1、精选高中模拟试卷第 1 页，共 17 页北林区外国语学校 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学班级_ 姓名_ 分数_一、选择题1 已知函数 f（x）=x 4cosx+mx2+x（m R），若导函数 f（x）在区间2，2上有最大值 10，则导函数f（x）在区间 2，2上的最小值为（ ）A12 B10 C 8 D62 设函数 ，则有（ ）Af（x）是奇函数， Bf（x）是奇函数， y=bxCf（x）是偶函数 Df （x）是偶函数，3 设集合 S=|x|x 1 或 x5，T=x|axa+8 ，且 ST=R，则实数 a 的取值范围是（ ）A3 a 1 B 3a1 Ca 3 或 a1 D
2、a3 或 a 14 在 的展开式中，含 项的系数为（ ）1025x2x（A） （ B ） （C ） （D） 0 45205 抛物线 E：y 2=2px（p0）的焦点为 F，点 A（0，2），若线段 AF 的中点 B 在抛物线上，则|BF|= （ ）A B C D6 在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，底面是边长为 2 的正方形，高为 4，则点 A1 到截面 AB1D1 的距离是（ ）A B C D7 在高校自主招生中，某学校获得 5 个推荐名额，其中清华大学 2 名，北京大学 2 名，复旦大学 1 名并且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加学校通过选拔定下 3 男 2 女共 5 个推荐
3、对象，则不同的推荐方法共有（ ）A20 种 B22 种 C24 种 D36 种精选高中模拟试卷第 2 页，共 17 页8 如图，半圆的直径 AB=6，O 为圆心，C 为半圆上不同于 A、B 的任意一点，若 P 为半径 OC 上的动点，则 的最小值为（ ）A B9 C D99 已知 （0，），且 sin+cos= ，则 tan=（ ）A B C D10设全集 U=1，2，3，4，5，集合 A=2，3，4，B=2，5，则 B（ UA）=（ ）A5 B1，2，5 C1，2，3，4，5 D11已知函数 f（x）=a x（a0 且 a1）在（0，2）内的值域是（1，a 2），则函数 y=f（x）的图象大
4、致是（ ）A B C D12已知 f（x）为定义在（0 ，+ ）上的可导函数，且 f（x）xf （x）恒成立，则不等式 x2f（ ） f（x）0 的解集为（ ）A（0，1） B（1，2） C（1，+） D（2，+）二、填空题13若正数 m、n 满足 mnmn=3，则点（m，0）到直线 xy+n=0 的距离最小值是 14命题“若 1x，则 241x”的否命题为 15过抛物线 y2=4x 的焦点作一条直线交抛物线于 A，B 两点，若线段 AB 的中点 M 的横坐标为 2，则|AB|等于 16设函数 f（x）= ，若 a=1，则 f（x）的最小值为 ；精选高中模拟试卷第 3 页，共 17 页若 f（
5、x）恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是 17已知函数 ， ，其图象上任意一点 处的切线的斜率 恒()lnfx(0,30(,)Pxy12k成立，则实数的取值范围是 18如图所示，正方体 ABCDABCD的棱长为 1，E、F 分别是棱 AA，CC 的中点，过直线 EF 的平面分别与棱 BB、DD 交于 M、N，设 BM=x，x 0，1，给出以下四个命题：平面 MENF平面 BDDB；当且仅当 x= 时，四边形 MENF 的面积最小；四边形 MENF 周长 l=f（x），x 0，1是单调函数；四棱锥 CMENF 的体积 v=h（x）为常函数；以上命题中真命题的序号为 三、解答题19（本小题满
6、分 12 分）已知函数 .2()xfeab（1）当 时，讨论函数 在区间 上零点的个数；0,()fx(0,)（2）证明：当 ， 时， .1,120已知函数 f（x）=lnx axb（a，b R）精选高中模拟试卷第 4 页，共 17 页（）若函数 f（x）在 x=1 处取得极值 1，求 a，b 的值（）讨论函数 f（x）在区间（ 1，+ ）上的单调性（）对于函数 f（x）图象上任意两点 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2）（x 1x 2），不等式 f（x 0）k 恒成立，其中 k 为直线 AB 的斜率，x 0=x1+（1）x 2，01，求 的取值范围21已知 f（x）=| x| + x|（
7、）关于 x 的不等式 f（x） a23a 恒成立，求实数 a 的取值范围；（）若 f（m）+f（n）=4，且 mn，求 m+n 的取值范围22已知函数 （a0）是奇函数，并且函数 f（x）的图象经过点（1，3），（1）求实数 a，b 的值；（2）求函数 f（x）的值域精选高中模拟试卷第 5 页，共 17 页23已知在等比数列a n中， a1=1，且 a2 是 a1 和 a31 的等差中项（1）求数列a n的通项公式；（2）若数列b n满足 b1+2b2+3b3+nbn=an（nN *），求 bn的通项公式 bn24（本小题满分 13 分）设 ，数列 满足： ， 1()fxna121(),nna
