1、专题 01 质数那些事阅读与思考一个大于 1 的自然数如果只能被 1 和本身整除，就叫作质数(也叫素数) ；如果能被 1 和本身以外的自然数整除，就叫作合数；自然数 1 既不是质数，也不是合数，叫作单位数这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类： 1单 位正 整 数 质 数合 数关于质数、合数有下列重要性质：1质数有无穷多个，最小的质数是 2，但不存在最大的质数，最小的合数是 421 既不是质数，也不是合数；2 是唯一的偶质数3若质数 | ，则必有 | 或 | pabpab4算术基本定理：任意一个大于 1 的整数 N 能唯一地分解成 个质因数的乘积( 不考虑质因数之k间的顺序关系)：N= ，其
2、中 ， 为质数， 为非负数( =1，2，3， )12kaaP 12kP iPiaik正整数 N 的正约数的个数为 (1 )(1 )(1 )，所有正约数的和为(1 )(1a11 1P1a )(1 )22akk例题与求解【例 1】已知三个质数 ， ， 满足 =99，那么 的值等于abcabcabca_(江苏省竞赛试题)解题思想：运用质数性质，结合奇偶性分析，推出 ， ， 的值abc【例 2】若 为质数， 5 仍为质数，则 7 为( )p35pA质数 B可为质数，也可为合数C合数 D既不是质数，也不是合数(湖北省黄冈市竞赛试题)解题思想：从简单情形入手，实验、归纳与猜想【例 3】求这样的质数，当它加
3、上 10 和 14 时，仍为质数(上海市竞赛试题)解题思想：由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数开始进行实验，另外，需考虑这样的质数是否唯一，按剩余类加以深入讨论【例 4】 将 1，2，2 004 这 2 004 个数随意排成一行，得到一个数 ，求证： 一定是合n数 若 是大于 2 的正整数，求证： 1 与 1 中至多有一个质数nn2n 求 360 的所有正约数的倒数和(江苏省竞赛试题)解题思想：将 1 到 2 004 随意排成一行，由于中间的数很多，不可能一一排出，不妨找出无论怎样排，所得数都有非 1 和本身的约数；只需说明 1 与 1 中必有一个是合数，不能同为质数2nn即可；逐个求解正
4、约数太麻烦，考虑整体求解【例 5】设 和 是正整数， ， 是奇质数，并且 ，求 的值xyxyp12xypxy解题思想：由题意变形得出 整除 或 ，不妨设 由质数的定义得到 2 1=1 或 2 1=t tt由 及 2 1 为质数即可得出结论pxyt【例 6】若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数，则称它是一个“绝对质数”如2，3，5，7，11，13(31)，17(71)，37(73) ，79(97)，113(131，311)，199(919，991) ，337(373，733)，都是质数求证：绝对质数的各位数码不能同时出现数码 1，3，7，9(青少年国际城市邀请赛试题)解题思想：一个绝对质数
5、如果同时含有数字 1，3，7，9，则在这个质数的十进制表示中，不可能含有数字 0，2，4，5，6，8，否则，进行适当排列后，这个数能被 2 或 5 整除能力训练A 级1若 ， ， ， 为整数， =1997，则 =_ abcd22abcd22abcd2在 1，2，3， 这个 自然数中，已知共有 个质数， 个合数， 个奇数， 个偶数，npqkm则( )( )=_qmpk3设 ， 为自然数，满足 1176 = ，则 的最小值为_aba3b(“希望杯”邀请赛试题)4已知 是质数，并且 3 也是质数，则 48 的值为_p6p1p(北京市竞赛试题)5任意调换 12345 各数位上数字的位置，所得的五位数中
6、质数的个数是 ( )A4 B8 C12 D06在 2 005，2 007，2 009 这三个数中，质数有 ( )A0 个 B1 个 C2 个 D3 个(“希望杯”邀请赛试题)7一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后，所得的数比原来的数大 9，这样的两位中，质数有( )A1 个 B3 个 C5 个 D6 个 (“希望杯”邀请赛试题)8设 ， ， 都是质数，并且 = ， 求 pqrpqrp9写出十个连续的自然数，使得个个都是合数(上海市竞赛试题)10在黑板上写出下面的数 2，3，4，1 994，甲先擦去其中的一个数，然后乙再擦去一个数，如此轮流下去，若最后剩下的两个数互质，则甲胜；若最后剩下的两
