1、平面向量及其加减运算（提高）知识讲解【学习目标】1.了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义.2.理解向量的几何表示，掌握向量加、减运算，并理解其几何意义.3.理解两个向量共线的含义.【要点梳理】要点一、平面向量1.有向线段：规定了方向的线段叫做有向线段. 有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向.要点诠释：（1） “有向线段 AB”符号标记为 ，且 表示点 B 相对于点 A 的位置差别.AB（2）用两个字母标记有向线段时，起点字母必须写在终点字母的前面.2.平面向量的定义及表示（1）向量: 既有
2、大小又有方向的量叫做向量.其中向量的大小叫做向量的模（或向量的长度）.要点诠释：向量的两要素：向量的大小、向量的方向.数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；而向量有方向，有大小，具有双重性，不能比较大小.向量与有向线段的区别：（a）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相等的向量；（b）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.（2）向量的表示方法:小写英文字母表示法: 如 等.,abc几何表示法:用一条有向线段表示向量，如 等.,ABCD（3）向量的分类：固定向量：有大小、方向
3、、作用点的向量；自由向量：只有大小、方向，没有作用点的向量.要点诠释：我们学习的主要是自由向量.3. 特殊的向量零向量:长度为零的向量叫零向量.单位向量:长度等于 1 个单位的向量.相等向量:长度相等且方向相同的向量.互为相反向量: 长度相等且方向相反的向量.平行向量:方向相同或相反的非零向量，叫平行向量(平行向量又称为共线向量).规定: 与任一向量共线.0要点诠释：（1）零向量的方向是任意的，注意 与 0 的含义与书写的不同.（2）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.(3)零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.要
4、点二、平面向量的加法运算1. 定义：求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法.2. 运算法则：（1）三角形法则：一般来说，求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量.这样的规定叫做向量的加法的三角形法则.如图： ABC（2）多边形法则：一般地，几个向量相加，可把这几个向量顺次首尾相接，那么它们的和向量是以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量，这样的规定叫做几个向量相加的多边形法则.（3）平行四边形法则：如果 是两个不平行的向量，那么求它们和向量时，可以在平a、 b面内任取一点为公共起点
5、，作两个向量分别与 相等；再以这两个向量为邻边作平行四a、 b边形；然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是 和的向量.如图：a、 bABDC要点诠释：1.两个向量的和是一个向量，规定 . 0aa2.可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.3. “向量平移” （自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到 n个向量连加，即得到几个向量相加的多边形法则.4. .探讨该式中等号成立的条件，可以解决许多相关的问题.|abab3.运算律： （1）交换律： ；ab（2）结合律： ()()c要点三、向量的减法运算1.定义：已知两个
6、向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法. 2.运算法则：在平面内任取一点，以这点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量，这样求两个向量的差向量的规定叫做向量减法的三角形的法则.要点诠释：（1）减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即： ，从ABDAB而用加法法则来解决减法问题.（2）向量的加法、减法的结果仍然是向量，规定 .0a（3）与 长度相等、方向相反的向量，叫做 的相反向量，即 .AB ABAB【典型例题】类型一、向量的基本概念1.判断下列各命题是否正确：(1)若 ，则 ；ab(2)若 A、B、C、D 是不共线的四
7、点，则 是四边形 为平行四边形的充要条ABDCAB件；(3)若 ，则,abca(4)两向量 相等的充要条件是 且 .b/a【思路点拨】对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从反面进行考虑，要注意这两方面的结合.【答案与解析】解：(1)不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，因此由 推不出ab.ab(2)正确， 且 .又 A、B、C、D 是不共线的四点，四边,ABDC/形 是平行四边形，则 且 与 方向相同.因此 .,/ABDC(3)正确， 的长度相等且方向相同；又 的长度相等且方向相同，,ab ,bc的长度相等且方向相同.故 .,ac ac(4)不正确，当 但方向
8、相反时，即使 ，也不能得到 ，故 不是/bbab/的充要条件.ab【总结升华】我们应该清醒的认识到，两个非零向量相等的充要条件应是长度相等且方向相同，向量相等是可传递的.复习向量时，要注意将向量与实数、向量与线段、向量运算与实数运算区别开来.举一反三：【变式】下列说法正确的个数是( )向量 ，则直线 直线/ABDC/AB;CD两个向量当且仅当它们的起点相同，终点也相同时才相等；向量 既是有向线段 ；在平行四边形 中，一定有 .ABABA.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个【答案】C类型二、向量的加法运算2.已知：凸四边形 中， 、 分别为 、 中点，求证：ABCDEFADBC.1()E
9、F【思路点拨】一般地,几个向量相加,可把这几个向量顺次首尾相接,那么它们的和向量是以第一个向量的起点为起点,最后一个向量的终点为终点的向量.【答案与解析】解：如图： ，EFDCF.AB则： 2()()()AB 、 分别为 、 中点， ， EFDC0EDCFA B C DE F .1()2EFABDC【总结升华】 12341nnOAO举一反三：【变式】求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形.已知：四边形 中， ， ，ABCDDB求证： 是平行四边形.【答案】证明：由向量的加法法则：， ， ， ， ，OOCAOBADC即线段 与 平行且相等， 是平行四边形.ABDBD类型三、向量的减法运算3.
10、三角形两边中点的连线平行于第三边并且等于第三边的一半.【答案与解析】已知：如图， 中，D，E 分别是边 AB，AC 的中点.ABC求证： 且 ./21证明：D，E 分别是边 AB，AC 的中点， ， . ABD21 CE21 ， CABDA)(21D，B 不共点， 且 .E/21【总结升华】两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同；差向量的终点指向被减向量的终点.类型四、向量加减综合运算4.如图，已知向量 ， ，DAB120，且 ，求 和ABaDb3abab AD EB C.ab【思路点拨】利用三角形法则和数乘运算，用向量法讨论几何问题，关键是选取适当的基向量表示其他向量，本题的基底就是
11、 ，由它可以“生”成 .,ab,ACDB 【答案与解析】【总结升华】用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量加、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解，既充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法三角形、平行四边形法则，运用减法三角形法则，充分利用三角形的中位线，相似三角形对应边成比例的平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.举一反三：【变式】如图，已知点 分别是 三边 的中点，,DEFABC,A
12、求证： .0EABC|3|ABDABCabABab解 ： 以 、 为 邻 边 作 平 行 四 边 形 ，由 于 ， 故 此 四 边 形 为 菱 形由 向 量 的 加 减 法 知，故 ， 12060|3OODDAC因 为 ， 所 以所 以 是 正 三 角 形 ， 则|sin6032oA由 于 菱 形 对 角 线 互 相 垂 直 平 分 ,所 以 是 直 角 三 角 形 ，|ab所 以 ，【答案】证明：连结 .因为 分别是 三边的中点，,DEF,EFABC所以四边形 为平行四边形.A由向量加法的平行四边形法则，得 (1)，DE同理在平行四边形 中， (2)，BEFFB在平行四边形 在中， (3)CC将(1)(2)(3)相加，得EADDE.()()()FEF0