8、fN（）若 为方程 的两个不相等的实根，证明：数列 为等比数列；12,()fx 12na（）证明：存在实数 ，使得对 ， mN21nm）精选高中模拟试卷第 6 页，共 17 页北林区外国语学校 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1 【答案】C【解析】解：由已知得 f（x）=4x 3cosxx4sinx+2mx+1，令 g（x）=4x 3cosxx4sinx+2mx 是奇函数，由 f（x）的最大值为 10 知：g（x）的最大值为 9，最小值为9，从而 f（x）的最小值为 9+1=8故选 C【点评】本题考查了导数的计算、奇函数的最值的性质属于常规题，难度不大
9、2 【答案】C【解析】解：函数 f（x）的定义域为 R，关于原点对称又 f（ x）= = =f（x），所以 f（x）为偶函数而 f（ ）= = = =f（x），故选 C【点评】本题考查函数的奇偶性，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法3 【答案】A【解析】解：S=|x|x 1 或 x5，T=x|axa+8 ，且 ST=R ， ，解得： 3a 1故选：A【点评】本题考查并集及其运算，关键是明确两集合端点值间的关系，是基础题4 【答案】C 【解析】因为 ，所以 项只能在10101092525 2015()()()xxxCx 2x精选高中模拟试卷第 7 页，共 17 页展开式中，即为 ，系数为 故
10、选 C10()x210Cx21045.5 【答案】D【解析】解：依题意可知 F 坐标为（ ，0）B 的坐标为（ ，1）代入抛物线方程得 =1，解得 p= ，抛物线准线方程为 x= ，所以点 B 到抛物线准线的距离为 = ，则 B 到该抛物线焦点的距离为 故选 D6 【答案】C【解析】解：如图，设 A1C1B 1D1=O1，B 1D1A 1O1， B1D1AA 1，B 1D1平面 AA1O1，故平面 AA1O1面 AB1D1，交线为 AO1，在面 AA1O1 内过 B1 作 B1HAO 1 于 H，则易知 A1H 的长即是点 A1 到截面 AB1D1 的距离，在 RtA 1O1A 中，A 1O1
11、= ，AO1=3 ，由 A1O1A1A=hAO1，可得 A1H= ，故选：C【点评】本题主要考查了点到平面的距离，同时考查空间想象能力、推理与论证的能力，属于基础题7 【答案】C【解析】解：根据题意，分 2 种情况讨论：、第一类三个男生每个大学各推荐一人，两名女生分别推荐北京大学和清华大学，共有 =12 种推荐方法；、将三个男生分成两组分别推荐北京大学和清华大学，其余 2 个女生从剩下的 2 个大学中选，共有 =12 种推荐方法；精选高中模拟试卷第 8 页，共 17 页故共有 12+12=24 种推荐方法；故选：C8 【答案】C【解析】解：圆心 O 是直径 AB 的中点， + =2所以 =2
12、， 与 共线且方向相反当大小相等时点乘积最小由条件知当PO=PC= 时，最小值为2 =故选 C【点评】本题考查了向量在几何中的应用，结合图形分析是解决问题的关键9 【答案】D【解析】解：将 sin+cos= 两边平方得：（sin +cos） 2=1+2sincos= ，即 2sincos= 0，0 ， ，sincos0，（ sincos） 2=12sincos= ，即 sincos= ，联立解得：sin= ，cos= ，则 tan= 故选：D10【答案】B【解析】解：C UA=1，5B（ UA）=2，51，5=1，2，5故选 B11【答案】B【解析】解：函数 f（x）=a x（a0 且 a1）
13、在（0，2）内的值域是（1，a 2），则由于指数函数是单调函数，则有 a1，由底数大于 1 指数函数的图象上升，且在 x 轴上面，可知 B 正确精选高中模拟试卷第 9 页，共 17 页故选 B12【答案】C【解析】解：令 F（x）= ，（x0），则 F（x ）= ，f（ x） xf（x），F （x） 0，F（ x）为定义域上的减函数，由不等式 x2f（ ）f（x） 0，得： ， x， x1，故选：C二、填空题13【答案】 【解析】解：点（m，0）到直线 xy+n=0 的距离为 d= ，mnm n=3，（m1 ）（n1）=4，（m10，n10），（m1 ）+（n1）2 ，m+n6，则 d= 3
14、故答案为： 【点评】本题考查了的到直线的距离公式，考查了利用基本不等式求最值，是基础题14【答案】若 1x，则 241x【解析】试题分析：若 ，则 2，否命题要求条件和结论都否定精选高中模拟试卷第 10 页，共 17 页考点：否命题.15【答案】 6 【解析】解：由抛物线 y2=4x 可得 p=2设 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2）线段 AB 的中点 M 的横坐标为 2，x 1+x2=22=4直线 AB 过焦点 F，|AB|=x 1+x2+p=4+2=6故答案为：6【点评】本题考查了抛物线的过焦点的弦长公式、中点坐标公式，属于基础题16【答案】 a1 或 a2 【解析】解：当 a=1
