1、从自然数到实数,浙江大学数学系 卢兴江,有奖征联：学数学，数数数最苦！,实数,自然数 （0）1 2 3 4 5 6,素数,如果自然数 n1，且只能被1及本身整除，则n称为素数。否则称为合数。2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ,素数,算术基本定理： 每一个合数都可以分解为若干个素数之积。若不论排列顺序，这种分解是唯一的。,素数,素数有多少个？素数有无穷多个（反证）假设只有有限多个（m个）素数 ，则考察 ，不能被 整除，所以 也是素数， 素数
2、有m+1个，矛盾。,有理数的几何解释和表示,分母为n的分数，我们把每一个单位长线段分为n等分，则这些点表示了分母为n的分数有理点。,有理数的十进位小数表示：循环小数,所有循环小数都是有理数。,有理数的性质-稠密性,有理点在数轴上是稠密的，即每一个不论是多么小的区间中都存在着有理点。也可以说：任何两个不同的有理数之间有无数多个有理数。,对任意的实数x和正整数q , 必存在整数p, 使得：每个实数都能用有理数去逼近到任意精确程度 （只要q充分大）,有理数的性质-可公度性,设a, b表示两个线段的长度，若有正整数m, n使得： b=(m/n)a 则称两个线段a, b是可公度的 a=n(a/n), b
3、=m(a/n),有理数经加、减、乘、除（分母不为零）运算后仍是有理数，全体有理数集合是一个数域（包含0，1的数集对加减乘除封闭）有理数集是“最小”的一个数域,有理数和无理数的不可公度性,和 1 的不可公度：,是无理数,公元前470年，毕达哥拉斯门生希帕苏斯发现了边长为1的正方形对角线长不是“数”！,公元前425年，狄奥多鲁斯（希腊）证明了 为“不可度量”。,若 n 不是完全平方数，那么 不是有理数,证明：反证法，假设 是有理数，即,存在正整数m，使得,其中,对 重复以上的讨论可得：,与 且有：,这是不可能的，因为 p , q 是有限的自然数，矛盾。证毕。,有理数的性质-势与可数性,如果两个集合的元素可以建立一一对应，则称这两个集合是等势的,正整数集和偶数集等势！,自然数和有理数等势？,一个集合，如果其元素能排列成一个序列，则称这个集合是可数的。,自然数是可数的,全体整数是可数的,有理数是可数的,实数及其性质,有理点全体虽然是处处稠密的，但不能覆盖整个数轴。,全体实数集（有理数和无理数）是不可数的。,任意区间 a, b 等势于任意其他区间 c, d 。(其中ab, cd)，也等势于全体实数 R .,无理数为不循环无尽小数；全体无尽小数=实数；实数“铺满”了数轴，这一事实称为实数的连续性。,有点累啦？今天就到这儿吧！,谢谢！,
