1、2017 年河南省中招重点初中中考数学模拟试卷（二）一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）14 的倒数是（ ）A4 B4 C D2据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒 338 600 000 亿次，数字 338 600 000 用科学记数法可简洁表示为（ ）A3.38610 8 B0.338610 9 C33.8610 7 D3.38610 93从一个边长为 3cm 的大立方体挖去一个边长为 1cm 的小立方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图正确的是（ ）A B C D4下列运算正确的是（ ）Aa 3+a2=2a
2、5 B （ab 2） 3=a3b6C2a（1a）=2a2a 2 D （a+b） 2=a2+b25如图，反比例函数 y= （x0）的图象经过点 P，则 k 的值为（ ）A6 B5 C6 D56如图所示，线段 AC 的垂直平分线交线段 AB 于点 D，A=50，则BDC=（ ）A50 B100 C120 D1307某校规定学生的学期数学成绩满分为 100 分，其中研究性学习成绩占 40%，期末卷面成绩占 60%，小明的两项成绩（百分制）依次是 80 分，90 分，则小明这学期的数学成绩是（ ）A80 分 B82 分 C84 分 D86 分8一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为
3、1，2，3，4 随机摸出一个小球，不放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号的积小于 4 的概率是（ ）A B C D9y= x+1 是关于 x 的一次函数，则一元二次方程 kx2+2x+1=0 的根的情况为（ ）A没有实数根 B有一个实数根C有两个不相等的实数根 D有两个相等的实数根10如图，在平面直角坐标系中，正三角形 OAB 的顶点 B 的坐标为（2，0） ，点 A 在第一象限内，将OAB 沿直线 OA 的方向平移至OAB的位置，此时点 A的横坐标为 3，则点 B的坐标为（ ）A （4，2 ） B （3，3 ） C （4，3 ） D （3，2 ）二、填空题（本大题共 5 小题，每小题
4、 3 分，共 15 分）11计算： 2 1 + |2|= 12在平行四边形 ABCD 中，BAD 的平分线 AE 交 BC 于点 E，且 BE=3，若平行四边形 ABCD的周长是 16，则 EC 等于 13将抛物线 y=x 2先向下平移 2 个单位，再向右平移 3 个单位后所得抛物线的解析式为 14如图，在ABC 中，C=90，AC=BC，斜边 AB=2，O 是 AB 的中点，以 O 为圆心，线段 OC 的长为半径画圆心角为 90的扇形 OEF，弧 EF 经过点 C，则图中阴影部分的面积为 15正方形 ABCD 的边长是 4，点 P 是 AD 边的中点，点 E 是正方形边上的一点若PBE 是等
5、腰三角形，则腰长为 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分）16已知（1）化简 A；（2）若 x 满足不等式组 ，且 x 为整数时，求 A 的值17为了丰富同学们的课余生活，某学校举行“亲近大自然”户外活动，现随机抽取了部分学生进行主题为“你最想去的景点是？”的问卷调查，要求学生只能从“A（植物园） ，B（花卉园） ，C（湿地公园） ，D（森林公园） ”四个景点中选择一项，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图请解答下列问题：（1）本次调查的样本容量是 ；（2）补全条形统计图；（3）若该学校共有 3600 名学生，试估计该校最想去湿地公园的学生人数18如图 1，以ABC 的边 AB
6、为直径的O 交边 BC 于点 E，过点 E 作O 的切线交 AC 于点D，且 EDAC（1）试判断ABC 的形状，并说明理由；（2）如图 2，若线段 AB、DE 的延长线交于点 F，C=75，CD=2 ，求O 的半径和BF 的长19周末小明和同学们去“绿博园”的枫湖坐船，观赏风景；如图，小明正在 A 处的小船上，B 处小船上的游客发现点 A 在点 B 的正西方向上，C 处小船上的游客发现点 A 在点 C 的南偏东 30方向上，已知点 C 在点 B 的北偏西 60方向上，且 B、C 两地相距 120 米（1）求出此时点 A 到点 C 的距离；（2）若小明从 A 处沿 AC 方向向 C 驶去，当到
