1、精选高中模拟试卷第 1 页，共 19 页金东区外国语学校 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学班级_ 姓名_ 分数_一、选择题1 有下列说法：在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适相关指数 R2来刻画回归的效果，R 2值越小，说明模型的拟合效果越好比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好其中正确命题的个数是（ ）A0 B1 C2 D32 如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，AB=2， BAD=60（）求证：BD平面 PAC；（）若 PA=AB，求 PB 与 AC
2、 所成角的余弦值；（）当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时，求 PA 的长【考点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离3 圆 （ ）与双曲线 的渐近线相切，则 的值为（ ）22()xyr-+=0213yx-=rA B C D3【命题意图】本题考查圆的一般方程、直线和圆的位置关系、双曲线的标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查基本运算能力4 如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA， OB 为直径作两个半圆在扇形 OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）精选高中模拟试卷第 2 页，共 19 页A1 B C D5 把函数 y=
3、sin（2x ）的图象向右平移 个单位得到的函数解析式为（ ）Ay=sin（2x ） By=sin（2x+ ） Cy=cos2x Dy= sin2x6 若函数 2sin2fxx的图象关于直线 12x对称，且当1273x， ， 1时， 12fxf，则 f等于（ ）A B 2 C. 62 D 247 设函数 f（ x）是奇函数 f（x）（xR ）的导函数，f（2）=0，当 x0 时，xf（x） f（x）0，则使得f（x）0 成立的 x 的取值范围是（ ）A（，2）（0，2） B（ ，2）（2，+ ） C（ 2，0） （2，+） D（2，0）（0，2）8 已知全集 ， ， ，则有（ ）U|39xA|
4、ByA B C D()RA()RAB9 复数 z= （其中 i 是虚数单位），则 z 的共轭复数 =（ ）A i B i C + i D + i10已知命题 p：对任意 0x， ， 48loglx，命题：存在 x，使得 tan13x，则下列命题为真命题的是（ ）A q B pq C pq D pq11若函数 y=f（x）是 y=3x的反函数，则 f（3）的值是（ ）A0 B1 C D3精选高中模拟试卷第 3 页，共 19 页12若 f（x）为定义在区间 G 上的任意两点 x1，x 2和任意实数 （0，1），总有 f（x 1+（1 ）x 2）f（x 1）+ （1）f（x 2），则称这个函数为“上
5、进”函数，下列函数是 “上进”函数的个数是（ ）f（x）= ，f（x）= ，f（x）= ， f（x）= A4 B3 C2 D1二、填空题13若函数 为奇函数，则 _6e()()32xxbfaRab【命题意图】本题考查函数的奇偶性，意在考查方程思想与计算能力14如图，在棱长为的正方体 中，点 分别是棱 的中点, 是侧1DABC,EF1BCP面 内一点，若 平行于平面 ,则线段 长度的取值范围是_.1BC1P1AP15已知平面向量 ， 的夹角为 ， ，向量 ， 的夹角为 ， ，则ab36bacab2323ca与 的夹角为_， 的最大值为 acc【命题意图】本题考查平面向量数量积综合运用等基础知识，
6、意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力.16【泰州中学 2018 届高三 10 月月考】设二次函数 （ 为常数）的导函数为2fxc,a，对任意 ，不等式 恒成立，则 的最大值为_fxxRfxf2ba17函数 f（x）= 的定义域是 18若等比数列a n的前 n 项和为 Sn，且 ，则 = 三、解答题19某民营企业生产 A，B 两种产品，根据市场调查和预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图 2（注：利润与投资单位是万元）（1）分别将 A，B 两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式（2）该企业已筹集到 10 万元资金，并
