1、第 21讲 与圆有关的位置关系考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考点必备梳理考点一 考点二 考点三考点一 点与圆的位置关系 1.点与圆的位置关系有 :点在圆内、点在圆上、点在圆外三种 .2.数量关系 :设圆的半径为 r,点与圆心的距离为 d,则 (1)点在圆内dr . 考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考点必备梳理考点一 考点二 考点三考点二 直线与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系有相离、相切、相交三种 .如下图 :2.数量关系 :设圆的半径为 r,圆心到直线的距离为 d,则(1)直线与圆相离 dr ; (2)直线与圆相切 d=r ; (3)直线与圆相交 dr . 考点必备梳理
2、 考法必研突破 考题初做诊断考点必备梳理考点一 考点二 考点三考点三 圆的切线 1.切线的定义 :直线和圆有且只有 一 个公共点时 ,称直线与圆相切 ,这条直线叫做圆的切线 . 2.切线的性质定理 :圆的切线垂直于 过切点 的半径 . 推论 :经过切点垂直于切线的直线必经过 圆心 . 3.圆的切线的判定(1)根据定义来判定 :当直线与圆有且只有 一 个公共点时 ,该直线与圆相切 . (2)根据数量关系来判定 :设圆的半径为 r,圆心到直线的距离为 d,则当 d=r 时 ,直线与圆相切 . (3)判定定理 :经过半径外端 ,并且 垂直于这条半径 的直线是圆的切线 . 考点必备梳理 考法必研突破
3、考题初做诊断考点必备梳理考点一 考点二 考点三4.切线长(1)定义 :经过圆外一点的圆的切线上 ,这点到切点之间的距离叫切线长 .(2)切线长定理 :从圆外一点引圆的两条切线的切线长 相等 ,并且这点与圆心的连线 平分 两条切线的夹角 . 5.三角形的内切圆、内心(1)定义 :与三角形的三边都 相切 的圆叫做三角形的内切圆 ,这个三角形叫做这个圆的外切三角形 . (2)三角形内切圆的圆心叫做三角形的 内心 . (3)三角形的 内心 是三角形三条角平分线的交点 ,这点到三角形三边的距离 相等 . 考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 4直线
4、与圆的位置关系的判断判断直线与圆的位置关系常常是根据直线与圆的公共点的个数或数量关系来判断 .例 1在 RtABC中 , C=90 ,AC=3 cm,BC=4 cm,以 C为圆心 ,r为半径作圆 ,若圆 C与直线 AB相切 ,则 r的值为 ( )A.2 cm B.2.4 cm C.3 cm D.4 cm答案 B 解析 在 RtABC中 , C=90 ,AC=3 cm,BC=4 cm,由勾股定理 ,得AB2=32+42=25,即 AB=5 cm. AB是 C的切线 ,切点为 D, CD AB. CD=r. r=2.4 cm,故选 B. 考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1
5、 考 法 2 考 法 3 考 法 4方法点拨 斜边上的高即为圆的半径是解决本题的突破点 .根据直线与圆相切的数量关系知 :当圆 C与直线 AB相切时 ,圆心 C到直线 AB的距离与圆的半径相等 ,于是利用勾股定理求出斜边 AB的长 ,再由直角三角形面积的求法求出斜边上的高即得半径 r的值 .考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考法 2 考 法 3 考 法 4切线 性质的应用在应用切线的性质时要注意 :(1)切线和圆只有一个公共点 ;(2)圆心到切线的距离等于半径 ;(3)“经过圆心 ”“经过切点 ”“垂直于切线 ”这三个结论中 ,有两个成立时 ,第三个一定成立 .考点
6、必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考法 2 考 法 3 考 法 4例 2(2018山东泰安 )如图 ,BM与 O相切于点 B,若 MBA=140 ,则 ACB的度数为 ( )A.40 B.50 C.60 D.70考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考法 2 考 法 3 考 法 4答案 :A 解析 :如图 ,连接 OA,OB, BM是 O的切线 , OBM=90 , MBA=140 , ABO=50 , OA=OB, ABO= BAO=50 , AOB=80 , ACB= AOB=40 ,故选 A. 考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必
7、研突破考法 1 考法 2 考 法 3 考 法 4方法点拨 连接 OA,OB,由切线的性质知 OBM=90 ,从而得 ABO= BAO=50 ,由内角和定理知 AOB=80 ,根据圆周角定理可得 答案 .有关切线问题 ,辅助线常常是连接过切点的半径 ,即产生直角 .于是可得到直角三角形 ,进而可以根据直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等进行计算和证明 .考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考法 2 考 法 3 考 法 4例 3(2018重庆 )如图 ,已知 AB是 O的直径 ,点 P在 BA的延长线上 ,PD与 O相切于点 D,过点 B作 PD的垂线交 PD的延长
8、线于点 C,若O的半径为 4,BC=6,则 PA的长为 ( )考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考法 2 考 法 3 考 法 4答案 :A 解析 :连接 DO, PD与 O相切于点 D, PDO=90 , C=90 , DO BC, PDO PCB,解得 x=4,故 PA=4.故选 A. 考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考法 2 考 法 3 考 法 4方法点拨 先直接利用切线的性质得出 PDO=90 ,再利用相似三角形的判定与性质分析得出 答案 .考点 :1.切线的性质 ;2.相似三角形的判定与性质 .考点必备梳理 考法必研突破 考题初