7、达点 A时，测得点 B 在 A的南偏东 75的方向上，求此时小明所乘坐的小船走的距离 （注：结果保留根号）20某职业高中机电班共有学生 42 人，其中男生人数比女生人数的 2 倍少 3 人（1）该班男生和女生各有多少人？（2）某工厂决定到该班招录 30 名学生，经测试，该班男、女生每天能加工的零件数分别为 50 个和 45 个，为保证他们每天加工的零件总数不少于 1460 个，那么至少要招录多少名男学生？21如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是 12m，宽是 4m按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用 y= x2+bx+c 表示，且抛物线的点 C 到墙面 OB 的水平距离为 3m
8、 时，到地面 OA 的距离为 m（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶 D 到地面 OA 的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为 6m，宽为 4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过 8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？22如图，ABC 与CDE 是等腰直角三角形，直角边 AC、CD 在同一条直线上，点 M、N分别是斜边 AB、DE 的中点，点 P 为 AD 的中点，连接 AE、BD（1）猜想 PM 与 PN 的数量关系及位置关系，请直接写出结论；（2）现将图中的CDE 绕着
9、点 C 顺时针旋转 （090） ，得到图，AE 与MP、BD 分别交于点 G、H请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若图中的等腰直角三角形变成直角三角形，使 BC=kAC，CD=kCE，如图，写出 PM与 PN 的数量关系，并加以证明23如图，已知抛物线经过原点 O，顶点为 A（1，1） ，且与直线 y=x2 交于 B，C 两点（1）求抛物线的解析式及点 C 的坐标；（2）求证：ABC 是直角三角形；（3）若点 N 为 x 轴上的一个动点，过点 N 作 MNx 轴与抛物线交于点 M，则是否存在以O，M，N 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，请求出点 N
10、 的坐标；若不存在，请说明理由2017 年河南省中招重点初中中考数学模拟试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）14 的倒数是（ ）A4 B4 C D【考点】17：倒数【分析】根据倒数的定义：乘积是 1 的两个数，即可求解【解答】解：4 的倒数是 故选 D2据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒 338 600 000 亿次，数字 338 600 000 用科学记数法可简洁表示为（ ）A3.38610 8 B0.338610 9 C33.8610 7 D3.38610 9【考点】1I：科学记数法表示
11、较大的数【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：数字 338 600 000 用科学记数法可简洁表示为 3.386108故选：A3从一个边长为 3cm 的大立方体挖去一个边长为 1cm 的小立方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图正确的是（ ）A B C D【考点】U1：简单几何体的三视图【分析】直接利用左视图的观察角度，进而得出视图【解答】解：如图所示：从一个边长为 3cm 的
