1、精选高中模拟试卷第 1 页，共 17 页凌海市外国语学校 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学班级_ 姓名_ 分数_一、选择题1 已知函数 f（x）= 是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是（ ）A3a0 B 3a2 Ca 2 Da02 已知圆 方程为 ，过点 与圆 相切的直线方程为（ ）y(1,)PCA B C Dxyx10xy20xy3 如图所示，在三棱锥 的六条棱所在的直线中，异面直线共有（ ）111AA2 对 B3 对 C4 对 D6 对4 设 f（x）在定义域内可导， y=f（x）的图象如图所示，则导函数 y=f（x）的图象可能是（ ）精选高中模拟试卷第 2 页，共
2、 17 页A B CD5 常用以下方法求函数 y=f（x） g（x） 的导数：先两边同取以 e 为底的对数（e2.71828，为自然对数的底数）得 lny=g（x）lnf（x），再两边同时求导，得 y=g（x）lnf（x）+g（x）lnf（x），即 y=f（x）g（x） g（x）lnf （x）+g（x）lnf（x） 运用此方法可以求函数 h（x）=x x（x0）的导函数据此可以判断下列各函数值中最小的是（ ）Ah（ ） Bh（ ） Ch（ ） Dh（ ）6 （2014 新课标 I）如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 OA，终边为射线 OP，过点
3、 P 做直线 OA 的垂线，垂足为 M，将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f（x），则 y=f（x）在0，的图象大致为（ ）A B CD精选高中模拟试卷第 3 页，共 17 页7 某大学数学系共有本科生 1000 人，其中一、二、三、四年级的人数比为 4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为 200 的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ）A80 B40 C60 D208 函数 f（x）=x 2x2，x5，5，在定义域内任取一点 x0，使 f（x 0）0 的概率是（ ）A B C D9 设函数 y= 的定义域为 M，集合 N=y|y=x2，xR，则 MN=
4、（ ）A BN C1，+） DM10如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数 y=x 的图象是（ ）A B C D11已知函数 f（x）=lnx+2x 6，则它的零点所在的区间为（ ）A（0，1） B（1，2） C（2，3） D（3，4）12i 是虚数单位，计算 i+i2+i3=（ ）A1 B1 C i Di二、填空题13如图是函数 y=f（x）的导函数 y=f（x）的图象，对此图象，有如下结论：在区间（2，1）内 f（x）是增函数；在区间（1，3）内 f（x）是减函数；在 x=2 时， f（x）取得极大值；在 x=3 时， f（x）取得极小值其中正确的是 精选高中模拟试
5、卷第 4 页，共 17 页14已知随机变量 N（2， 2），若 P（4）=0.4，则 P（0）= 15集合 A=x|1x3，B=x|x1 ，则 AB= 16在 中， ， ， 为 的中点， ，则 的长为_.ABC902BCM1sin3BAMC17直角坐标 P（ 1，1）的极坐标为（0，0） 18某辆汽车每次加油都把油箱加满，如表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）2015 年 5 月 1 日 12 350002015 年 5 月 15 日 48 35600注：“ 累计里程” 指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为 升
6、三、解答题19已知函数 （）若曲线 y=f（x）在点 P（1，f （1）处的切线与直线 y=x+2 垂直，求函数 y=f（x）的单调区间；（）若对于x（0，+）都有 f（x）2（a 1）成立，试求 a 的取值范围；（）记 g（x）=f（x）+x b（b R）当 a=1 时，函数 g（x）在区间e 1，e 上有两个零点，求实数 b 的取值范围精选高中模拟试卷第 5 页，共 17 页20如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA底面 ABCD，且 PA=AD，点 F 是棱 PD 的中点，点 E 为 CD 的中点（1）证明：EF平面 PAC；（2）证明：AF EF21求点 A（3
7、，2）关于直线 l：2x y1=0 的对称点 A的坐标22（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）(不等式选做题 )设 ，且 ，则 的最小值为（几何证明选做题）如图， 中， ，以 为直径的半圆分别交 于点 ，若 ,则精选高中模拟试卷第 6 页，共 17 页23已知数列a n的首项为 1，前 n 项和 Sn 满足 = +1（n2）（）求 Sn 与数列a n的通项公式；（）设 bn= （nN *），求使不等式 b1+b2+bn 成立的最小正整数 n24在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=BC=2，过 A1、C 1、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如
