1、学越辅导六年级数学思维训练0分数的速算与巧算 裂项知识导航分数裂项是整个奥数知识体系中的一个精华部分，将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。1.分数裂差型运算公式：(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 形式的，这里我们把较小的数写在前面，1ab即 ，那么有ab1
2、1()abab(2)对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即：， 形式的，我们有：1()2n1()2(3)nn111()2(3)()2()2(3)nnnnn裂差型特征：(1)分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数)的，但是 只要将 x 提取出来即可转化为分子都是 1 的运算。(2)分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接”(3)分母上几个因数间的差是一个定值。2.分数裂和型运算公式：（1） （2）1abab22abba裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的” ，裂和
3、型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。3.整数裂项运算公式：(1) 1234.(1)n(1)()3n(2) 5.22(1)4nn学越辅导六年级数学思维训练1精典例题 1: 1111123453467890思路点拨观察分数特征，此题属于裂差型分母为 4 个连续自然数乘积，可直接运用公式。模仿练习 1: 333.1245178920精典例题 2: 5719123480思路点拨如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目但是本题中分子 不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为 2相比较于 2，4，6，这一公差为 2 的等差数列(该数
4、列的第 个数恰好为 的 2 倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大 nn3,所以可以先把原式中每一项的分子都分成 3 与另一个的和再进行计算模仿练习 2: 57179123458901（ ）学越辅导六年级数学思维训练2精典例题 3: 3451212453647034思路点拨观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是 5 个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数即：原式222 234511453563467034现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式： ， ， 212253精典例题 4: 13
5、49222410 精典例题 5: 1112320 学越辅导六年级数学思维训练3思路点拨本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有 ， ，12()112()3模仿练习 3:234 501()(1)2)(13)(2)(12349)(12350) 精典例题 6: 22222211135793思路点拨这题是利用平方差公式进行裂项： 2()()abab精典例题 7:2222135035791学越辅导六年级数学思维训练4思路点拨式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为 ， ， ， ，可以发现如果分母都加上 1，那么恰好都是2124261201分子的 4 倍，所以可以先将原式乘以 4 后进行计算，得出结果后除以 4 就得到原式的值了课后练习 1 . =_；112349502. 计算： 13601528136451678910523 =_；1115790. 求和： 13415346134520学越辅导六年级数学思维训练5. 求和： 1034518749123840课后练习 2 1. 123419802. =_111352463572043. =_；123492523410 4.计算： 111648248028