7、个数不互质，则乙胜，你如果想胜，应当选甲还是选乙？说明理由(五城市联赛试题)11用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为 cm 规格的地砖，恰用 块，若xn选用边长为 cm 规格的地砖，则要比前一种刚好多用 124 块，已知 ， ， 都是正整数，且( ， )y ynxy=1，试问这块地有多少平方米？(湖北省荆州市竞赛试题)B 级1若质数 ， 满足 5 7 =129，则 的值为_mnnmn2已知 ， 均为质数，并且存在两个正整数 ， ，使得 = ， = ，则pq pmnq的值为_pqn3自然数 ， ， ， ， 都大于 1，其乘积 =2 000，则其和 的最大abcdeabcdeabc
8、de值为_，最小值为_(“五羊杯”竞赛试题)4机器人对自然数从 1 开始由小到大按如下的规则染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，则第 1 992 个数是_(北京市“迎春杯”竞赛试题)5若 ， 均为质数，且满足 =2 089，则 49 =_ab1abbaA0 B2 007 C2 008 D2 010(“五羊杯”竞赛试题)6设 为质数，并且 7 8 和 8 7 也都为质数，记 =77 8， =88 7，则在以下情a2a2xay形中，必定成立的是( )A ， 都是质数 B ， 都是合数xy xyC ， 一个是质数，一个是合数
9、 D对不同的 ，以上皆可能出现a(江西省竞赛试题)7设 ， ， ， 是自然数，并且 ，求证： 一定是合数abcd22abcdbcd(北京市竞赛试题)8请同时取六个互异的自然数，使它们同时满足： 6 个数中任意两个都互质； 6 个数任取 2 个，3 个，4 个，5 个，6 个数之和都是合数，并简述选择的数符合条件的理由9已知正整数 ， 都是质数，并且 7 与 11 也都是质数，试求 的值pqpqqp(湖北省荆州市竞赛试题)10. 41 名运动员所穿运动衣号码是 1，2，40，41 这 41 个自然数，问：(l) 能否使这 41 名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？(2) 能
10、否让这 41 名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办到，请举出一例；若不能办到，请说明理由专题 01 质数那些事例 1 34例 2 C例 3 3 符合要求 提示：当 p=3k1 时，p10=3 k11，p14=3(k5)，显然 p14 是合数，当p=3k2 时，p10=3(k4)是合数，当 p=3k 时，只有 k=1 才符合题意例 4 （1）因 122004= 2004（12004） =10022005 为 3 的倍数，故无论怎样交换这22004 个数的顺序，所得数都有 3 这个约数（2）因 n 是大于 2 的正整数，则 17， 1、 、 1 是不小于 7 的三个连
11、续的正整nn2n2数，其中必有一个被 3 整除，但 3 不整除 ，故 1 与 1 中至多有一个数是质数（3）设正整数 a 的所有正约数之和为 b， ， ， ， 为 a 的正约数从小到大的排列，1d23nd于是 =1， =a由于 中各分数分母的最小公倍数 =a，故 S=1dn nS321 nd= = ，而 a=360= ，故 b=（12 ）nn1nd2b53223（13 ）（15）=1170 = = 2 360174例 5 由 = ，得 xy= =k （k 为正整数） ，可得 2xy=kp，所以 p 整除 2xy 且 p 为奇质数，xypp2故 p 整除 x 或 y，不放设 x=tp，则 tpy