8、图所示的几何体 ABCDA1C1D1，且这个几何体的体积为 10（）求棱 AA1 的长；（）若 A1C1 的中点为 O1，求异面直线 BO1 与 A1D1 所成角的余弦值精选高中模拟试卷第 7 页，共 17 页精选高中模拟试卷第 8 页，共 17 页凌海市外国语学校 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1 【答案】B【解析】解：函数 是 R 上的增函数设 g（x）= x2ax5（x1），h（x）= （x1）由分段函数的性质可知，函数 g（x）=x 2ax5 在（，1单调递增，函数 h（x）= 在（1，+）单调递增，且 g（1） h（ 1）解可得，3a 2故
9、选 B2 【答案】A【解析】试题分析：圆心 ，设切线斜率为，则切线方程为 ，由(0,)2Cr1(),10ykxyk，所以切线方程为 ，故选 A.21, 1kdrk20x考点：直线与圆的位置关系3 【答案】B【解析】试题分析：三棱锥 中，则 与 、 与 、 与 都是异面直线，所以共有三对，故PABCPBCAPBC选 B考点：异面直线的判定4 【答案】D精选高中模拟试卷第 9 页，共 17 页【解析】解：根据函数与导数的关系：可知，当 f（x）0 时，函数 f（x）单调递增；当 f（x）0 时，函数 f（x）单调递减结合函数 y=f（x）的图象可知，当 x0 时，函数 f（x）单调递减，则 f（x
10、）0，排除选项 A，C当 x0 时，函数 f（x）先单调递增，则 f（x） 0，排除选项 B故选 D【点评】本题主要考查了利用函数与函数的导数的关系判断函数的图象，属于基础试题5 【答案】B【解析】解：（h（x）=x xxlnx+x（lnx ）=xx（lnx+1），令 h（x）0，解得：x ，令 h（x）0，解得：0x ，h（x）在（0， ）递减，在（ ，+）递增，h（ ）最小，故选：B【点评】本题考查函数的导数的应用，极值的求法，基本知识的考查6 【答案】 C【解析】解：在直角三角形 OMP 中，OP=1，POM=x ，则 OM=|cosx|，点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数
11、f（x）=OM|sinx|=|cosx|sinx|= |sin2x|，其周期为 T= ，最大值为 ，最小值为 0，故选 C【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用7 【答案】B【解析】解：要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为 200 的样本，三年级要抽取的学生是 200=40，故选：B精选高中模拟试卷第 10 页，共 17 页【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例，本题也可以先做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率，得到结果8 【答案】C【解析】解：f（x）0x 2x201x2，f（x 0
12、）01 x02，即 x01，2，在定义域内任取一点 x0，x 05，5，使 f（x 0）0 的概率 P= =故选 C【点评】本题考查了几何概型的意义和求法，将此类概率转化为长度、面积、体积等之比，是解决问题的关键9 【答案】B【解析】解：根据题意得：x+1 0，解得 x1，函数的定义域 M=x|x1；集合 N 中的函数 y=x20，集合 N=y|y0，则 MN=y|y0=N故选 B10【答案】D【解析】解：幂函数 y=x 为增函数，且增加的速度比价缓慢，只有符合故选：D【点评】本题考查了幂函数的图象与性质，属于基础题11【答案】C【解析】解：易知函数 f（x） =lnx+2x6，在定义域 R+
13、上单调递增因为当 x0 时， f（x） ；f （1）=40；f（2）=ln220；f（3）=ln30；f（4）=ln4+20精选高中模拟试卷第 11 页，共 17 页可见 f（2）f （3）0，故函数在（ 2，3）上有且只有一个零点故选 C12【答案】A【解析】解：由复数性质知：i 2=1故 i+i2+i3=i+（ 1）+（ i）=1故选 A【点评】本题考查复数幂的运算，是基础题二、填空题13【答案】 【解析】解：由 y=f（x）的图象可知，x（3， ），f（x）0，函数为减函数；所以，在区间（2，1）内 f（x）是增函数；不正确；在区间（1，3）内 f（x）是减函数；不正确；x=2 时，y=