7、全部投入 A，B 两种产品的生产，问：怎样分配这 10 万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元（精确到 1 万元）精选高中模拟试卷第 4 页，共 19 页20已知在等比数列a n中， a1=1，且 a2是 a1和 a31 的等差中项（1）求数列a n的通项公式；（2）若数列b n满足 b1+2b2+3b3+nbn=an（nN *），求 bn的通项公式 bn21如图，四棱锥 中， ，PABC,/,3,PABC4DABCDM为线段 上一点， 为 的中点D2,MNP精选高中模拟试卷第 5 页，共 19 页（1）证明： 平面 ；/MNPAB（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；22设
8、圆 C 满足三个条件过原点；圆心在 y=x 上；截 y 轴所得的弦长为 4，求圆 C 的方程23（本小题满分 16 分）给出定义在 ,0上的两个函数2()lnfxax, ()gax. （1）若 ()fx在 1处取最值求的值；（2）若函数2()hfxg在区间 0,1上单调递减，求实数的取值范围；（3）试确定函数 ()6mx的零点个数，并说明理由24已知函数 f（x）=alnxx（ a0）（）求函数 f（x）的最大值；（）若 x（0，a ），证明：f （a+x）f（a x）；（）若 ，（0，+），f（ ）=f（），且 ，证明：+2精选高中模拟试卷第 6 页，共 19 页精选高中模拟试卷第 7 页，
9、共 19 页金东区外国语学校 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1 【答案】C【解析】解：在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，正确相关指数 R2来刻画回归的效果，R 2值越大，说明模型的拟合效果越好，因此不正确比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，正确综上可知：其中正确命题的是故选：C【点评】本题考查了“残差” 的意义、相关指数的意义，考查了理解能力和推理能力，属于中档题2 【答案】【解析】解：（I）证明：因为四边形 ABCD 是菱形，所以 ACBD，又因为 PA平面
10、ABCD，所以 PABD，PAAC=A所以 BD平面 PAC（II）设 ACBD=O，因为BAD=60，PA=AB=2 ，所以 BO=1，AO=OC= ，以 O 为坐标原点，分别以 OB，OC 为 x 轴、y 轴，以过 O 且垂直于平面 ABCD 的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，则P（0， ，2），A（0， ，0），B（1，0，0），C（ 0， ，0）所以 =（1， ， 2），设 PB 与 AC 所成的角为 ，则 cos=|（III）由（ II）知 ，设 ，则设平面 PBC 的法向量 =（x，y，z）则 =0，所以 令 ，精选高中模拟试卷第 8 页，共 19 页平面 PBC 的
11、法向量所以 ，同理平面 PDC 的法向量 ，因为平面 PBC平面 PDC，所以 =0，即6+ =0，解得 t= ，所以 PA= 【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力3 【答案】C4 【答案】A【解析】解：设扇形的半径为 r，则扇形 OAB 的面积为 ，连接 OC，把下面的阴影部分平均分成了 2 部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴影部分的面积为： ，此点取自阴影部分的概率是 故选 A5 【答案】D【解析】解：把函
12、数 y=sin（2x ）的图象向右平移 个单位，精选高中模拟试卷第 9 页，共 19 页所得到的图象的函数解析式为：y=sin2（x ） =sin（2x ）=sin2x 故选 D【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象平移，注意平移的原则：左右平移 x 加与减，上下平移，y 的另一侧加与减6 【答案】C【解析】考点：函数的图象与性质.【方法点晴】本题主要考查函数的图象与性质，涉及数形结合思想、函数与方程思想、转化化归思想，考查逻辑推理能力、化归能力和计算能力，综合程度高，属于较难题型首先利用数形结合思想和转化化归思想可得 21kZ，解得 3，从而 2sin3fxx，再次利用数形结合思想和转化化