12、=2ty，得 y= 为整数又 t 与 2t1 互质，故 2t1 整1tp除 p，p 为质数，所以 2t1=1 或 2t1=p若 2t1=，得 t=1，x=y=p，与 xy 矛盾；若2t1=p，则 = ，2xy=p（xy ） p 是奇质数，则 xy 为偶数，x、y 同奇偶性，只能同xy为 xy= 必有某数含因数 p令 x=ap，ay= ，2ay=apyy= ，故a12apa，2a1 互质，2a1 整除 p，又 p 是质数，则 2a1=p，a= ，故1x= = ，xy= = 。p12例 6 设 N 是一个同时含有数字 1，3，7，9 的绝对质数因为=7931， =1793， =9137， =791
13、3， =7193， =1937， =7139 除以 7 所得余数分别为0k2k34k56k0，1，2，3，4，5，6故如下 7 个正整数：=L ，79314210nCN04kL=L ，1=L ，71394216nCN640kL其中，一定有一个能被 7 整除，则这个数就不是质数，故矛盾A 级11998 21 363 42000 5D 6A 7B8由 r=pq 可知 r 不是最小的质数，则为奇数，故 p，q 为一奇一偶，又因为 pq故 p 既是质数又是偶数，则 p=29设十个连续合数为 k2，k3，k 4，k10，k11，这里 k 为自然数，则只要取 k 是2，3，4，11 的倍数即可10选甲提示
14、：相邻的两个自然数总是互质数，把相邻自然数两两分为一组，这两数总是互质的，（2，3） ， （4，5） ， （6，7） ， （1992，1993） ，1994，甲擦掉 1994，无论乙擦哪一个数，甲就擦那一组的另一数，以此类推，最后还剩一对互质数11设这块地面积为 S，则 S= =（n124） 2x2y =124 xy （x ，y）=12yxn2（ ， ） =1 （ ， ）=1 得 12422yx124= 31， =（ xy） （xy ）22 ，或13yx6 ，或 （舍）56302x此时 n= =900214yxS= =900 =230400cm =2304m 。622B 级119 或 252
15、提示：q=mn，则 m、n 只能一个为 1，另一个为 q33133 23 420015B 提示：唯有 a=2，b=2089 =20892048=41 是质数，符合题意126A 提示：当 a=3 时，符合题意；当 a3 时， 被 3 处余 1，设 =3n1，则22a7 8=21n15，8 7=24n15，它们都不是质数，与条件矛盾故 a=3227 a， b， c ， d 都是偶数，即 M= （abcd）是偶22b数因为 = ，所以 =2（ ）是偶数，从而有 abcd=2222dcbaaM=2（ ）M，它 一定是偶数，但 abcd2，于是 abcd 是2dc个合数8取六个数 aii(123 456
16、)1 (i1，2，6)，则其中任意两个数都是互质的，事实上，假设 a2 与 a5 不互质，设 d 是 a2 与 a5 的最大公约数，则 d 必是(52) 123456，即3123456 的一个因子，但从 a221234561 知，d 不整除 a2，这与假设 d是 a2 与 a5 的最大公约数矛盾，故 a2 与 a5 互质9由 pq1111 且 pq11 是质数知，pq11 必为正奇数，从而 p2 或 q2(1)若 p2，此时 7pq 及 2q11 均为质数设 q3k 1，则 q143( k5)不是质数；设q3k2，则 2q113(2 k5)不是质数，因此 q 应为 3k 型的质数，当然只能是
17、q3(2)若 q2，此时 7pq 与 2p11 均为质数，设 p3k1，则 7p23(7 k3)不是质数；设p3k2，则 2p113(2 k5)不是质数，因此，p 应为 3k 型的质数，p3 综合(1) ，(2)知p3，q2 或 p2，q3，所以 pq十 qp 1710(1)能办到 提示：注意到 41 与 43 都是质数，据题意，要使相邻两数的和都是质数，显然它们只能都是奇数，因此，在这排数中只能一奇一偶相间排列：不妨先将奇数排成一排：1，3，5，7，41，在每两数之间留空，然后将所有的偶数依次反序插在各空白中，得1，40，3，38，5，36，7，34，8，35，6，37，4，39，2，41.这样任何相邻两数之和都是 41 或43.满足题目要求(2)不能办到 提示：若把 1，2，3，40，41 排成一圈，要使相邻两数的和为质数，这些质数都是奇数，故圆圈上任何相邻两数必为一奇一偶但现有 20 个偶数，21 个奇数，总共是 41 个号码，由此引出矛盾，故不能办到，
