1、2018年3月12日星期一,1,本节讨论把定积分概念在另一个方面进行拓广,即假定积分区间 仍为有限,但被积函数在区间 上是无界的.这种情况下的积分称为无界函数的反常积分(瑕积分).,引言,2018年3月12日星期一,2,一、无界函数的广义积分概念,二、无界函数的广义积分性质,三、无界函数的广义积分收敛 判别法,四、无界函数的广义积分主值,主要内容,2018年3月12日星期一,3,1.定义: 设函数 f (x)在区间(a, b上连续,存在,则称此极限为函数 f (x)在(a, b上的广义积分.,这时也称广义积分 收敛.,一.无界函数反常积分(瑕积分)的概念,注意区间左端点,而在点 a 的右邻域内
2、无界,取 0.如果极限,如果上述极限不存在, 就称广义积分,发散.,2018年3月12日星期一,4,2.定义: 设函数 f (x)在区间 上连续,存在,则称此极限为函数 f (x)在 上的广义积分.,以上定义中的a，b称为函数 的奇点或瑕点.,注意区间右端点,而在点 b的左邻域内无界, 取 0.如果极限,（即函数 在区间 上的不连续点）,2018年3月12日星期一,5,若 在 内部有一个奇点c，acb,3.定义:,奇点在区间内部,则 收敛, 且有,且 都收敛,2018年3月12日星期一,6,例1:,解:,2018年3月12日星期一,7,所以,2018年3月12日星期一,8,例2：,解：,201
3、8年3月12日星期一,9,二. 无界函数反常积分(瑕积分)的性质,和无穷积分相仿，瑕积分也有定积分具有的性质,包括分部积分法和换元法对于瑕积分也成立.,瑕积分同样可以引进绝对收敛和条件收敛的概念，,并且也有：绝对收敛必收敛，,但反之未必.,2018年3月12日星期一,10,性质,2018年3月12日星期一,11,性质2,（瑕积分）,（定积分）,2018年3月12日星期一,12,性质,2018年3月12日星期一,13,注:,性质说明绝对收敛的积分自身一定收敛,我们称收敛而不绝对收敛的积分为条件收敛,（这里的结论与级数中有关结论相似注意比较）,但自身收敛的积分不一定绝对收敛,2018年3月12日星
4、期一,14,性质4,(柯西收敛原理),等价叙述为：,2018年3月12日星期一,15,柯西判别法,极限形式,这里关键是记清楚条件中的p、k关系问题.,2018年3月12日星期一,16,无穷积分与瑕积分的联系：,瑕积分,无穷积分,两种积分的关系通过上述等式就联系起来了.,2018年3月12日星期一,17,例3：,解：,2018年3月12日星期一,18,所以, x=a为被积函数的无穷间断点.,于是:,加,2018年3月12日星期一,19,由于,解：,加,作业: P 70 1、2（1、3、5、7）,2018年3月12日星期一,20,三. 瑕积分收敛的判别法,*1.阿贝尔判别法,（记清条件和结论会用）
5、,2018年3月12日星期一,21,*2.狄利克雷判别法,（记清条件和结论会用）,2018年3月12日星期一,22,解,根据比较判别法,加,2018年3月12日星期一,23,解,由洛必达法则知,根据柯西判别法极限形式,所给广义积分发散.,a=1这里 k=1， p=1,加,2018年3月12日星期一,24,四. 广义积分（无穷积分.瑕积分)的主值,1.瑕积分的柯西主值:,2018年3月12日星期一,25,2.无穷积分的柯西主值:,例6：,解：,作业: P 71 4（2、4、5）6（1、2）,2018年3月12日星期一,26,特点:,1.积分区间为无穷;,2018年3月12日星期一,27,2018年3月12日星期一,28,函数的几个重要性质：,2018年3月12日星期一,29,小结,一. 瑕积分的性质,二. 暇积分收敛的判别法,.柯西准则,.比较原则,.柯西判别法,.狄利克雷判别法,.阿贝尔判别法,作业,P70:,
