1、部分课外平面几何定理证明一.四点共圆很有用的定理，下面的定理证明中部分会用到这个，这也是我把它放在第一个的原因。这个定理根据区域的不同，在中考有的地方能直接用，有的不能，据笔者所知，北京中考是可以直接用的。其余的还是问问老师比较好。起码在选择题是大有用处的。二.三角形三垂线交于一点四点共圆的一次运用。很多人都知道三垂线交于一点，在这里给出证明三三角形垂心是连接三垂直所得到新三角新的内心 由三角形的三垂线可得多组四点共圆，一般有垂心的题都离不开四点共圆。估计这个结论在中考是不能直接用的，如果地区允许四点共圆的话稍微证一下就行了。四圆幂定理（在这里只是一部分）为割线定理、切割线定理于相交弦定理的总
2、称。这个应该是很多地方都允许用的，如果不能用的话也是稍微证一下就行了。五射影定理（欧几里得定理）什么也不说了，初中几何里应该是比较常用的。目测考试随便用六三角形切线长公式已知三角形三边长可求内切圆切点到顶点距离可能是做的题比较少吧，很少见有这样的中考题。推导也是很简单的。七广勾股定理估计中考允许用的地方不多，除非你那允许“引理”这货八弦切角定理很简单，估计每个地方都允许的。就算不把它当定理，自己也能发现这个结论九燕尾定理（共边比例定理）面积法思想，出现中点时可以用来证线段相等（例如下一个，重心） ，另外用于比例也是挺好使的。中考的时候，直接用的话估计老师会认为你跳跃度太大，考虑的时候想到这个，
3、证明的时候用面积法就行了。十海伦公式已知三角形三边可求其面积，可用余弦定理和正弦求面积公式推导，但余弦定理是高中知识（在后面会放出 来）所以不用在这里。另外公式里带根号，若三边中有根号的配凑一下应该可以开根。 这里是海伦公式的一个探讨，推广至 n 边形面积。在第五页有海伦公式的各种变形，其中变形的个边带有平方，可以解决边长带根号的问题，缺点是过于冗繁。吧友可以根据自己的情况进行探讨。中考嘛，一直不是很喜欢，过多的限制，不能发挥自己的能力。这个公式就不推荐考试的时候用了。十一重心三中线交于一点。同垂心十二重心定理：重心把中线分为 2:1 两部分。总的来说这些定理考试能用否得问老师，不能用的话，作
4、平行线把推导过程代进证明过程就算是侧面使用定理了，肯定不会扣分的。十三欧拉线由重心定理简单得出估计中考题都不会考共线神马的（起码广东这地方是不会考的） 。十四托勒密定理很好用的一个竞赛定理。中考填空就能用这个解，作垂线设方程就得出来了，其他人还向外做了正三角形神马的。所以个人感觉了解多点知识对于考试或对于兴趣都是挺好的十五余弦定理十六正弦定理十七赛瓦定理（ceva 定理）十八梅涅劳斯定理（简称梅氏定理 menelaus 定理）如果一条直线与ABC 的三边 AB、BC、CA 或其延长线交于 F、D 、E 点，那么(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。十九调和点列二十中线定理表述了三角形
5、三边与中线长的关系三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的 2 倍。即，对任意三角形ABC，设 I 是线段 BC 的中点，AI 为中线，则有如下关系：AB2+AC2=2BI2+2AI2或作 AB2+AC2=1/2BC2+2AI2二十一角平分线定理角平分线的比例性质二十二九点共园定理（欧拉圆、费尔巴赫圆）三角形三边的中点，三条高的垂足，垂心与各顶点连线的中点这九点共圆二十三张角定理在ABC 中，D 是 BC 上的一点，连结 AD。那么 sinBAD/AC+sin CAD/AB=sin BAC/AD。逆定理： 如果 sinBAD/AC+sinCAD/AB=sinBAC/A
6、D ，那么 B,D,C 三点共线。定理的推论：在定理的条件下，且BAD=CAD ，即 AD 平分BAC，则 B D C 共线的充要条件是：2cosBAD/AD=1/AB+1/AC二十四蝴蝶定理由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆 O 中的弦 PQ 的中点 M，过点 M 任作两弦 AB，CD ，弦 AD 与 BC 分别交 PQ 于 X，Y ，则 M 为 XY 之中点。二十五清宫定理设 P、Q 为ABC 的外接圆上异于 A、B、C 的两点，P 关于三边 BC、CA、AB 的对称点分别是U、V、W，且 QU、QV、QW 分别交三边 BC、CA、AB 或其延长线于 D、E、F，则
7、 D、E、F 在同一直线上二十六西姆松定理（cave 定理）过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。 （此线常称为西姆松线） 。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。二十七角元塞瓦定理设 P 为平面上一点（不在 AB、BC、AC 三条直线上） ，且（sinBAP/sinPAC） （sinACP/sinPCB ）（sinCBP/sinPBA）=1 则 AD、BE 、CF 三线共点或互相平行 推论若所引的三条线段都在ABC 内部，则这三条直线共点。【暂时缺图】二十八莫利定理将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角
8、线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。二十九斯坦纳定理如果三角形中两内角平分线相等，则必为等腰三角形三十斯台沃特定理（斯氏定理）任意三角形 ABC 中，D 是底边 BC 上一点，联结 AD，则有：AB2CD+AC2BD=(AD2+BDDC)BC也可以有另一种表达形式：设 BD=u，DC=v ，则有：AD2=(b2u+c2v)/a-uv三十一笛沙格定理平面上有两个三角形ABC、DEF，设它们的对应顶点（A 和 D、B 和 E、C 和 F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。三十二牛顿定理牛顿定理 1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三条共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。牛顿定理 2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。牛顿定理 3 圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。
