1、四川商业高等专科学校学报。娣25期贼)RN趟，0IF SIam硷N 00A心皿之CIAIIIjE(正2001年9月摘要在高次多项式的因式分解中，首先给出了一个有理数是整系数多项式的根的必要条件，然后得出判断该有理擞是多项式的根的方法，最后举例说明了利用该办法有目的地对多项式拆项与添项，达到因式分解的目的。关键词整系数多项式因式分解有理根因子整除中图分类号：01221 文献标识码：C 文章编号：10085335(2001)03003402学生学习高次多项式的因式分解这部分内容时涉及到折项与添项，由于不知道多项式有哪些因子，因此做题很盲目，不知道该如何下手。下面就来讨论这个问题。首先声明本文讨论的
2、是整系数多项式在有理数范围内的因式分解问题。定理【1j设f(x)=ao妒+al妒。+an是一个整系数多项式，如果有理数旦是f(x)的一个根(其中u，v是互质的整数)，那么(1)v整除f(x)的首项系数a0，而u整除f(x)的常数项an；(2)f(x)=(x一u，)q(x)其中q(x)是整系数多项式。该定理说明了如果多项式f(x)的首项系数ao的因数是Vl，v2，vn，而常数项an的因数是11。，u2，um，那么要求它的有理根，只需对有理数旦(i=1，2，In；j=1，2，Vj，n)进行检验。在定理(2)中令x=1或x=一l，不难得到下面的推论。推论1设f(x)=a0妒+al妒-1+an是一个整
3、系数多项式，如果它的奇数次项系数之和等于偶数次项系数之和，则它必含有因子x+1；如果它的奇数次项系数之和等于偶数次项系数之和的相反数，则它必含有因子X一1。推论2设f(x)=aox“+81X”1十+an是一个整系数多项式，若a是f(x)的有理根，则答芝，普都是整数。其实推论2也可推广为：设f(x)=a()p+a】p一1+an是一个整系数多项式，若a是f(x)的有理根，m是整数，则!墨上， mQ*收稿日期：200104-23作者筒介：万会芳，(1966一)，四川商专电子商务系讲师，数学硕士。34万方数据垃i型都是整数。IIl 1(I前面这些方法并不能确定旺就是多项式的根，要确定a是多项式的根还需
4、使用综合除法。此外，还附加一个结论：如果整系数多项式的系数正负相间，则多项式无负根。我们用反证法就可以证明此结论：如果该多项式有负根a，则f(a)0，与Q是多项式的根矛盾，因此该结论成立。将上面这些方法综合考虑，就可以有目的地将多项式进行拆项与添项，从而使得因式分解变得容易了。例将下列多项式因式分解(1)2x33聋一6x一1(2)x36f+15x一14(3)25x315聋一23x+5解(1)由于该多项式的奇数次项系数之和等于偶数次项系数之和，因此该多项式必含有因子X+1。于是将该多项式经过适当的拆项与添项得：2x33x26x一1=(2f+2聋)一(5#+5x)一(x+1)=2聋(x+1)一5x
5、(x+1)一(x+1)=(x+1)(2x25x一1)(2)该多项式的首项系数的因数是1，常数项的因数是1，2，7，14，所以可能的有理根是1，2，7，14，但由于它的系数正负相间，因此它只可能有正根1，2，7，14，又因为f(1)=一4，f(一1)=一36，所以1不是它的根，可以计算出 二旦17l一14不是整数，所以7，14不是它的根。但二鱼-36121+2都是整数，所以2可能是它的根，使用综合除法：2I 1 6 15142 二墨 里垒14 7 0所以2是它的一个根。于是将该多项式经过适当的拆项与添项得：一6#+15x一14=(x32f)一(4f一8x)+(7x一14)=聋(x一2)一4x(x
6、2)+7(x一2)=(X一2)(x24x+7)(3)该多项式的首项系数的因数是1，+25，常数项的因数是1，5，所以可能的有理根是1，5，去，吾，由于f(1)=一8，(一1)=一12，所以1，一1不是该多项式的根，可以计算出 二旦1+5-一去1+去1+不是整数，所以一5，丢，一不是它的根。但二旦二丝二丝_二量一151+51+i11一i1都是整数，所以5，专可能是它的根。使用综合除法：5 125 15 23 5一!箜量5Q 2鲤25 110 527 2640-i2515 23 5一 量 二至二三2510 25 01所以5不是它的根，而是它的根。于是将该多项式进行适当的拆项与添项得：25p一15#一23x+5=(25x35#)一(10f一2x)一(25x一5)=5x2(5x一1)一2x(5x一1)一5(5x一1)=(5x一1)(5x22x一5)参考文献1北大数学系几何与代数教研室代数小组编高等代数高等教育出版社，2000年第二版责任编辑：谢跃美35万方数据关于高次多项式因式分解的方法作者： 万会芳作者单位： 四川商专电子商务系刊名： 四川商业高等专科学校学报英文刊名： SICHUAN COMMERCIAL COLLEGE JOURNAL年，卷(期)： 2001,9(3)参考文献(1条)1.北大数学系几何与代数教研室代数小组 高等代数 2000本文链接：http:/
