1、1 角动量 的概念是在研究物体转动问题时引入的。与动量、能量一样，角动量也是一个描述质点和质点系运动状态的基本物理量；角动量守恒定律也是一个与动量守恒定律和能量守恒定律并列的守恒定律。但是，角动量的概念和数学表达要比动量、能量复杂一些。 微观 : 电子绕原子核运动 宏观 : 行星绕太阳运动 例 质点绕某一中心转动 2 4-1 质点角动量 4-2 质点角动量守恒定律 4-3 有心力与角动量守恒定律 3 第一节 4 - 1 angular momentum and law of conservation of angular momentum 大量天文观测表明 r m v sin 常量 方向： r
2、 m v ( ) 定义： 质点 m绕某一中心 O转动 , 对 O点的 角动量 为 单位 ： 千克 米 2/秒 （ kgm2/s）。 v m rprL大小 ： L=rpsin = mrvsin 4-1 质点角动量 4 地球上的单摆 大小会变 变 太阳系中的行星 大小 未必 会变。靠什么判断？ 变 变 变 大小 质点 对 的角动量 问题的提出 5 4-2 质点的角动量定理及其守恒定律 导致角动量 随时间变化的根本原因是什么？ 思路： 分析 与什么有关？ 由 则 (两平行矢量的叉乘积为零 ) 得 角动量的时间变化率 质点 m对参考点 O的 位置矢量 所受的合外力 等于 叉乘 6 是 力矩 的矢量表达
3、： 而 即 质点 角动量定理 的 微分形式 若各分力与 O点共面 ， 力矩只含正 、 反两种方向 。 可设顺时针为正向 ，用代数法求合力矩 。 当 0 时， 有 0 即 角动量守恒 若质点所受合外力的方向始终通过参考点 ， 其角动量守恒 。 如行星绕太阳运动 ， 服从角动量守恒定律 。 7 例 1 质点系的内力可以改变 （ A）系统的总质量。 （ B）系统的总动量。 （ C）系统的总动能。 （ D）系统的总角动量 。 例 2 一质点作匀速率圆周运动时 ,它的 （ A）动量不变，对圆心的角动量也不变。 （ B）动量不变，对圆心的角动量不断改变。 （ C）动量不断改变，对圆心的角动量不变。 （ D
4、）动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变。 C C 8 自然界中有些力具有这样的性质：力的方向始终通过某一固定点 ， 力的大小仅依赖于质点与这个点之间的距离 。这样的力称为 有心力 ， 相应的固定点称为 力心 。 例如 ， 万有引力是有心力；静电作用力也是有 心 力 。 4-3 有心力 与 角动量守恒定律 r m 有心力 F 力心 o 物体运动仅受有心力作用时 ， 力对力心 O点的力矩始终为零 。 在有心力作用下 ， 运动物体对力心 O的角动量守恒 。 21 LL 2211 vv mm rr9 行星绕太阳运动： 引力指向太阳 ， 行星在引力 (有心力 )作用下绕太阳运动 ， 而且 ， 对力心
5、O 的力矩为零 ， 因此行星绕太阳运动过程中角动量守恒 。 Fr /,0 FrM 10 开普勒第二定律 例 3* 应用质点的角动量守恒定律证明开普勒第二定律 : 行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积 。 11 t时刻 m 对 O 的角动量大小为 : 即 因行星受的合外力总指向是太阳，角动量 守恒。 瞬间 位矢扫过的微面积 则 常量 （称为掠面速率） 故 位矢在相同时间内扫过的面积相等 12 例 4 地球在远日点时 ， 它离太阳的距离为 r1 =1.52 1011 m ，运动速率 v1 =2.93 104 m/s， 当地球在近日点时 ， 它离太阳的距离 r2 =1.47 1011 m， 则
6、运动速率 v2为多少 ？ (p51 习题 6) smrr 42112 103.03 vv解 地球 在引力 (有心力 )作用下绕太阳运动 ， 对力心 O 的力矩为零 ， 因此角动量守恒 。 2211 mrmr vv 即 : (1) 该过程中地球动量守恒吗 ？ 地球动量不守恒 ， 因地球速度大小 、 方向均在变 *。 (2) 能否按引力等于向心力立方程求解 ？ 曲率半径未知 ， 条件不够 。 13 例 5 地球绕太阳转动，地球经过轨道上的近日点和远日点时离太阳的距离分别为 r1和 r2，已知太阳质量为M， 求地球 经过近日点和远日点时的速度大小 v1和 v2 14 由机械能守恒 )(21)(212