12、大立方体挖去一个边长为 1cm 的小立方体，该几何体的左视图为： 故选：C4下列运算正确的是（ ）Aa 3+a2=2a5 B （ab 2） 3=a3b6C2a（1a）=2a2a 2 D （a+b） 2=a2+b2【考点】4I：整式的混合运算【分析】直接利用合并同类项、积的乘方与幂的乘方的性质与整式乘法的知识求解即可求得答案【解答】解：A、a 3+a2，不能合并；故本选项错误；B、 （ab 2） 3=a 3b6，故本选项错误；C、2a（1a）=2a2a 2，故本选项正确；D、 （a+b） 2=a2+2ab+b2，故本选项错误故选 C5如图，反比例函数 y= （x0）的图象经过点 P，则 k 的值
13、为（ ）A6 B5 C6 D5【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征【分析】根据待定系数法，可得答案【解答】解：函数图象经过点 P，k=xy=32=6，故选：A6如图所示，线段 AC 的垂直平分线交线段 AB 于点 D，A=50，则BDC=（ ）A50 B100 C120 D130【考点】KG：线段垂直平分线的性质【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 DA=DC，根据等腰三角形的性质得到DCA=A，根据三角形的外角的性质计算即可【解答】解：DE 是线段 AC 的垂直平分线，DA=DC，DCA=A=50，BDC=DCA+A=100，故选：B7某校规定学生的学期数学成绩满分为 100 分，其中
14、研究性学习成绩占 40%，期末卷面成绩占 60%，小明的两项成绩（百分制）依次是 80 分，90 分，则小明这学期的数学成绩是（ ）A80 分 B82 分 C84 分 D86 分【考点】W2：加权平均数【分析】利用加权平均数的公式直接计算即可得出答案【解答】解：由加权平均数的公式可知 = = =86，故选 D8一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4 随机摸出一个小球，不放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号的积小于 4 的概率是（ ）A B C D【考点】X6：列表法与树状图法【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小
15、球标号的积小于 4 的情况，再利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：画树状图得：共有 12 种等可能的结果，两次摸出的小球标号的积小于 4 的有 4 种情况，两次摸出的小球标号的积小于 4 的概率是： = 故选 C9y= x+1 是关于 x 的一次函数，则一元二次方程 kx2+2x+1=0 的根的情况为（ ）A没有实数根 B有一个实数根C有两个不相等的实数根 D有两个相等的实数根【考点】AA：根的判别式；F1：一次函数的定义【分析】由一次函数的定义可求得 k 的取值范围，再根据一元二次方程的判别式可求得答案【解答】解：y= x+1 是关于 x 的一次函数， 0，k10，解得 k1，又一元二次
16、方程 kx2+2x+1=0 的判别式=44k，0，一元二次方程 kx2+2x+1=0 无实数根，故选 A10如图，在平面直角坐标系中，正三角形 OAB 的顶点 B 的坐标为（2，0） ，点 A 在第一象限内，将OAB 沿直线 OA 的方向平移至OAB的位置，此时点 A的横坐标为 3，则点 B的坐标为（ ）A （4，2 ） B （3，3 ） C （4，3 ） D （3，2 ）【考点】Q3：坐标与图形变化平移；KK：等边三角形的性质【分析】作 AMx 轴于点 M根据等边三角形的性质得出 OA=OB=2，AOB=60，在直角OAM 中利用含 30角的直角三角形的性质求出 OM= OA=1，AM= O
17、M= ，则 A（1， ） ，直线 OA 的解析式为 y= x，将 x=3 代入，求出 y=3 ，那么 A（3，3 ） ，由一对对应点 A 与 A的坐标求出平移规律，再根据此平移规律即可求出点 B的坐标【解答】解：如图，作 AMx 轴于点 M正三角形 OAB 的顶点 B 的坐标为（2，0） ，OA=OB=2，AOB=60，OM= OA=1，AM= OM= ，A（1， ） ，直线 OA 的解析式为 y= x，当 x=3 时，y=3 ，A（3，3 ） ，将点 A 向右平移 2 个单位，再向上平移 2 个单位后可得 A，将点 B（2，0）向右平移 2 个单位，再向上平移 2 个单位后可得 B，点 B的
