2011年全国考研数学三真题.doc

1、02011 年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学三试题一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 已知当 时， 与 是等价无穷小，则 ( )0x3sinfxxkc(A) k=1, c =4 (B ) k=1,c = 4 (C) k=3,c =4 (D) k=3,c = 4(2) 已知函数 在 x=0 处可导，且 =0，则 = ( )f 0f230limxffx(A) 2 (B) (C) (D) 0.0f0f f(3) 设 是数列，则下列命题正确的是 ( ) nu(A)若 收敛，则

2、收敛 1n21(nu(B) 若 收敛，则 收敛21()nu1n(C) 若 收敛，则 收敛 1n21()nu(D) 若 收敛，则 收敛21()nu1n(4) 设 ， ， ，则 的大小40lsiIxd40lcotJxd40lncosKxd,IJK关系是( ) (A) (B) (C) (D) IJKIKJJIJI(5) 设 为 3 阶矩阵，将 的第二列加到第一列得矩阵 ，再交换 的第AAB1二行与第三行得单位矩阵，记 ， ，则 = ( ) 10P210PA(A) (B) (C) (D) 12P1221 12P(6) 设 为 矩阵， 是非齐次线性方程组 的 个线性无关A4313,Ax3的解， 为任意常

3、数，则 的通解为( ) 12,kAx(A) (B) 31()2312()k(C) (D) 22231()kk 231()k(7) 设 , 为两个分布函数，其相应的概率密度 与 是连续1()Fx fx2(f函数，则必为概率密度的是 ( ) (A) (B) 1fx2( 2()fx1F(C) (D) +)F12()fx1(8) 设总体 X 服从参数为 的泊松分布， 为来自该(0)1,2)nX总体的简单随机样本，则对于统计量 和 ，有 ( ) 1niiT12iniTX(A) , (B) , (D) , TT二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 设

4、 ，则 .0lim13xttfxf(10) 设函数 ，则 .yz,dz2(11) 曲线 在点 处的切线方程为 .tan4yxe0,(12) 曲线 ，直线 及 轴所围成的平面图形绕 轴旋转所成的21y2x x旋转体的体积为 .(13) 设二次型 的秩为 1， 中各行元素之和为 3，则123,TfxxAA在正交变换 下的标准形为 .fQy(14) 设二维随机变量 服从正态分布 ，则 = .,XY2,;0N2EXY三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分 10 分)求极限 012sin1limlxx(16)

5、 (本题满分 10 分)x2y1021y3已知函数 具有连续的二阶偏导数， 是 的极值，,fuv 1,2f,fuv.求(,)zfxyf21,zxy(17) (本题满分 10 分)求不定积分 arcsinlxd(18) (本题满分 10 分)4证明方程 恰有两个实根.44arctn30x(19)(本题满分 10 分)设函数 在区间 具有连续导数， ，且满足(fx0,1(0)1f, ，求 的()t tDDfxyddy(,),(1)txytxt()fx表达式.5(20) (本题满分 11 分)设向量组 ， ， 不能由向量组1,0T20,1T31,5T, , 线性表出.1T234a(I)求 的值 ；a

6、(II)将 ， ， 用 ， ， 线性表出.1231236(21) (本题满分 11 分)为 3 阶实对称矩阵， 的秩为 2，且AA1100A(I) 求 的所有特征值与特征向量;(II) 求矩阵 .A(22)(本题满分 11 分)设随机变量 与 的概率分布分别为XYX 01P 1/32/3Y 101P /31/3/3且 .2()1X(I) 求二维随机变量 的概率分布；(,)XY7(II) 求 的概率分布；ZXY(III) 求 与 的相关系数 .XY8(23)(本题满分 11 分)设二维随机变量 服从区域 上的均匀分布，其中 是由(,XYGG与 所围成的三角形区域 .0,2xy0y(I) 求 的概

7、率密度 ；()Xfx(II) 求条件概率密度 .|Yy92011 年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学三试题一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 答案： (C)解：本题涉及到的主要知识点：当 时，0xsinx:在本题中， 03silmkxc03sincos2sinlkxxx0ilkxcx2103coslimkx x22103ososlikx 22110044inlilkkxxcc，34lim4,3kxcc故选择(C).(2) 答案：(B)解：本题涉及到的主要知识点：导数的定义

8、 000()(lim()xffxf:在本题中， 232230 0 20li lix xfffxffxf30lim0x ffff fff 10故应选(B)(3)答案： (A)解：本题涉及到的主要知识点：级数的基本性质 若级数 收敛，则不改变其项的次序任意加括号，并1nu把每个括号内各项的和数作为一项，这样所得到的新级数仍收敛，而且其和不变.在本题中，由于级数 是级数 经过加括号所构成的，由收敛21()nu1nu级数的性质：当 收敛时， 也收敛，故（A）正确.1n21()n(4) 答案：(B)解：本题涉及到的主要知识点：如果在区间 上， ，则,ab()fxg()()bafxdg在本题中，如图所示：

