连接 DF并延长 ,交 CB的延长线于点 E,连接 AE.(1)求证 :四边形 AEBD是菱形 ;(2)若 DC= ,tan DCB=3,求菱形 AEBD的面积 .分
8、析 :(1)由 AFD BFE,推出 AD=BE,可知四边形 AEBD是平行四边形 ,再根据 BD=AD可得结论 ;(2)解直角三角形求出 EF的长即可解决问题 .考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考 法 2 考法 3 考 法 4(1)证明 : 四边形 ABCD是平行四边形 , AD CE, DAF= EBF, AFD= EFB,AF=FB, AFD BFE, AD=EB, AD EB, 四边形 AEBD是平行四边形 , BD=AD, 四边形 AEBD是菱形 . 考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考 法 2 考法 3 考 法 4(2)解
9、: 四边形 ABCD是平行四边形 , ABE= DCB, tan ABE=tan DCB=3, 四边形 AEBD是菱形 , AB DE,AF=FB,EF=DF,方法点拨 本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识 ,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题 ,属于中考常考题型 .考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考 法 2 考 法 3 考法 4正方形的性质及判定1.明晰正方形具备平行四边形、矩形、菱形的所有性质 ;2.证明正方形的一般思路 :矩形 +一组邻边相等 ,矩形 +对角线互相垂直 ,菱形 +对角线相等 ,菱形 +一个内角是
10、90 ;3.正方形的中心对称性与轴对称性 .考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考 法 2 考 法 3 考法 4例 5(2017广西来宾 )如图 ,在正方形 ABCD中 ,H为 CD的中点 ,延长AH至点 F,使 AH=3FH,过 F作 FG CD,垂足为 G,过 F作 BC的垂线交BC的延长线于点 E.(1)求证 : ADH FGH;(2)求证 :四边形 CEFG是正方形 .证明 :(1) 四边形 ABCD是正方形 , ADH=90 ,AD=DC, FG CD, ADH= FGH=90 , AHD= FHG, ADH FGH.考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断
11、考法必研突破考法 1 考 法 2 考 法 3 考法 4(2) ADH FGH,AH=3FH, FG CD,DC BE,FE BE, 四边形 CEFG是正方形 . 考题初做诊断1.(2017甘肃兰州 )如图 ,矩形 ABCD的对角线 AC与 BD相交于点O, ADB=30 ,AB=4,则 OC= ( B )A.5 B.4C.3.5 D.3解析 : 四边形 ABCD是矩形 , AC=BD,OA=OC, BAD=90 , ADB=30 , AC=BD=2AB=8, OC= AC=4.故选 B.考题初做诊断2.(2018甘肃兰州 )如图 ,在矩形 ABCD中 ,AB=3,BC=4,BE DF且 BE与
12、 DF之间的距离是 3,则 AE的长是 ( C )考题初做诊断3.(2017甘肃兰州 )在平行四边形 ABCD中 ,对角线 AC与 BD相交于点O,要使四边形 ABCD是正方形 ,还需添加一组条件 .下面给出了四组条件 : AB AD,且 AB=AD; AB=BD,且 AB BD; OB=OC,且OB OC; AB=AD,且 AC=BD,其中正确的序号是 . 考题初做诊断解析 : 四边形 ABCD是平行四边形 ,AB=AD, 四边形 ABCD是菱形 ,又 AB AD, 四边形 ABCD是正方形 ,故 正确 ; 四边形 ABCD是平行四边形 ,AB=BD,AB BD, 平行四边形 ABCD不可能
13、是正方形 ,故 错误 ; 四边形 ABCD是平行四边形 ,OB=OC, AC=BD, 四边形 ABCD是矩形 ,又 OB OC,即对角线互相垂直 , 平行四边形 ABCD是正方形 ,故 正确 ; 四边形 ABCD是平行四边形 ,AB=AD, 四边形 ABCD是菱形 ,又 AC=BD, 四边形 ABCD是矩形 , 平行四边形 ABCD是正方形 ,故 正确 ;故答案为 .考题初做诊断4.(2018甘肃 )已知矩形 ABCD中 ,E是 AD边上的一个动点 ,点 F,G,H分别是 BC,BE,CE的中点 .(1)求证 : BGF FHC;(2)设 AD=a,当四边形 EGFH是正方形时 ,求矩形 ABCD的面积 .考题初做诊断(1)证明 : 点 F,G,H分别是 BC,BE,CE的中点 , FH BE,FH= BE=BG, CFH= CBG, BF=CF, BGF FHC. (2)解 :当四边形 EGFH是正方形时 ,可得 :EF GH且 EF=GH,且 GH BC, EF BC, AD BC,AB BC,