15、 时， f（x）= ，当 x1 时，f（x）=2 x1 为增函数，f （x） 1，当 x1 时，f（x）=4（x 1）（x2）=4（x 23x+2）=4（x ） 21，当 1x 时，函数单调递减，当 x 时，函数单调递增，故当 x= 时，f（x） min=f（ ）=1，设 h（x）=2 xa，g（x）=4（xa）（x 2a）若在 x1 时，h（x）=与 x 轴有一个交点，所以 a0，并且当 x=1 时，h（1）=2a0，所以 0a 2，而函数 g（x）=4（x a）（x 2a）有一个交点，所以 2a1，且 a1，所以 a1，若函数 h（x）=2 xa 在 x1 时，与 x 轴没有交点，则函数
16、g（x）=4（x a）（x 2a）有两个交点，当 a0 时，h（x）与 x 轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当 h（1）=2 a0 时，即 a2 时，g（x）的两个交点满足 x1=a，x 2=2a，都是满足题意的，综上所述 a 的取值范围是 a1，或 a2精选高中模拟试卷第 11 页，共 17 页17【答案】 21a【解析】试题分析： ，因为 ，其图象上任意一点 处的切线的斜率 恒成立， 2()fx(0,3x0(,)Pxy12k， ， ， 恒成立，由 121ax0,3a21(,x21,a考点：导数的几何意义；不等式恒成立问题【易错点睛】本题主要考查了导数的几何意义；不等式恒成
17、立问题等知识点求函数的切线方程的注意事项：（1）首先应判断所给点是不是切点，如果不是，要先设出切点 （2）切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点代入两者的函数解析式建立方程组（3）在切点处的导数值就是切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件18【答案】 【解析】解：连结 BD，BD ，则由正方体的性质可知，EF平面 BDDB，所以平面 MENF平面BDDB，所以正确连结 MN，因为 EF平面 BDDB，所以 EFMN，四边形 MENF 的对角线 EF 是固定的，所以要使面积最小，则只需 MN 的长度最小即可，此时当 M 为棱的中点时，即 x= 时，此时 MN 长度最小，对应四边形MENF 的
18、面积最小所以正确因为 EFMN ，所以四边形 MENF 是菱形当 x0， 时，EM 的长度由大变小当 x ，1 时，EM的长度由小变大所以函数 L=f（x）不单调所以 错误连结 CE，CM，CN，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以 CEF 为底，以 M，N 分别为顶点的两个小棱锥因为三角形 CEF 的面积是个常数M，N 到平面 CEF 的距离是个常数，所以四棱锥 CMENF 的体积 V=h（ x）为常函数，所以正确故答案为：精选高中模拟试卷第 12 页，共 17 页【点评】本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强
19、，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高三、解答题19【答案】（1）当 时，有个公共点，当 时，有个公共点，当 时，有个公2(0,)4ea24ea2(,)4ea共点；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）零点的个数就是对应方程根的个数,分离变量可得 ,构造函数 ,利用 求2xea2()xeh()h出单调性可知 在 的最小值 ,根据原函数的单调性可讨论得零点个数；（2）构造函数()hx0,)()4eh,利用导数可判断 的单调性和极值情况,可证明 .12()1xex()1fx试题解析：当 时，有 0 个公共点；2(,)4ea当 ，有 1 个公共点；精选高中模拟试卷第 13 页，共 17 页当 有
20、2 个公共点.2(,)4ea（2）证明：设 ，则 ，2(1xhe()21xhe令 ，则 ，mxxm因为 ，所以，当 时， ； 在 上是减函数，1,ln0()m,ln2)当 时， ， 在 上是增函数，(ln2)()0x()2,1)考点：1.函数的极值；2.函数的单调性与导数的关系；3.不等式；4.函数的零点.【方法点睛】本题主要考查函数的极值，函数的单调性与导数的关系，不等式，函数的零点.有关零点问题一类题型是直接求零点,另一类是确定零点的个数.确定函数零点的常用方法:（1）解方程判定法,若方程易求解时用此法；（2）零点存在的判定定理法,常常要结合函数的性质,导数等知识；（3）数形结合法.在研究