9、因为 ，所以04x0sinco1txx又因 在 是单调递增的函数，所以ln(,)sicosltxx(,)444000lnilncslncotddxd即 .选（B ）.IKJ(5) 答案：(D)解：本题涉及到的主要知识点：/411设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以AmnAA相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵 .在本题中，由于将 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 ，故AB10,AB即 11,APB故由于交换 的第 2 行和第 3 行得单位矩阵，故10BE即 故 因此， 故选(D)2,PBE12,P1122,AP(6) 答案

10、：(C)解：本题涉及到的主要知识点：（1）如果 ， 是 的两个解，则 是 的解；12Axb120Ax（2）如 元线性方程组 有解，设 是相应齐次方程组 的n ,t 0Ax基础解系， 是 的某个已知解，则 是 的通0x120tkk b解（或全部解） ，其中 为任意常数 .12,tk在本题中，因为 是 的 3 个线性无关的解，那么 ，3,Ax21是 的 2 个线性无关的解.从而 ，即310Ax()2nrA3()()rAr显然 ，因此()r()1r由 ，知（A） （B）均不正确.n又 ，故 是方程组 的解.所以应选23231A23()Ax（C ） .(7) 答案：(D)12解：本题涉及到的主要知识点

11、：连续型随机变量的概率密度 的性质：()fx()1fxd在本题中，由于 与 均为连续函数，故它们的分布函数 与1()fx2 1()Fx也连续.根据概率密度的性质，应有 非负，且 .在四个2()Fx ()fxfd选项中，只有（D）选项满足 121()()fxfxFd 2112()()xdFxdF22()F 故选（D）.(8) 答案：(D)解：本题涉及到的主要知识点：（1）泊松分布 数学期望 ，方差()XP:EXDX（2） ， ， ， （()EcEY2()c()YXD与 相互独立）XY在本题中，由于 独立同分布，且 ， ，12,nX 0iiEXD1,2in从而， 111()()nni ii iET

12、E121()()n ninini iXXE1()()inEn1E故 12T又 ，112(1)niiDDXn2 221()()niniT，1()DTn13故选（D）.二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9)答案： 31xe解：本题涉及到的主要知识点：重要极限公式 10lim()xxe在本题中， 3100li13lixtxtt tfx 3xe所以有 .xfe(10)答案： 12lndy解：用对数求导法.两边取对数得，lnl(1)xzy故 ，l()xzxy21ln(1)zxxyy令 ， ，得1， ，(1,)2lnzx(1,)2ln1)zy从而 (,

13、)lddx(11)答案： 2y解：方程变形为 ，方程两边对 求导得arctn()4yxex，21ye在点 处 ，从而得到曲线在点 处的切线方程为 .(0,)(0,) 2yx14(12) 答案： 43解：本题涉及到的主要知识点：设有连续曲线 ，则曲线()yfx)ab与直线 ， 及 轴围成的平面图形()yfx绕 轴旋转一周产生的旋转体的体积 2()bxaVfdx在本题中， 222311 14().Vydxdxx(13) 答案： 213解：本题涉及到的主要知识点：任给二次型 ，总有正交变换 ，使 化为标准形,1()nijijjiifaxxPyf，其中 是 的矩阵 的特征值.221nfyy 12,n

14、f()ijAa在本题中， 的各行元素之和为 3，即A1213121333, 13aa所以 是 的一个特征值.A再由二次型 的秩为 1 是 的 2 重特征值.Tx0A因此，正交变换下标准形为： .213y(14)答案： 2()解：本题涉及到的主要知识点：（1）如果随机变量 和 的相关系数 ，则称 与 不相关.XY0XYY（2）若随机变量 与 的联合分布是二维正态分布，则 与 独立的充要Xx2y1021yx15条件是 与 不相关.XY（3）如果随机变量 与 相互独立，则有Y()EXY在本题中，由于 服从正态分布 ，说明 ， 独立同分, 2,;0NXY布，故 与 也独立.由期望的性质有 ，又 ，X2

15、Y 2()E，所以2 2()ED22()EXY三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分 10 分)解：本题涉及到的主要知识点：当 时，0xln(1)x:在本题中， 02si1limlx20sin1limxx0 0 02cos1cossicossininlili l221nx x x x0 0ssi cs11ilmlim.2ix xx(16) (本题满分 10 分)解：本题涉及到的主要知识点：极值存在的必要条件 设 在点 具有偏导数，且在点(,)zfxy0(,)xy处有极值，则必有 ， .0(,)xy0

