1、枣阳市 白水高级中学2017 届高 三12 月月考 数学试 题( 理科) 考试时间：2016.12.18 下午 3:105:10 一 .选择题：本题共 12 小 题，每小题5 分，在每小 题给出的四个选项中 ，只 有一项是符合题目要 求的. 1复 数z (3 2i)i 的 共 轭复数z 等于 （ ） A2 3i B 23i C 2 3i D 23i 2 已 知命 题 p：若 x y， 则x y ， 命 题q：若 x y，则 x 2 y 2 . 在命 题p q；pq；p( q)； ( p)q 中， 真命 题是 （ ） A B C D 3直 线l ：ykx1 与圆 O：x 2 y 2 1 相交 于
2、A ，B 两 点， 则“k1 ”是 “OAB 的 面积 为 1 2 ”的（ ） A充 分而 不必 要条 件 B 必要 而不 充分 条 件 C充 分必 要条 件 D 既不 充分 又不 必 要条件 4函 数 ( ) sin( )( 0, 0,| | ) 2 f x A x A 满足 0 ) 1 ( f ，则（ ） A ( 1) fx 一定是 偶函 数 B ( 1) fx 一定 是奇 函数 C ( 1) fx 一定是 偶函 数 D ( 1) fx 一定 是奇 函数 5 一辆 汽车 在高 速公 路上 行驶， 由于 遇到 紧急 情况 而刹车 ， 以 速度 v(t) 7 3t 25 1 t (t 的单 位
3、：s ，v 的单位 ：m/s) 行 驶至 停止 ，在此 期间 汽车 继续 行驶 的距离(单 位：m) 是（ ） A125ln 5 B825ln 11 3C425ln 5 D 450ln 2 6 已 知非 零向 量 , 1 | | , e e a 且对任 意 的实数 , R t 都有 | | | | e a e t a ，则 有 （ ） A e a B e e a ) ( C () e a e D ) ( ) ( e a e a 7函 数 1 3 ( ) | | f x x x 的图象 大致 是（ ） 8 已 知实 数 , xy 满足 40 10 10 xy y x ，则 2 y z x 的最
4、大值是 A 1 3B 9 C 2 D 11 9 若 函数 y f x 在 定 义 域内 给 定区 间 , ab 上存在 00 x a x b ，满足 0 f b f a fx ba ，则 称函数 y f x 是 , ab 上 的“ 平 均值 函数 ” ， 0 x 是 它 的 一个 均 值点.例如yx 是 2,2 上 的 “平 均 值 函数” ，0 是它 的均值点. 若 ln f x x 是区间 ,1 a b b a 上的“平均值 函 数” ， 0 x 是它的一 个均值 点，则 0 1 lnx ab 与 的大 小关 系是 （ ） A ab x 1 ln 0 B ab x 1 ln 0 C ab
5、x 1 ln 0 D ab x 1 ln 0 10 过双 曲线 22 22 1( 0, 0) xy ab ab 的右 焦点 且 垂直于x 轴的 直线 与双 曲线 交于A ，B 两点 ， 与 双曲线 的渐进 线交 于C ，D 两点 ，若 3 | | | | 5 AB CD ，则双 曲线 离心 率的 取值 范围为 （ ） A 5 , ) 3 B 5 , ) 4 C 5 (1, 3D 5 (1, 411 设函数 2 ( 2), (1, ), () 1 | |, 1,1 , f x x fx xx 若 关于x 的 方程 ( ) log ( 1) 0 a f x x （ 0 a 且 1 a ）在 区 间
6、 0,5 内恰 有 5 个不 同的 根， 则实数a 的取 值范 围是（ ） A 1, 3 B 4 ( 5, ) C( 3, ) D 4 ( 5, 3) 12 设 偶函 数 fx 满足 2 4 0 x f x x ，则 | 2 0 x f x 等于（ ） A. | 2 4 x x x 或 B. | 0 4 x x x 或 C. | 0 6 x x x 或 D. | 2 2 x x x 或二填空题： （本大题 共 4 小题，每小题5 分，共 20 分） 13 cosC , 13 5 cosB , 5 3 sinA , ABC 则 中 在 =_. 14在 ABC 中， 16 AB AC ，sin s