18、坐标为（4，2 ） ，故选 A二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）11计算： 2 1 + |2|= 2 【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及结合绝对值的性质和二次根式的性质分别化简求出答案【解答】解： 2 1 + |2|=3 +22=2 故答案为：2 12在平行四边形 ABCD 中，BAD 的平分线 AE 交 BC 于点 E，且 BE=3，若平行四边形 ABCD的周长是 16，则 EC 等于 2 【考点】L5：平行四边形的性质【分析】由平行四边形的性质和已知条件证出BAE=BEA，证出 AB=BE=3；求出AB+BC=8，
19、得出 BC=5，即可得出 EC 的长【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，AB=CD，AD=BC，AEB=DAE，平行四边形 ABCD 的周长是 16，AB+BC=8，AE 是BAD 的平分线，BAE=DAE，BAE=AEB，AB=BE=3，BC=5，EC=BCBE=53=2；故答案为：213将抛物线 y=x 2先向下平移 2 个单位，再向右平移 3 个单位后所得抛物线的解析式为 y=x 2+6x11 【考点】H6：二次函数图象与几何变换【分析】根据平移规律：上加下减，左加右减写出解析式即可【解答】解：抛物线 y=x 2先向下平移 2 个单位，再向右平移 3 个单位后所得抛物线
20、的解析式为 y=（x3） 22 即 y=x 2+6x11，故答案为 y=x 2+6x1114如图，在ABC 中，C=90，AC=BC，斜边 AB=2，O 是 AB 的中点，以 O 为圆心，线段 OC 的长为半径画圆心角为 90的扇形 OEF，弧 EF 经过点 C，则图中阴影部分的面积为 【考点】MO：扇形面积的计算【分析】连接 OC，作 OMBC，ONAC，证明OMGONH，则 S 四边形 OGCH=S 四边形 OMCN，求得扇形 FOE 的面积，则阴影部分的面积即可求得【解答】解：连接 OC，作 OMBC，ONACCA=CB，ACB=90，点 O 为 AB 的中点，OC= AB=1，四边形
21、OMCN 是正方形，OM= 则扇形 FOE 的面积是： = OA=OB，AOB=90，点 D 为 AB 的中点，OC 平分BCA，又OMBC，ONAC，OM=ON，GOH=MON=90，GOM=HON，则在OMG 和ONH 中，OMGONH（AAS） ，S 四边形 OGCH=S 四边形 OMCN=（ ） 2= 则阴影部分的面积是： 故答案为： 15正方形 ABCD 的边长是 4，点 P 是 AD 边的中点，点 E 是正方形边上的一点若PBE 是等腰三角形，则腰长为 2 ，或 ，或 【考点】KQ：勾股定理；KI：等腰三角形的判定；LE：正方形的性质【分析】分情况讨论：（1）当 PB 为腰时，若
22、P 为顶点，则 E 点和 C 点重合，求出 PB 长度即可；若 B 为顶点，则 E 点为 CD 中点；（2）当 PB 为底时，E 在 BP 的垂直平分线上，与正方形的边交于两点，即为点 E；由题意得出 BM= BP= ，证明BMEBAP，得出比例式 ，即可求出 BE；设 CE=x，则 DE=4x，根据勾股定理得出方程求出 CE，再由勾股定理求出 BE 即可【解答】解：分情况讨论：（1）当 PB 为腰时，若 P 为顶点，则 E 点与 C 点重合，如图 1 所示：四边形 ABCD 是正方形，AB=BC=CD=AD=4，A=C=D=90，P 是 AD 的中点，AP=DP=2，根据勾股定理得：BP=
23、= =2 ；若 B 为顶点，则根据 PB=BE得，E为 CD 中点，此时腰长 PB=2 ；（2）当 PB 为底边时，E 在 BP 的垂直平分线上，与正方形的边交于两点，即为点 E；当 E 在 AB 上时，如图 2 所示：则 BM= BP= ，BME=A=90，MBE=ABP，BMEBAP， ，即 ，BE= ；当 E 在 CD 上时，如图 3 所示：设 CE=x，则 DE=4x，根据勾股定理得：BE 2=BC2+CE2，PE 2=DP2+DE2，4 2+x2=22+（4x） 2，解得：x= ，CE= ，BE= = = ；综上所述：腰长为：2 ，或 ，或 ；故答案为：2 ，或 ，或 三、解答题（本
