1、相似三角形中分类讨论的数学思想（汤杰）讨论标志一：当两个三角形不用相似符号对应联立的问题1.在直角三角形 ABC 中，B=90，点 D 在边 BC 上，过点 D 的直线将直角三角形 ABC 分成一个三角形和一个四边形，得到的小三角形与原三角形相似，这样的直线可以画几条？并画出示意图。2.（2013，永州）如图，已知 AB BD，CD BD（1）若 AB=9，CD=4，BD=10，请问在 BD 上是否存在 P 点，使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似？若存在，求 BP 的长；若不存在，请说明理由；（2）若 AB=9，CD=4 ，BD=12，请问在 BD 上
2、存在多少个 P 点，使以 P、A 、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似？并求 BP 的长；（3）若 AB=9，CD=4 ，BD=15，请问在 BD 上存在多少个 P 点，使以 P、A 、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似？并求 BP 的长；（4）若 AB= ，CD= ，BD= ，请 问 满足什么关系时，存在以 P、A 、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点mnl,mnl为顶点的三角形相似的一个 P 点？两个 P 点？三个 P 点？3（2014 武汉）如图， RtABC 中，ACB =90，AC=6cm，BC=8cm，动点 P 从点
3、 B 出发，在 BA 边上以每秒 5cm 的速度向点 A 匀速运动，同时动点 Q 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒 4cm 的速度向点 B 匀速运动，运动时间为 t 秒（0 t2），连接 PQ（1）若BPQ 与ABC 相似，求 t 的值；（2）连接 AQ，CP，若 AQ CP 求 t 的值；4.（2014益阳）如 图，在四边形 ABCD 中，ABCD，ADAB，B=60，AB =10，BC=4，点 P 沿线段 AB 从点 A 向点 B 运动，设 AP=x （1）求 AD 的长；（2）点 P 在运动过程中，是否存在以 A、P、D 为顶点的三角形与以 P、C、B 为顶点的三角形相似？若存在，求
4、出 x 的值；若不存在，请说明理由；AC(2013 徐州中考）讨论标志二：利用相似三角形解决等腰三角形的讨论问题。1.(2014黑龙江牡丹江 )如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=8，BC=6，CDAB 于点 D点 P 从点 D 出发，沿线段 DC向点 C 运动，点 Q 从点 C 出发，沿线段 CA 向点 A 运动，两点同时出发，速度都为每秒 1 个单位长度，当点 P 运动到 C 时，两点都停止设运动时间为 t 秒（1）求线段 CD 的长；（2）当 t 为何值时，CPQ 为等腰三角形？3.讨论标志三：利用相似三角形解决直角三角形的讨论问题如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的两
5、边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，OA=4，OC=2点 P 从点 O 出发，沿 x 轴以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动，当点 P 到达点 A 时停止运动，设点 P 运动的时间是 t 秒将线段 CP的中点绕点 P 按顺时针方向旋转 90得点 D，点 D 随点 P 的运动而运动，连接 DP、DA（1）请用含 t 的代数式表示出点 D 的坐标；（2）求 t 为何值时，DPA 的面积最大，最大为多少？（3）在点 P 从 O 向 A 运动的过程中， DPA 能否成为直角三角形？若能，求 t 的值若不能，请说明理由； 4.分类讨论标志四：利用相似三角形解决直线与圆的相切问题（2013广安）雅安芦山发生 7.0 级地震后，某校师生准备了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个半圆制作玩具，寄给灾区的小朋友已知如图，是腰长为 4 的等腰直角三角形 ABC，要求剪出的半圆的直径在ABC 的边上，且半圆的弧与ABC 的其他两边相切，并求出相应半圆的半径（结果保留根号） （补充平面直角坐标系动圆与坐标轴相切问题）xyD ABPCO