13、归思想可得 122xfxf， ， ， 关于直线 1对称，可得 126，从而12 6sin3f 7 【答案】A【解析】解：设 g（x）= ，则 g（x）的导数为：g（x）= ，当 x0 时总有 xf（x） f（ x）0 成立，即当 x0 时，g（x）0，当 x0 时，函数 g（x）为减函数，精选高中模拟试卷第 10 页，共 19 页又 g（ x）= = = =g（x），函数 g（x）为定义域上的偶函数，x 0 时，函数 g（x）是增函数，又 g（ 2）= =0=g（ 2），x 0 时，由 f（x）0，得：g（x）g（2），解得：0x2，x0 时，由 f（x）0，得： g（x）g（2），解得：x2
14、，f（ x） 0 成立的 x 的取值范围是：（，2）（0，2）故选：A8 【答案】A 【解析】解析：本题考查集合的关系与运算， ， ， ， ，选3(log2,A(0,2B3log0ABA9 【答案】C【解析】解：z= = ， = 故选：C【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题10【答案】D【解析】考点：命题的真假.11【答案】B【解析】解：指数函数的反函数是对数函数，函数 y=3x的反函数为 y=f（x）=log 3x，所以 f（9）=log 33=1故选：B精选高中模拟试卷第 11 页，共 19 页【点评】本题给出 f（x）是函数 y=3x（xR ）的反函数，求 f（3）的值，着
15、重考查了反函数的定义及其性质，属于基础题12【答案】C【解析】解：由区间 G 上的任意两点 x1，x 2和任意实数 （0，1），总有 f（ x1+（1）x 2） f（x 1）+（1）f（x 2），等价为对任意 xG，有 f（x ）0 成立（f（x）是函数 f（x）导函数的导函数），f（x）= 的导数 f（x） = ，f（x）= ，故在（ 2，3）上大于 0 恒成立，故为“上进” 函数；f（x）= 的导数 f（x） = ，f（x）= 0 恒成立，故不为“上进” 函数；f（x）= 的导数 f（x）= ，f （x）=0 恒成立，故不为“上进 ”函数；f（x）= 的导数 f（x ）= ，f（x）= ，
16、当 x（2，3）时，f （x）0 恒成立故为“上进”函数故选 C【点评】本题考查新定义的理解和运用，同时考查导数的运用，以及不等式恒成立问题，属于中档题二、填空题13【答案】2016【解析】因为函数 为奇函数且 ，则由 ，得 ，整理，得 ()fxxR(0)f063e2ba2016ab14【答案】 32,54，【解析】精选高中模拟试卷第 12 页，共 19 页考点：点、线、面的距离问题.【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的距离问题，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定与性质，三角形的判定以及直角三角形的勾股定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时
17、考查了学生空间想象能力的训练，试题有一定的难度，属于中档试题.15【答案】 ， . 61823【解析】精选高中模拟试卷第 13 页，共 19 页16【答案】 2【解析】试题分析：根据题意易得： ，由 得： 在2fxabfxf20axbxcbR 上恒成立，等价于： ，可解得： ，则：0 aA24cac，令 ， ，22241cbcaa1,(0)tta24422tyt故 的最大值为 2c考点：1.函数与导数的运用;2. 恒成立问题;3. 基本不等式的运用17【答案】 x|x2 且 x3 精选高中模拟试卷第 14 页，共 19 页【解析】解：根据对数函数及分式有意义的条件可得解可得，x2 且 x3故答
18、案为：x|x2 且 x318【答案】 【解析】解：等比数列a n的前 n 项和为 Sn，且 ，S 4=5S2，又 S2，S 4S2，S 6S4成等比数列，（S 4S2） 2=S2（S 6S4），（5S 2S2） 2=S2（S 65S2），解得 S6=21S2， = = 故答案为： 【点评】本题考查等比数列的求和公式和等比数列的性质，用 S2表示 S4和 S6是解决问题的关键，属中档题三、解答题19【答案】 【解析】解：（1）投资为 x 万元，A 产品的利润为 f（x ）万元，B 产品的利润为 g（x）万元，由题设 f（x）=k 1x，g（x）=k 2 ，（k 1，k 20；x 0）由图知 f（
19、1）= ，k 1=又 g（4）= ，k 2=从而 f（x）= ，g（x）= （x0）（2）设 A 产品投入 x 万元，则 B 产品投入 10x 万元，设企业的利润为 y 万元y=f（x）+g（10 x）= ，（0x10），精选高中模拟试卷第 15 页，共 19 页令 ， （0t ）当 t= ，y max4，此时 x=3.75当 A 产品投入 3.75 万元， B 产品投入 6.25 万元时，企业获得最大利润约为 4 万元【点评】本题考查利用待定系数法求函数的解析式、考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题解题的关键是换元，利用二次函数的求最值的方法求解20【答案】 【解析】解：（1）设等比