14、f （ x）=0，且在 x=2 的两侧导数值先正后负，在 x=2 时， f（x）取得极大值；而，x=3 附近，导函数值为正，所以，在 x=3 时，f（x）取得极小值不正确故答案为【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题14【答案】 0.6 【解析】解：随机变量 服从正态分布 N（2， 2），曲线关于 x=2 对称，P（ 0）=P （4）=1 P（ 4）=0.6，故答案为：0.6【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题15【答案】 x| 1x1 精选高中模拟试卷第 12 页，共 17 页【解析】解：A=x| 1x3，B=x|x1 ，AB=
15、x|1x1 ，故答案为：x| 1x1【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础16【答案】 2【解析】考点：1、正弦定理及勾股定理；2 诱导公式及直角三角形的性质.【方法点睛】本题主要考查正弦定理及勾股定理、诱导公式及直角三角形的性质，属于难题，高考三角函数的考查主要以三角恒等变形，三角函数的图象和性质，利用正弦定理、余弦定理解三角形为主，难度中等，因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可， 对于三角函数与解三角形相结合的题目，要注意通过正余弦定理以及面积公式实现边角互化，求出相关的边和角的大小，有时也要考虑特殊三角形的特殊性质（如正三角形，直角三角形等）.17【答案】 精选高中模拟试卷第 13
16、 页，共 17 页【解析】解：= = ，tan = =1，且 0， = 点 P 的极坐标为 故答案为： 18【答案】 8 升【解析】解：由表格信息，得到该车加了 48 升的汽油，跑了 600 千米，所以该车每 100 千米平均耗油量486=8故答案是：8三、解答题19【答案】 【解析】解：（）直线 y=x+2 的斜率为 1，函数 f（x）的定义域为（0，+），因为 ，所以， ，所以，a=1所以， ， 由 f（x）0 解得 x2；由 f（x）0，解得 0x2所以 f（x）的单调增区间是（ 2，+ ），单调减区间是（0，2） （） ，由 f（x）0 解得 ； 由 f（x）0 解得 所以，f（x）在
17、区间 上单调递增，在区间 上单调递减所以，当 时，函数 f（x）取得最小值， 因为对于 x（0，+）都有 f（x）2（a1）成立，所以， 即可 则 由 解得 所以，a 的取值范围是 精选高中模拟试卷第 14 页，共 17 页（） 依题得 ，则 由 g（x）0 解得 x1； 由 g（x）0 解得 0x1所以函数 g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+）为增函数又因为函数 g（x）在区间e 1，e上有两个零点，所以 ，解得 所以，b 的取值范围是 【点评】本题考查导数与曲线上某点的切线斜率的关系，利用导数求函数的单调区间以及函数的最值20【答案】 【解析】（1）证明：如图，点 E，F 分
18、别为 CD，PD 的中点，EFPCPC平面 PAC，EF平面 PAC，EF平面 PAC（2）证明：PA平面 ABCD，CD 平面 ABCD，又 ABCD 是矩形，CD AD ，PA AD=A，CD平面 PADAF平面 PAD，AFCDPA=AD，点 F 是 PD 的中点，AFPD又 CDPD=D， AF 平面 PDCEF平面 PDC，AFEF 精选高中模拟试卷第 15 页，共 17 页【点评】本题考查了线面平行的判定，考查了由线面垂直得线线垂直，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题21【答案】 【解析】解：设点 A（3，2）关于直线 l：2x y1=0 的对称点 A的坐标为（m ，
19、n），则线段 AA 的中点 B（ ， ），由题意得 B 在直线 l：2x y1=0 上，故 2 1=0 再由线段 AA 和直线 l 垂直，斜率之积等于1 得 =1 ，解做成的方程组可得：m= ，n= ，故点 A的坐标为（ ， ）【点评】本题考查求一个点关于直线的对称点的坐标的方法，注意利用垂直及中点在轴上两个条件22【答案】【解析】AB23【答案】 【解析】解：（）因为 = +1（n2），所以 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，则 =1+（n1）1=n ，从而 Sn=n2当 n=1 时，a 1=S1=1，当 n1 时，a n=SnSn1=n2（n1） 2=2n1精选高中模拟试卷第 16 页
20、，共 17 页因为 a1=1 也符合上式，所以 an=2n1（）由（）知 bn= = = ，所以 b1+b2+bn= = ，由 ，解得 n12所以使不等式成立的最小正整数为 13【点评】本小题主要考查数列、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想24【答案】 【解析】解：（）设 AA1=h，由题设 = =10，即 ，解得 h=3故 A1A 的长为 3（）在长方体中，A 1D1BC，O 1BC 为异面直线 BO1 与 A1D1 所成的角（或其补角）在O 1BC 中，AB=BC=2，A 1A=3，AA 1=BC1= ， = ， ，则 cosO 1BC= = = 异面直线 BO1 与 A1D1 所成角的余弦值为 精选高中模拟试卷第 17 页，共 17 页【点评】本题主要考查了点，线和面间的距离计算解题的关键是利用了法向量的方法求点到面的距离