24、大题共 8 小题，共 75 分）16已知（1）化简 A；（2）若 x 满足不等式组 ，且 x 为整数时，求 A 的值【考点】6C：分式的混合运算；CC：一元一次不等式组的整数解【分析】 （1）原式第一项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，确定出整数 x 的值，代入计算即可求出 A 的值【解答】解：（1）A=（x3） 1= 1= = ；（2） ，由得：x1，由得：x1，不等式组的解集为1x1，即整数 x=0，则 A= 17为了丰富同学们的课余生活，某学校举行“亲近大自然”户外活
25、动，现随机抽取了部分学生进行主题为“你最想去的景点是？”的问卷调查，要求学生只能从“A（植物园） ，B（花卉园） ，C（湿地公园） ，D（森林公园） ”四个景点中选择一项，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图请解答下列问题：（1）本次调查的样本容量是 60 ；（2）补全条形统计图；（3）若该学校共有 3600 名学生，试估计该校最想去湿地公园的学生人数【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图【分析】 （1）由 A 的人数及其人数占被调查人数的百分比可得；（2）根据各项目人数之和等于总数可得 C 选项的人数；（3）用样本中最想去湿地公园的学生人数占被调查人数的比例乘
26、总人数即可【解答】解：（1）本次调查的样本容量是 1525%=60；（2）选择 C 的人数为：60151012=23（人） ，补全条形图如图：（3） 3600=1380（人） 答：估计该校最想去湿地公园的学生人数约由 1380 人故答案为：6018如图 1，以ABC 的边 AB 为直径的O 交边 BC 于点 E，过点 E 作O 的切线交 AC 于点D，且 EDAC（1）试判断ABC 的形状，并说明理由；（2）如图 2，若线段 AB、DE 的延长线交于点 F，C=75，CD=2 ，求O 的半径和BF 的长【考点】MC：切线的性质【分析】 （1）连接 OE，根据切线性质得 OEDE，与已知中的 E
27、DAC 得平行，由此得1=C，再根据同圆的半径相等得1=B，可得出三角形为等腰三角形；（2）通过作辅助线构建矩形 OGDE，再设与半径有关系的边 OG=x，通过 AB=AC 列等量关系式，可求得结论【解答】解：（1）ABC 是等腰三角形，理由是：如图 1，连接 OE，DE 是O 的切线，OEDE，EDAC，ACOE，1=C，OB=OE，1=B，B=C，ABC 是等腰三角形；（2）如图 2，过点 O 作 OGAC，垂足为 G，则得四边形 OGDE 是矩形，ABC 是等腰三角形，B=C=75，A=1807575=30，设 OG=x，则 OA=OB=OE=2x，AG= x，DG=OE=2x，根据 A
28、C=AB 得：4x= x+2x+2 ，x=1，OE=OB=2，在直角OEF 中，EOF=A=30，cos30= ，OF= =2 = ，BF= 2，O 的半径为 219周末小明和同学们去“绿博园”的枫湖坐船，观赏风景；如图，小明正在 A 处的小船上，B 处小船上的游客发现点 A 在点 B 的正西方向上，C 处小船上的游客发现点 A 在点 C 的南偏东 30方向上，已知点 C 在点 B 的北偏西 60方向上，且 B、C 两地相距 120 米（1）求出此时点 A 到点 C 的距离；（2）若小明从 A 处沿 AC 方向向 C 驶去，当到达点 A时，测得点 B 在 A的南偏东 75的方向上，求此时小明所
29、乘坐的小船走的距离 （注：结果保留根号）【考点】TB：解直角三角形的应用方向角问题；KU：勾股定理的应用【分析】 （1）根据题意作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得 AC 的长；（2）根据题意和锐角三角函数可以求得小明所乘坐的小船走的距离【解答】解：（1）作 CDBA 交 BA 的延长线于点 D，由题意可得，BC=120 米，CBD=30，则 CD=60 米，DCA=30，AC= 米，即此时点 A 到点 C 的距离是 40 米；（2）作 ANBC 于点 N，作 AEBA 交 BA 的延长线于点 E，由题意可得，1=30，EAB=75，EAA=30，CBD=30，则AAB=45，2=1