20、数列a n的公比为 q，由 a2是 a1和 a31 的等差中项得：2a2=a1+a31， ，2q=q2，q0，q=2 ， ；（2）n=1 时，由 b1+2b2+3b3+nbn=an，得 b1=a1=1n2 时，由 b1+2b2+3b3+nbn=an b1+2b2+3b3+（n1）b n1=an1得： ， 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查了数列的递推式，解答的关键是想到错位相减，是基础题21【答案】（1）证明见解析；（2） .852【解析】精选高中模拟试卷第 16 页，共 19 页试题解析：（2）在三角形 中，由 ，得AMC22,3,cos3ACM，2cs5CN，则 ， 底面
21、平面 ，P,BDP平面 平面 ，且平面 平面 ，AABDPA 平面 ，则平面 平面 ，在平面 内，过 作 ，交 于 ，连结 ，则 为直线 与平面 所成角。FMFNFANPM精选高中模拟试卷第 17 页，共 19 页在 中，由 ，得 ， ，RtPAMPAF4585sin2ANF所以直线 与平面 所成角的正弦值为 1N82考点：立体几何证明垂直与平行22【答案】 【解析】解：根据题意画出图形，如图所示：当圆心 C1在第一象限时，过 C1作 C1D 垂直于 x 轴，C 1B 垂直于 y 轴，连接 AC1，由 C1在直线 y=x 上，得到 C1B=C1D，则四边形 OBC1D 为正方形，与 y 轴截取
22、的弦 OA=4，OB=C 1D=OD=C1B=2，即圆心 C1（2，2），在直角三角形 ABC1中，根据勾股定理得：AC 1=2 ，则圆 C1方程为：（x 2） 2+（ y2） 2=8；当圆心 C2在第三象限时，过 C2作 C2D 垂直于 x 轴，C 2B 垂直于 y 轴，连接 AC2，由 C2在直线 y=x 上，得到 C2B=C2D，则四边形 OBC2D为正方形，与 y 轴截取的弦OA=4，OB=C 2D，=OD=C2B=2，即圆心 C2（2，2），在直角三角形 ABC2中，根据勾股定理得： AC2=2 ，则圆 C1方程为：（x+2） 2+（y+2） 2=8，精选高中模拟试卷第 18 页，共
23、 19 页圆 C 的方程为：（x 2） 2+（y2） 2=8 或（x+2 ） 2+（y+2 ） 2=8【点评】本题考查了角平分线定理，垂径定理，正方形的性质及直角三角形的性质，做题时注意分两种情况，利用数形结合的思想，分别求出圆心坐标和半径，写出所有满足题意的圆的标准方程，是中档题23【答案】（1） 2a （2） a （3）两个零点【解析】试题分析：（1） 开区间的最值在极值点取得，因此 ()fx在 1处取极值，即 (1)0f ，解得 2a ，需验证（2） ()hx在区间 0,1上单调递减，转化为 0h 在区间 ,上恒成立，再利用变量分离转化为对应函数最值：24a的最大值，根据分式函数求最值方
24、法求得24xF最大值 2（3）先利用导数研究函数 m单调性：当 ,时，递减，当 ,1x时，递增；再考虑区间端点函数值的符号： 10m， 4)0e（， 4()0e，结合零点存在定理可得零点个数试题解析：（1） 2afx由已知， ()0f 即: 20a,解得： 2a 经检验 满足题意所以 4 分因为 0,1x，所以1,x，所以2min1x所以 ma2F，所以 a 10 分精选高中模拟试卷第 19 页，共 19 页（3）函数 ()6mxfgx有两个零点因为 2ln26mxx所以2121x12 分当 1,0x时， 0x，当 ,时， 0所以 min4， 14 分324-e)(+2)(=（），84241(
25、1)em（4170（故由零点存在定理可知：函数 x在 (,)存在一个零点，函数 x在4(,)存在一个零点，所以函数 (6mfgx有两个零点 16 分考点：函数极值与最值，利用导数研究函数零点，利用导数研究函数单调性【思路点睛】对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等24【答案】 【解析】解：（）令 ，所以 x=a易知，x（0，a ）时，f （x） 0，x （a，+）时，f（x）0故函数 f（x）在（0，a）上递增，在（a，+）递减故 f（x） max=f（a）=alnaa （）令 g（x）=f（ax）f（ a+x），即 g（x）=aln （a x）aln（a+x）+2x所以 ，当 x（0，a）时，g （x）0所以 g（x）g（0）=0，即 f（a+x）f（a x）（）依题意得：a ，从而 a（0，a）由（）知，f（2a ）=fa+（a ）fa （a ）=f （）=f（）又 2aa，a所以 2a，即 +2a【点评】本题考查了利用导数证明不等式的问题，一般是转化为函数的最值问题来解，注意导数的应用