16、(,)xfy0y在本题中， (,zfy121(,),()(,)zfxyxfyfx16211221(,)(,)(,)zfxyffxyfxyf2122212, ,(,),ffffffyfxfxy 1,2f为 的极值uv12,10ff21212(,),(,)(,)zfffxy(17) (本题满分 10 分)解：本题涉及到的主要知识点：（1） ， ；()xt 1()()()()fxdftdtGCx（2） ；udvu（3） .()()()fxgfxgx在本题中，令 , ,t2tdtarcsinlx2arcsinltd2arcsinltdt2222rsi l1t tttdt2()arcinl4tttt 2

17、2arcsinl14ttttC，其中 是任意常数.2si2ln1xxxC(18) (本题满分 10 分)解：本题涉及到的主要知识点：（1）零点定理 设函数 在闭区间 上连续，且 与 异号（即()fx,ab()fafb） ，那么在开区间 内至少有一点 ，使()0fab, 0（2）函数单调性的判定法 设函数 在 上连续，在 内可导.()yfx,(,)17如果在 内 ，那么函数 在 上单调增加；(,)ab()0fx()yfx,ab如果在 内 ，那么函数 在 上单调减少.在本题中，令 ，4()4arctn3fxx 24()1fx当 时， ， 单调递减；30()f当 时， ， 单调递增.x()fxx.4

18、()4arctn3()30f 当 时， 单调递减, , ；3x(fxx()fx当 时， 单调递增, ,) 0是函数 在 上唯一的零点.3x(fx,3又因为 48()4arctn23f 且 limlit .3xxfx由零点定理可知， ，使 ,0,0fx方程 恰有两个实根.44arctn3x(19)(本题满分 10 分)解：本题涉及到的主要知识点：一阶线性微分方程 的通解 .()dyPxQ()()PxdPxdyeQeC在本题中，因为 ，令 ，则0()t ttxDfdf yu0()()()xtxfyfuftx0 0()t t tDddffdx .20 1()()()tttffxdfxytf两边对 求

19、导，得t18,解齐次方程得2()()0ftft212()()dtCfte由 ，得 . 所以函数表达式为 .()1f4C2401)()fxx(20) (本题满分 11 分)解：本题涉及到的主要知识点：向量组 能由向量组 线性表示的充分必要条件是12,lb 12,ma12()(, )mmlrarab (I)因为 ，所以 线性无关.1230, 15123,那么 不能由 线性表示 线性相关，即123,123,123,，123,4050aa所以 5a(II)如果方程组 都有解，即 可由123(1,23)jxx123,线性表示.对 作初等行变换，有123,12,（ ）=123123,（ ）04530412

20、10201021540故 ， ，321231235(21) (本题满分 11 分)解：本题涉及到的主要知识点：（1） 为矩阵 A 的特征值， 为对应的特征向量(0)A19（2）对于实对称矩阵，不同特征值的特征向量互相正交.（I）因 知 ，所以 是 的特征值.()2rA00A又 ， ，1101A所以按定义 是 的特征值， 是 属于 的特征向量；11(,0)TA1是 的特征值， 是 属于 的特征向量.A2(,)T设 是 属于特征值 的特征向量，作为实对称矩阵，不同3123(,)Tx特征值对应的特征向量相互正交，因此解出13320,Tx3(0,1)T故矩阵 的特征值为 ；特征向量依次为 ，A,123

21、(,0)(,1),(0,)TTTkk其中均是不为 0 的任意常数.123,k(II)由 ，有12312(,)(,0)A.1112123 0(,0)(,) 0 (22)(本题满分 11 分)解：本题涉及到的主要知识点：（1）协方差 cov,XYEXEY（2）相关系数 ,()D(I)设 的概率分布为(,)XYYX -1 0 1200 1p12p13p1/31 2 22/31/3 1/3 1/3根据已知条件 ，即21PXY，可知 ，从而0,1PXYPXY12231p， ，即 的概率分布为132p1223p()(II) 的所有可能取值为 -1，0，1 .ZXY1,3PZXY011PZ的概率分布为ZXY

22、(3) ， ， ，故 ，从而23EX0YEX(,)0CovXYEXY.0XY(23)(本题满分 11 分)解：本题涉及到的主要知识点：（1） 、 是连续型随机变量，边缘概率密度为 ，XY ()(,)Xfxfyd；()(,)YfyfxydZ -1 0 1p 1/3 1/3 1/3X Y -1 0 101/30101/3 0 1/321（2）在 的条件下 的条件概率密度 ；YyX(,)()XYYfxyf（3）设 是平面上的有界区域，其面积为 .若二维随机变量 具有概GA(,)XY率密度则称 在 上服从均匀分布 .1,(),(,)0xyfxyA其 他 (,)XYG(I) 的联合密度为(,)XY1,(),(,)0.xyfxy当 时， ；01x0,xXffd当 时， ；22()()1xyy当 或 时， .xXf所以 , 0,()212, Xxxf其 它 .(II) | ()()XYYfxyf当 时， ；当 或 时， . 01y2(1yfd0y1()0Yfy所以 | , ,()0XYxfx其 他 .