21、函数零点,方程的根及图象交点的问题时,当从正面求解难以入手,可以转化为某一个易入手的等价问题求解,如求解含绝对值,分式,三角式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.20【答案】 【解析】解：（）f（x）的导数为 f（x）= a，由题意可得 f（ 1）=0，且 f（1）=1，即为 1a=0，且 ab=1，解得 a=1b= 2，经检验符合题意故 a=1，b= 2；（）由（）可得 f（x）= a，x1，0 1，若 a0，f （ x）0，f （x ）在（1，+）递增；精选高
22、中模拟试卷第 14 页，共 17 页0a1，x （1， ），f（x）0，x （ ，+）， f（x）0；a1，f （x） 0f （x）在（ 1，+）递减综上可得，a0，f（x）在（1，+）递增；0a1，f（x）在（1， ）递增，在（ ，+）递减；a1，f（x）在（1，+）递减（）f （x 0） = a= a，直线 AB 的斜率为 k= = = a，f（x 0）k ，即 x2x1ln x1+（1 ）x 2，即为 1ln +（1 ） ，令 t= 1，t 1lnt+（1）t，即 t1tlnt+（tlnt lnt）0 恒成立，令函数 g（t）=t 1tlnt+（tlntlnt），t1，当 0 时，g（t
23、）=lnt+（lnt+1 ）= ，令 （t）= tlnt+（tlnt+t 1），t1，（t） =1lnt+（2+lnt ）= （ 1）lnt+2 1，当 0 时， （t）0，（t ）在（1，+）递减，则 （t） （1）=0，故当 t1 时，g（t）0，则 g（t）在（1，+）递减， g（t ）g（1）=0 符合题意；当 1 时，（t）= （1）lnt+210，解得 1t ，精选高中模拟试卷第 15 页，共 17 页当 t（1， ），（t）0， （t）在（1， ）递增，（t ）（1）=0；当 t（1， ），g（t ）0，g（t）在（1， ）递增，g（t ）g（1）=0，则有当 t（1， ），g（
24、t）0 不合题意即有 0 【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查函数的单调性的运用，不等式恒成立思想的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键21【答案】 【解析】解：（）关于 x 的不等式 f（x）a 23a 恒成立，即| x| + x|a23a 恒成立由于 f（x）=| x| + x|= ，故 f（x）的最小值为2，2 a23a，求得 1a2（）由于 f（x）的最大值为 2，f （m ）2，f（n）2，若 f（m）+f（n）=4，m n ，m+n 5【点评】本题主要考查分段函数的应用，求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题22【答案】【解析】解：（1）函数 是奇函
25、数，则 f（x）=f （x） ，a0，x+b=xb， b=0（3 分）又函数 f（x）的图象经过点（ 1，3），f（1）=3 ， ，b=0，a=2（6 分）精选高中模拟试卷第 16 页，共 17 页（2）由（1）知 （7 分）当 x0 时， ，当且仅当 ，即 时取等号（10 分）当 x0 时， ，当且仅当 ，即 时取等号（13 分）综上可知函数 f（x）的值域为 （12 分）【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，转化函数研究性质是问题的关键23【答案】 【解析】解：（1）设等比数列a n的公比为 q，由 a2 是 a1 和 a31 的等差中项得：2a2=a1+a31， ，2q=q2，
26、q0，q=2 ， ；（2）n=1 时，由 b1+2b2+3b3+nbn=an，得 b1=a1=1n2 时，由 b1+2b2+3b3+nbn=an b1+2b2+3b3+（n1）b n1=an1得： ， 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查了数列的递推式，解答的关键是想到错位相减，是基础题24【答案】 【解析】解：证明： ， ， 2()10fxx21021精选高中模拟试卷第 17 页，共 17 页 ， （3 分）121 111122 222nnnnnaaaa， ，120a12数列 为等比数列 （4 分）n（）证明：设 ，则 512m()fm由 及 得 ， ， 12a1nna35a130am 在 上递减， ， ，（8 分）()fx0,)13()()fff241342ama下面用数学归纳法证明：当 时， N212nn当 时，命题成立 （9 分）假设当 时命题成立，即 ，那么nk212kkkkaa由 在 上递减得()fx0,)2122()()()()kfffmffa 22231kkkam由 得 ， ，312321kfff242kk当 时命题也成立， （12 分）n由知，对一切 命题成立，即存在实数 ，使得对 ， .nNnN122nnama