30、5，ABE=15，AN=AE，设 AA=x，则 AE= ，AN= ，CA= ，CA= ，x+ x=40 ，得 x=答：此时小明所乘坐的小船走的距离是（ ）米20某职业高中机电班共有学生 42 人，其中男生人数比女生人数的 2 倍少 3 人（1）该班男生和女生各有多少人？（2）某工厂决定到该班招录 30 名学生，经测试，该班男、女生每天能加工的零件数分别为 50 个和 45 个，为保证他们每天加工的零件总数不少于 1460 个，那么至少要招录多少名男学生？【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用【分析】 （1）设该班男生有 x 人，女生有 y 人，根据男女生人数的关系以及全
31、班共有 42 人，可得出关于 x、y 的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；（2）设招录的男生为 m 名，则招录的女生为（30m）名，根据“每天加工零件数=男生每天加工数量男生人数+女生每天加工数量女生人数” ，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论【解答】解：（1）设该班男生有 x 人，女生有 y 人，依题意得： ，解得： 该班男生有 27 人，女生有 15 人（2）设招录的男生为 m 名，则招录的女生为（30m）名，依题意得：50m+45（30m）1460，即 5m+13501460，解得：m22，答：工厂在该班至少要招录 22 名男生21如图，隧道的截面由抛物线和长方
32、形构成，长方形的长是 12m，宽是 4m按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用 y= x2+bx+c 表示，且抛物线的点 C 到墙面 OB 的水平距离为 3m 时，到地面 OA 的距离为 m（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶 D 到地面 OA 的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为 6m，宽为 4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过 8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？【考点】HE：二次函数的应用【分析】 （1）先确定 B 点和 C 点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线
33、解析式，再利用配方法确定顶点 D 的坐标，从而得到点 D 到地面 OA 的距离；（2）由于抛物线的对称轴为直线 x=6，而隧道内设双向行车道，车宽为 4m，则货运汽车最外侧与地面 OA 的交点为（2，0）或（10，0） ，然后计算自变量为 2 或 10 的函数值，再把函数值与 6 进行大小比较即可判断；（3）抛物线开口向下，函数值越大，对称点之间的距离越小，于是计算函数值为 8 所对应的自变量的值即可得到两排灯的水平距离最小值【解答】解：（1）根据题意得 B（0，4） ，C（3， ） ，把 B（0，4） ，C（3， ）代入 y= x2+bx+c 得 ，解得 所以抛物线解析式为 y= x2+2x
34、+4，则 y= （x6） 2+10，所以 D（6，10） ，所以拱顶 D 到地面 OA 的距离为 10m；（2）由题意得货运汽车最外侧与地面 OA 的交点为（2，0）或（10，0） ，当 x=2 或 x=10 时，y= 6，所以这辆货车能安全通过；（3）令 y=8，则 （x6） 2+10=8，解得 x1=6+2 ，x 2=62 ，则 x1x 2=4 ，所以两排灯的水平距离最小是 4 m22如图，ABC 与CDE 是等腰直角三角形，直角边 AC、CD 在同一条直线上，点 M、N分别是斜边 AB、DE 的中点，点 P 为 AD 的中点，连接 AE、BD（1）猜想 PM 与 PN 的数量关系及位置关