7、in cos A B C ，D 线段AB 上的 动 点 （含 端点） ， 则DA DC 的取 值范 围是 15 1 22 1 ( 1 ) x x dx = 16古 希腊 毕达 哥拉 斯学 派的数 学家 研究 过各 种多 边形数 ，如 三角 形数 1 ，3 ，6 ，10 ， ，第 n 个三 角形 数为 1 2 nn 1 2 n 2 1 2 n， 记 第n 个k 边形数 为 N(n ，k)(k 3)， 以下列 出了 部 分k 边 形数 中第 n 个数 的 表达式 ： 三角形 数 N(n ，3) 1 2 n 2 1 2 n ， 正方 形数 N(n ，4) n 2 ， 五边形 数 N(n ，5) 3
8、2 n 2 1 2 n ， 六边 形数 N(n ，6) 2n 2 n ， 可以推 测N(n ，k)的 表达 式，由 此计 算N(10，24) _. 三解答题：( 本大题共6 小题，请写出必要的 文字 说明和解答过程，共 70 分) 17已 知数 列 n a 的前n 项和 2 11 , 2,2 ( 1) n n n n S a S n a n a ，数列 n b 满足 11 1, 2 n a nn b bb . （1） 求数 列 n a 的通项 公式 ； （2） 是否 存在 正实 数 ，使 得 n b 为等 比数 列？ 并说 明理 由. 18如图（1 ） , EF 分别是 , AC AB 的中点
9、， 90 , 30 ACB CAB ，沿着EF 将 AEF 折起，记二 面角A EF C 的度数 为 . （1）当 90 时，即 得到 图（2 ）求二 面角A BF C 的余 弦值 ； （2） 如图 （3 ） 中， 若AB CF ，求cos 的值. 19 如图 ， 已 知椭圆 22 22 : 1 0 xy C a b ab 的四 个 顶点分 别是 1 2 1 2 , , , A A B B ， 2 1 2 ABB 是边长 为23 的 正三角 形， 其内 切圆 为圆G. （1） 求椭 圆C 及圆G 的标准 方 程； （2） 若点D 是椭 圆C 上第一 象 限内的 动点 ，直 线 1 BD 交线段
10、 22 AB 于点 E . 求 1 1 DB EB 的最大 值； 设 1,0 F ， 是 否存 在以 椭圆C 上 的点M 为圆心 的圆M ， 使得 过 圆M 上任 意一 点N ， 作 圆G 的切 线 （切点 为 T ）都满 足 2 NF NT ？若存 在，请 求出 圆M 的方程 ；若 不存在 ，请 说明 理由. 20已 知函 数 1 ) ( ax e x f x (a 为常 数) ， 曲线 ) (x f y 在与y 轴的交 点A 处的切 线斜率 为 1 . （1）求a 的值及 函数 ) (x f 的单 调 区间； （2） 证明 ：当 0 x 时， 1 2 x e x ； （3） 证明 ：当 *
11、 N n 时， n e n n 3 1 ln 1 3 1 2 1 1 3 . 21 已知 极坐 标系 的极 点 与直角 坐标 系的 原点 重合 ， 极轴与 直角 坐标 系中x 轴的 正半轴 重合 若 曲线C 的 参数方 程为 3 2cos ( 2sin x y 为参 数） ，直 线l 的极坐 标方 程为 2 sin( ) 1 4 （1） 将曲 线C 的参数 方程 化 为极坐 标方 程； （2） 由直 线l 上一点 向曲 线C 引切线 ，求 切线 长的 最小 值 22 已知 函数 ( ) | 1|, ( ) 2| | f x x g x x a . （1）当 a=-1 时 ，解 不等 式f(x)
12、 g(x) ； （2） 若存 在x0 R ，使 得f(x0) 1 2 g(x0)， 求实 数 a 的 取值范 围. 参考答案 1CCABC 6 CDBDBCB 13 65 1614 4,0 . 15 2 32 16 1000 17（ 1 ） n a n 2 ；（ 2） 2 1 . （ 1 ） 由 题 设 ， 2 2 1 2 1 1 2 2 1 ) 2 ( 2 , ) 1 ( 2 n n n n n n a n a n S a n a n S , 两 式 相 减 可 得 1 2 2 2 1 2 1 n n n a n a a n ， 由 于 1 2 1 1 2 4 2 a a a S ， 可 得