7、22121 rvrvmMGmmMGm 由水星角动量守恒 2211 rvrv mm 解： 设地球质量为 m 由 (1)、 (2) 两式解得 ,)(221121 rrrG M rv)(22112211212 rrrG M rrrvrrv解 (1) 力矩 FrM m g brFM si nb P xymO力矩为一常量；方向，垂直于屏幕向内。 mg b tgtmbmbmrL vv s i n方向：垂直于屏幕向内。 角动量 PrL (2) 15 例 6 一个质量为 m的质点从 P点由静止开始沿 y轴自由下落 ， 如图所示 。 以原点 O为参考点 ， 求： (1)任意时刻作用在 m上的力矩 ； (2)任意
8、时刻的角动量 M L例 7 如图所示，质量 m的小球某时刻具有水平朝右的速度 v，小球相对图示长方形中 A， B， C三个顶点的距离分别是 d1、 d2、 d3 ，且有 ，试求： (1)小球所受重力相对 A， B， C的力矩； (2)小球相对 A， B， C的角动量。 232122 ddd 解 AB C1d2d3dgvm(1) 力矩 FrM AM 方向：垂直图平面向里， 大小； 1mg dM A AB MM 0CMv mrL 角动量 (2) 0ALBLBC LL 方向：垂直图平面向里， 大小； 3dmL B v16 例 8 质量 m0的质点固定不动，在它的万有引力的作用下，质量 m的质点作半径
9、为 R的圆轨道运动。取圆周上 P点为参考点，如图所示，试求：质点 m在图中点 1处所受的力矩 和质点的角动量 ；质点 m在图中点 2处所受的力矩 和质点的角动量 。 1M2M1L2L解： 在点 1处： 力矩 在点 1处， m所受引力指向 P点，故 01 M角动量 RmRmmG 220 vRGm 0v1M1L由 m作圆周运动的动力学方程，可得速度 v 090R mP 120m力矩定义式 FrM v mrL 角动量 1L 方向：垂直图平面向外， 大小； RGmmRGmmRL 0001 290s i n2 17 力矩 在点 2处 2M 方向：垂直图平面向里， 大小； RmGmR mmGRM /135
10、s i n2 00202 角动量 方向：垂直图平面向外， 大小； 2LRGmmRGmmRL 0002 135s i n2 2L同上理可得 的速度 m RGm /02 vFrM 090R mP 120mv mrL 18 例 9 如果质点在 的位置时的速度为 ， 求此质点对坐标原点的角动量 。已知质点的质量为 。 mjir 4153 smji 3.65.2 vkg1.4解 )( vv rmmrL O)()(. jiji 3652415314 )5.2(4.1)3.6(5.31.4 ijji 对坐标原点 的角动量 Osmkgkkkk/.)(.21057551045305221419 zxyijk例
11、10 质量同为 m的两个小球系于一 轻质 弹簧两端 ， 放在光滑水平桌面上 ， 弹簧处于自由伸长状态 ， 长为 a， 其劲度系数为 k， 今使两球同时受水平冲量作用 ， 各获得与连线垂直的等值反向初速度 ，如图所示 。 若在以后运动过程中弹簧可达的最大长度 b=2a， 试求两球初速度大小 v0 。 解 : 0vmk am0v两球和弹簧视为系统 。 由角动量守恒 ,2222 0bmam vv v为弹簧最大长度 b时的速度 因对称 ， 弹簧中点 O相对于桌面不动 。 包括弹簧的系统 只受保守内力 ， 机械能守恒；系统对 O点的合力矩为零 ， 角动量守恒 。 由机械能守恒： 2022212)(21212 vv mabkm 解以上两式 ， 并将 b=2a代入 ， 得： amk320 v 20 作 业 第 4章 P39 2、 3、 4、 7* 21