35、系，请直接写出结论；（2）现将图中的CDE 绕着点 C 顺时针旋转 （090） ，得到图，AE 与MP、BD 分别交于点 G、H请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若图中的等腰直角三角形变成直角三角形，使 BC=kAC，CD=kCE，如图，写出 PM与 PN 的数量关系，并加以证明【考点】SO：相似形综合题【分析】 （1）由等腰直角三角形的性质易证ACEBCD，由此可得 AE=BD，再根据三角形中位线定理即可得到 PM=PN，由平行线的性质可得 PMPN；（2） （1）中的结论仍旧成立，由（1）中的证明思路即可证明；（3）PM=kPN，由已知条件可证明BC
36、DACE，所以可得 BD=kAE，因为点 P、M、N 分别为 AD、AB、DE 的中点，所以 PM= BD，PN= AE，进而可证明 PM=kPN【解答】解：（1）PM=PN，PMPN，理由如下：ACB 和ECD 是等腰直角三角形，AC=BC，EC=CD，ACB=ECD=90在ACE 和BCD 中，ACEBCD（SAS） ，AE=BD，EAC=CBD，点 M、N 分别是斜边 AB、DE 的中点，点 P 为 AD 的中点，PM= BD，PN= AE，PM=PM，PMBD，PNAE，AEBD，NPD=EAC，MPA=BDC，EAC+BDC=90，MPA+NPC=90，MPN=90，即 PMPN；（
37、2）ACB 和ECD 是等腰直角三角形，AC=BC，EC=CD，ACB=ECD=90ACB+BCE=ECD+BCEACE=BCDACEBCDAE=BD，CAE=CBD 又AOC=BOE，CAE=CBD，BHO=ACO=90点 P、M、N 分别为 AD、AB、DE 的中点，PM= BD，PMBD；PN= AE，PNAEPM=PNMGE+BHA=180MGE=90MPN=90PMPN （3）PM=kPN ACB 和ECD 是直角三角形，ACB=ECD=90ACB+BCE=ECD+BCEACE=BCDBC=kAC，CD=kCE， =kBCDACEBD=kAE 点 P、M、N 分别为 AD、AB、DE
38、 的中点，PM= BD，PN= AEPM=kPN23如图，已知抛物线经过原点 O，顶点为 A（1，1） ，且与直线 y=x2 交于 B，C 两点（1）求抛物线的解析式及点 C 的坐标；（2）求证：ABC 是直角三角形；（3）若点 N 为 x 轴上的一个动点，过点 N 作 MNx 轴与抛物线交于点 M，则是否存在以O，M，N 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由【考点】HF：二次函数综合题【分析】 （1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得 C 点坐标；（2）分别过 A、C 两点作 x 轴的垂线，交 x 轴于点
39、D、E 两点，结合 A、B、C 三点的坐标可求得ABO=CBO=45，可证得结论；（3）设出 N 点坐标，可表示出 M 点坐标，从而可表示出 MN、ON 的长度，当MON 和ABC相似时，利用三角形相似的性质可得 = 或 = ，可求得 N 点的坐标【解答】解：（1）顶点坐标为（1，1） ，设抛物线解析式为 y=a（x1） 2+1，又抛物线过原点，0=a（01） 2+1，解得 a=1，抛物线解析式为 y=（x1） 2+1，即 y=x 2+2x，联立抛物线和直线解析式可得 ，解得 或 ，B（2，0） ，C（1，3） ；（2）如图，分别过 A、C 两点作 x 轴的垂线，交 x 轴于点 D、E 两点，
40、则 AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，ABO=CBO=45，即ABC=90，ABC 是直角三角形；（3）假设存在满足条件的点 N，设 N（x，0） ，则 M（x，x 2+2x） ，ON=|x|，MN=|x 2+2x|，由（2）在 RtABD 和 RtCEB 中，可分别求得 AB= ，BC=3 ，MNx 轴于点 NABC=MNO=90，当ABC 和MNO 相似时有 = 或 = ，当 = 时，则有 = ，即|x|x+2|= |x|，当 x=0 时 M、O、N 不能构成三角形，x0，|x+2|= ，即x+2= ，解得 x= 或 x= ，此时 N 点坐标为（ ，0）或（ ，0） ；当 = 时，则有 = ，即|x|x+2|=3|x|，|x+2|=3，即x+2=3，解得 x=5 或 x=1，此时 N 点坐标为（1，0）或（5，0） ，综上可知存在满足条件的 N 点，其坐标为（ ，0）或（ ，0）或（1，0）或（5，0）
