1、1,第七节 无穷小的比较,一、无穷小的比较,二、等价无穷小代换,三、小结 思考题,2,【复习】,1.极限存在准则,2.两个重要极限,.夹逼准则,.单调有界准则,推广形式,3,一、无穷小的比较,【例如】,【结论】极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,不可比.,观察各极限,1.【问题】两个无穷小的和、差、积仍是无穷小.,商？,4,2.【定义】,5,【例如】,【注意】,并非任意两个无穷小都可进行比较,见上例.,6,【补例1】,【证】,7,【教材例1】,【证】,法,见教材,法,换元法,则,8,二、等价无穷小代换,【证】,【定理1】,称是的主要部分,即,即,【证完】,1、等价充要性:,9,【意义
2、】用等价无穷小可给出函数的近似表达式,【例如】,4.【常用等价无穷小】,10,【补例2】,【解】,（指数代换法）,11,【定理2】 (等价无穷小代换定理),【证】,【意义】求两个无穷小之 比的极限时，分子分母都可用等价无穷小代替，若选择适当，可简化计算.是求极限的又一种方法.,2、代换方法,12,【补例3】,【解】,若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限,【说明】,13,不能滥用等价无穷小代换.,切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小一般不能分别代换.,【注意】,【补例4】,【解】,无穷小代换原则
3、积商可部分代换,和差只能总体代换.,用等价无穷小代换更简单,如上【练习】,14,【错 】,【补例】,解,【正确解法】,15,【例5】,【解】,由教材例1可知,故,16,【补例6】,【解】,17,三、小结,1、无穷小的比较,【注】不是所有的无穷小都可进行比较.,2、等价无穷小的代换:,求极限的又一种方法,注意适用条件.,设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且, 是 的高阶无穷小, 是 的低阶无穷小, 是 的同阶无穷小, 是 的等价无穷小, 是 的 k 阶无穷小,18,【思考题】,任何两个无穷小都可以比较吗？,19,【思考题解答】,不一定,例当 时,都是无穷小量,但,不存在且不为无穷大,故当 时，,