13、 4 2 1 2 a a ， 所 以 n a 的公差 为 2，故 n a n 2 . （2 ）由 题设 ， 1 2 , 2 2 1 1 n n a n n a n n b b b b ， 两式 相除可 得 n n b b 4 2 ，即 1 2 2 n n b b 和 都 是以 4 为 公 比 的 等 比 数 列. 因为 1 , 4 2 1 2 1 1 b b b a ，所以 4 2 b ，由 4 4 1 3 b b 及 3 1 2 2 b b b ，可得 1 4 2 ，又 0 ，所以 2 1 . 所以 2 2 1 2 1 2 1 2 2 , 2 4 2 n n n n n b b ，即 1 2
14、 n n b ，则 n n b b 2 1 ， 因此存 在 2 1 ，使得 数 列 n b 为等 比数列. 18（ 1 ） 5 5 ；（ 2） 1 3 . 试题解 析： （1） 平 面AEF 平面CEFB ，且EF EC ，AE 平面CEFB 过点E 向BF 作垂 线交BF 延长 线于H ，连接AH ，则 AHE 为二 面角A BF C 的平 面角 设 2 , 4 , 2 3 BC a EF a AB a AC a ， 3 AE a ， 3 2 EH a 22 3 5 2 cos 5 3 3 4 a EH AHE AH aa . （2）过点A 向CE 作垂 线， 垂足 为G ，如果AB CF
15、， 则根据 三垂 线 定理有GB CF ，因 BCF 为正 三角形 ，故 0 23 tan30 3 CG BC a ，则 3 3 GE a ，而 3 AE a 故 1 cos 3 GE AE . 19（ 1 ） 1 3 9 2 2 y x ， 1 1 2 2 y x ；（ 2 ） 2 1 2 ； 10 3 : 2 2 y x M . （1 ） 由题 意知 ， 0 , 3 , 3 , 0 2 2 A B 所以， 3 , 3 a b ,所 以椭 圆的 标准 方 程为 1 3 9 2 2 y x , 又圆心 1 , 0 , 1 OG G , 所 以圆G 的标 准方 程为 1 1 2 2 y x .
16、（2 ）设直线 D B 1 的方程为 3 3 3 k kx y , 与直线 2 2 B A 的方程 3 3 3 x y 联立, 解得 3 3 3 3 3 , 3 3 3 6 k k y k x ,即点 3 3 3 3 3 , 3 3 3 6 k k k E 联立 1 3 9 3 2 2 y x kx y ,消去y 并整 理得, 解得点 1 3 3 3 3 , 1 3 3 6 2 2 2 k k k k D 所以 2 1 3 2 1 3 1 1 1 3 1 3 1 1 3 3 3 3 3 3 6 1 3 3 6 2 2 2 1 1 k k k k k k k k k k x x EB DB E
17、D2 1 2 2 2 2 1 1 ,当且 仅当 3 3 6 k 时,取“=” ，所 以 1 1 EB DB 的最 大值 为 2 1 2 . 存在 设圆心 n m M , ，点 y x N , 是圆 0 : 2 2 2 r r n y m x M 上的任 意 一点 ， 其 中点 n m M , 满足 1 3 9 2 2 n m ，则 * 2 2 2 2 2 2 2 r n m ny mx y x ， 又 2 2 2 2 2 1 1 , 1 y x NT y x NF ， 由 2 NT NF 得 0 1 6 2 2 x y x ， 代入 * 得 0 1 2 3 2 2 2 2 r n m ny x
