1、基本不等式（第一课时）一、教学目标1通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；2进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；3结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想；4借助例 1 尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例 2 及其变式引导学生领会运用基本不等式 的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提2ba升解决问题的能力，体会方法与策略以上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态
2、度价值观的三维目标融入各个教学环节二、教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式 2ba的证明过程；难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式三、教学过程：1动手操作，几何引入如图是 2002 年在北京召开的第 24 届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？在正方形 中有 4 个全等的直角三角ABCD形设直角三角形两条直角边长为 ，ba,那么正方形的边长为 于是，
3、2ba4 个直角三角形的面积之和 ，S1正方形的面积 22baS由图可知 ，即 1a探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）假设两个正方形的面积分别为 和 （ ），考察两个直角三角形的面积与矩形的面ab积，你能发现一个不等式吗？通过学生动手操作，探索发现： 2ba2代数证明，得出结论根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：若 ，则 Rba, ab22若 ，则 , 学生探讨等号取到情况，教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论：（
4、1）若 ，则 ；（2）若 ，则Rba, ab2Rba, 2ba请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明证法一（作差法）： 0)(22baba，当 时取等号（在该过程中，可发现 的取值可以是全体实数）ba,证法二（分析法）：由于 ，于是R,要证明 ，ab2只要证明 ， ab即证 ，02ab即 ，该式显然成立，所以 ，当 时取等号)(a ab2得出结论，展示课题内容基本不等式:若 ，则 （当且仅当 时，等号成立）Rba, 2baba若 ，则 （当且仅当 时，等号成立）, 深化认识：称 为 的几何平均数；称 为 的算术平均数ab, 2ba,基本不等式 又可叙述为：2ba两个正数的几何平均数不大于它们
5、的算术平均数3几何证明，相见益彰探究三：如图， 是圆 的直径，点 是 上一点， ， 过点 作ABOCABaCbBC垂直于 的弦 ，连接 DE,根据射影定理可得： abC由于 Rt 中直角边 斜边 ，OOD于是有 2ba当且仅当点 与圆心 重合时，即 时等号成立Cba故而再次证明：当 时， （当且仅当 时，等号成立）0,ba2ab（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）4应用举例，巩固提高例 1.（1）用篱笆围一个面积为 100 平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为 36 米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的
6、面积最大，最大面积是多少？（通过例 1 的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）DCA BEO对于 ，Ryx,（1）若 （定值） ，则当且仅当 时， 有最小值 ；pbayxp2（2）若 （定值） ，则当且仅当 时， 有最大值 syx 4s（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神）例 2.求 的值域)0(1xy变式 1. 若 ，求 的最小值22在运用基本不等式解题的基础上，利用几何画板展示 的函数图象，使)0(1xy学生再次感受数形结合的数学思想并通过例 2 及其变式引导学生领会运用基本不等式 的三个限制条件（一
7、正2ba二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略练一练（自主练习）：1.已知 ，且 ，求 的最小值0,yx182yxxy2.设 ，且 ，求 的最小值R, 35归纳小结，反思提高基本不等式：若 ，则 （当且仅当 时，等号成立）ba, ab22ba若 ，则 （当且仅当 时，等号成立）R,（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）；（2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法媒体展示，渗透思想：若将算术平均数记为 ，几何平均数记为21yxzxyz2利用电脑 3D 技术，在空间坐标系中向学生展示基本不等式的几何背景：平面 在曲面 的上方1yxzxyz26布置作业，课后延拓（1）基本作业：课本 P100 习题 组 1、2 题A（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流（3）探究作业：现有一台天平，两臂长不相等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量这种说法对吗？并说明你的结论