9、做诊断考法必研突破考法 1 考 法 2 考法 3 考 法 4切线的判定在应用切线的判定时要注意 :切线必须满足两个条件 :(1)经过半径外端 ;(2)垂直于这条半径 .例 4如图 ,AB为 O直径 ,P点为半径 OA上异于 O点和 A点的一个点 ,过 P点作与直径 AB垂直的弦 CD,连接 AD,作 BE AB,OE AD交 BE于 E点 ,连接 AE,DE,AE交 CD于 F点 .求证 :DE为 O的切线 .考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考 法 2 考法 3 考 法 4证明 :如图 ,连接 OD,BD,BD交 OE于点 M, AB是 O的直径 , ADB=90
10、 ,AD BD, OE AD, OE BD, BM=DM, OB=OD, BOM= DOM, OE=OE, BOEDOE(SAS), ODE= OBE=90 , DE为 O的切线 . 考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考 法 2 考法 3 考 法 4方法点拨 判定切线常常用以下两种方法 :(1)当直线与圆的公共点已知 ,则连接圆心和这点 ,证明圆心和这点的连线与该直线垂直 ,利用切线的判定定理解决问题 .(2)当直线与圆的公共点没有明确告知时 ,则过圆心作该直线的垂线 ,证明圆心与垂足之间的距离等于圆的半径 ,利用直线与圆相切的数量关系来解决问题 .考点必备梳理 考
11、法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考 法 2 考 法 3 考法 4切线的性质的综合应用与切线有关的问题经常与其他知识相结合 ,构建综合性试题 .求解这类问题不仅要联想到切线的性质 ,同时要综合运用直角三角形的性质、相似三角形的性质、勾股定理等 .例 5(2018陕西 )如图 ,在 RtABC中 , ACB=90 ,以斜边 AB上的中线 CD为直径作 O,分别与 AC,BC交于点 M,N.(1)过点 N作 O的切线 NE与 AB相交于点 E,求证 :NE AB;(2)连接 MD,求证 :MD=NB.考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考 法 2 考 法 3
12、考法 4证明 :(1)连接 ON,如图 , CD为斜边 AB上的中线 , CD=AD=DB, 1= B, OC=ON, 1= 2, 2= B, ON DB, NE为切线 , ON NE, NE AB.(2)连接 DN,如图 , CD为直径 , CMD= CND=90 ,而 MCB=90 , 四边形 CMDN为矩形 , DM=CN, DN BC, 1= B, CN=BN, MD=NB. 考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考 法 2 考 法 3 考法 4方法点拨 (1)连接 ON,根据斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AD=DB,则 1= B,再证明 2= B得到 O
13、N DB,接着根据切线的性质得到 ON NE,然后利用平行线的性质得到结论 ;(2)连接DN,根据圆周角定理得到 CMD= CND=90 ,则可判断四边形CMDN为矩形 ,所以 DM=CN,然后证明 CN=BN,从而得到 MD=NB.考题初做诊断1.(2014甘肃白银 )已知 O的半径是 6 cm,点 O到同一平面内直线 l的距离为 5 cm,则直线 l与 O的位置关系是 ( )A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断A考题初做诊断2.(2017甘肃兰州 )如图 ,ABD是 O的内接三角形 ,E是弦 BD的中点 ,点 C是 O外一点且 DBC= A,连接 OE延长与圆相交于点 F,与 BC相
14、交于点 C.(1)求证 :BC是 O的切线 ;(2)若 O的半径为 6,BC=8,求弦 BD的长 .考题初做诊断(1)证明 :连接 OB,如图所示 : E是弦 BD的中点 , BOE= A, OBE+ BOE=90 , DBC= A, BOE= DBC, OBE+ DBC=90 , OBC=90 ,即 BC OB, BC是 O的切线 . (2)解 : OB=6,BC=8,BC OB,考题初做诊断3.(2017甘肃武威 )如图 ,AN是 M的直径 ,NB x轴 ,AB交 M于点 C.(1)若点 A(0,6),N(0,2), ABN=30 ,求点 B的坐标 ;(2)若 D为线段 NB的中点 ,求证
15、 :直线 CD是 M的切线 .考题初做诊断(1)解 A的坐标为 (0,6),N(0,2), AN=4. ABN=30 , ANB=90 , AB=2AN=8,(2)证明 连接 MC,NC. AN是 M的直径 , ACN=90 , NCB=90 .在 RtNCB中 ,D为 NB的中点 , CD= NB=ND, CND= NCD. MC=MN, MCN= MNC. MNC+ CND=90 , MCN+ NCD=90 ,即 MC CD. 直线 CD是 M的切线 .考题初做诊断4.(2016甘肃武威 )如图 ,在 ABC中 ,AB=AC,点 D在 BC上 ,BD=DC,过点 D作 DE AC,垂足为
16、E,O经过 A,B,D三点 .(1)求证 :AB是 O的直径 ;(2)判断 DE与 O的位置关系 ,并加以证明 ;(3)若 O的半径为 3, BAC=60 ,求 DE的长 .考题初做诊断(1)证明 连接 AD, AB=AC,BD=DC, AD BC, ADB=90 , AB为圆 O的直径 .(2)解 DE与圆 O相切 ,证明 连接 OD, O,D分别为 AB,BC的中点 , OD为 ABC的中位线 , OD AC. DE AC, DE OD. OD为圆的半径 , DE与圆 O相切 .考题初做诊断(3)解 AB=AC, BAC=60 , ABC为等边三角形 , AB=AC=BC=6.连接 BF, AB为圆 O的直径 , AFB= DEC=90 , AF=CF=3,DE BF. D为 BC中点 , E为 CF中点 ,即 DE为 BCF的 中位线 .在 RtABF中 ,AB=6,AF=3,