18、 m ， ， 对 圆 M 上任意一点 y x N , 恒成立，所以 1 0 0 3 2 2 2 n m r n m ，解得 10 0 3 2 r n m ，经检验 0 , 3 n m 满足 1 3 9 2 2 n m ，所以存在圆 10 3 : 2 2 y x M 满足题 设条 件. 20（ 1 ）减 区间 是 2 ln , ，增区 间是 , 2 ln ；（ 2） 证明 见解 析； （3）证 明见 解析. （1）由 1 ) ( ax e x f x 得 a e x f x ) ( . 又 1 1 ) 0 ( a f ，所 以 2 a .所以 1 2 ) ( x e x f x ， 2 ) (
19、x e x f . 由 0 2 ) ( x e x f 得 2 ln x . 所以函 数 ) (x f 在区间 2 ln , 上单 调递 减，在 区间 , 2 ln 上单 调递 增. （2） 由（1 ）知 . 4 ln 1 1 2 ln 2 ) 2 (ln ) ( 2 ln min e f x f . 所以 4 ln 1 ) ( x f ，即 0 4 ln 2 2 , 4 ln 1 1 2 x e x e x x . 令 1 ) ( 2 x e x g x ，则 0 2 ) ( x e x g x . 所以 ) (x g 在 , 0 上 单 调 递 增 ， 所 以 当 0 x 时， 0 ) 0
20、 ( 1 ) ( 2 g x e x g x ，即 1 2 x e x . （3） 首先 证明 ：当 0 x 时， 恒 有 3 3 1 x e x . 证明如 下： 令 3 3 1 ) ( x e x h x ，则 2 ) ( x e x h x . 由（2 ）知 ，当 0 x 时， 2 x e x ,所以 0 ) ( x h . 所以 ) (x h 在 , 0 上单 调递 增. 所以 0 1 ) 0 ( ) ( h x h .所以 3 3 1 x e x .所以 3 3 1 ln x x ，即 x x ln 3 3 ln . 依次取 n n x 1 , , 2 3 , 1 2 ，代 入上 式
21、， 则 ; 1 2 ln 3 3 ln 1 2 ; 2 3 ln 3 3 ln 2 3 . n n n n 1 ln 3 3 ln 1 以上各 式相 加， 有 n n n n n 1 2 3 1 2 ln 3 3 ln 1 2 3 1 2 . 所以 1 ln 3 3 ln 1 3 1 2 1 1 n n n n n 所以 n n n n n 3 ln 1 ln 3 1 3 1 2 1 1 ，即 n e n n n 3 1 ln 1 3 1 2 1 1 3 . 21（ 1 ） 2 6 cos 5 0 ；（ 2）2. （1）圆C 的直角 坐标 方程 为 22 ( 3) 4 xy 2 2 2 , c
22、os , sin x y x y ， 圆C 的极坐 标方 程为 2 6 cos 5 0 （2） 直 线l 的极坐 标方 程 为 2 sin( ) 1 4 ， sin cos 1 ， 直线l 的直 角坐 标方 程为 10 xy 设直线l 上点P ，切 点为A ，圆 心 (3,0) C ， 则有 2 2 2 2 4 PA PC AC PC ， 当PC 最小时 ，有PA 最小 31 22 2 PC ， 2 4 8 4 2 PA PC ， 切线 长的 最小 值为2 22（ 1 ） 2 3 2 x x x 或 ；（ 2） 2 a . （1）当 1 a 时，不 等式 ) ( ) ( x g x f ，即
23、1 2 1 x x ， 从而 1 2 1 1 x x x ，即 1 x ， 或 1 2 1 0 1 x x x ，即 3 2 1 x ，或 1 2 1 0 x x x ，即 2 x 从而不 等式 ) ( ) ( x g x f 的解 集为 2 3 2 x x x 或 （2） 存在 R x 0 ，使 得 0 0 2 1 x g x f ，即存 在 R x 0 ，使得 2 1 0 0 a x x ， 即存在 R x 0 ，使 得 0 0 1 2 x x a 设 0 , 1 0 1 , 1 2 1 , 1 1 ) ( x x x x x x x h ，则 ) (x h 的最 大值 为1 ，因 而 1 2 a ，即 2 a .
