1、1第九章 真空中的静电场一 选择题 B 1（基础训练 1） 图中所示为一沿 x 轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷线密度分别为 (x0)和 (x0)，则 Oxy 坐标平面上点 (0，a)处的场强 为 E(A) 0 (B) ia02(C) (D) ia04ji04【提示】：左侧与右侧半无限长带电直线在(0，a) 处产生的场强大小 E 、E 大小为：，方向如图。012Ea矢量叠加后，合场强大小为：，方向如图。0合 B 2（基础训练 2） 半径为 R 的“无限长” 均匀带电圆柱体的静电场中各点的电场强度的大小 E 与距轴线的距离 r 的关系曲线为： 【提示】：由场分布的轴对称性，作闭合圆柱面（
2、半径为 r，高度为 L）为高斯面。据 Guass 定理：S0Ed=iqA时，有： ，即：rR20rL0r2A时，有： ，即：20Rr=EA0R=rE C 3（基础训练 3） 如图所示，一个电荷为 q 的点电荷位于立方体的 A 角上，则通过侧面 abcd 的电场强度通量等于： A b c d a q E O r (C) E 1/r R E O r (A) E 1/r R E O r (B) E 1/r R E O r (D) E 1/r R E+E-E 合 O + x y (0, a)O + - x y (0, a)2(A) (B) 06q012q(C) (D) 024048【提示】：添加 7
3、个与如图相同的小立方体构成一个大立方体，使 A 处于大立方体的中心。则大立方体外围的六个正方形构成一个闭合的高斯面。由 Gauss 定理知，通过该高斯面的电通量为 。再据对称性可知，通过侧面 abcd 的电场强度通量等于 。0q 024q D 4（基础训练 6） 在点电荷+q 的电场中，若取图中P 点处为电势零点 ， 则 M 点的电势为 (A) (B) aq0a08(C) (D) 04q0【提示】： 220048PaMqVEdldraA B 5（自测提高 6） 如图所示，两个同心的均匀带电球面，内球面半径为 R1、带电荷Q1，外球面半径为 R2、带有电荷 Q2设无穷远处为电势零点，则在内球面之
4、内、距离球心为 r 处的 P 点的电势 U 为：(A) (B) (C) 0 (D) r021420104R104Q【提示】：根据带点球面在求内外激发电势的规律，以及电势叠加原理即可知结果。 C 6（自测提高 10）如图所示，在真空中半径分别为 R和 2R 的两个同心球面，其上分别均匀地带有电荷+ q 和3 q今将一电荷为+的带电粒子从内球面处由静止释放，则该粒子到达外球面时的动能为：(A) (B) (C) (D) Qq04RQq0208RR083【提示】：静电力做功 等于动能的增加。其中：()ABBUV； 0003428AqqVR 0003248qqRR代上即得结果。a a +q P M-3q
5、 q Q R 2R Q2 1O P rR2 1 3二填空题1（基础训练 12）如图所示，真空中两个正点电荷 Q，相距 2R若以其中一点电荷所在处 O 点为中心，以 R 为半径作高斯球面 S，则通过该球面的电场强度通量 ；若以 表示高斯面外法线方向的单位0/Q0r矢量，则高斯面上 a、b 两点的电场强度分别为 0； 205/18r【提示】：直接由高斯定理和场强叠加原理得到。2（基础训练 13） 两个平行的“无限大”均匀带电平面， 其电荷面密度分别为 和2 ，如图所示，则 A、B、C 三个区域的电场强度分别为：EA ，E B ，E C (设方向向右为正)030032【提示】：A、B、C 三个区域的
6、场强，为两 “无限大”均匀带电平面在该区域独自产生场强的矢量叠加。3（基础训练 15）真空中电荷分别为 q1和 q2的两个点电荷，当它们相距为 r 时，该电荷系统的相互作用电势能 W= 。(设当两个点电荷相距无穷远时电势能为零)。rq0214【提示】：根据电势能的定义，即将 q1和 q2的两个点电荷从该位置移至无穷远处电场力所做功。4（基础训练 17） AC 为一根长为 2l 的带电细棒，左半部均匀带有负电荷，右半部均匀带有正电荷。电荷线密度分别为和 ，如图所示。O 点在棒的延长线上，距 A 端的距离为lP 点在棒的垂直平分线上，到棒的垂直距离为 l以棒的中点B 为电势的零点。则 O 点电势
7、Uo ；P 点电势43n0Up_0_【提示】： 根据对称性及电势叠加原理，易知 P 点电势为 0，O点电势为：232004l ldxx5（自测提高 17） 一均匀静电场，电场强度 Vm-1，则点 a(3,2)和点jiE604b(1,0)之间的电势差 Uab210 3 V _ (点的坐标 x,y 以米计)。【提示】： 210 3 V(1,0) (1,)3246) 0baEdlijdijdxy AA6（自测提高 18） 真空中有一半径为 R 的半圆细环，均匀带电 Q，如图所示。设无穷远处为电势零点，则圆心 O 点处的电势 U ，若将一带电量为 q04/的点电荷从无穷远处移到圆心 O 点，则电场力做
8、功 A 。Rq【提示】：由电势叠加原理求得 O 点电势，而电场力做的功等于电势能的减少。l l lA B C OP PPPlR Q O O +QR S +Q ba 2 + 2 A B C 4三 计算题1 （基础训练 18） 将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为 ，四分之一圆弧 AB 的半径为 R，试求圆心 O 点的场强【解】：在 O 点建立坐标系如图所示。 半无限长直线 A在 O 点产生的场强： jiRE014半无限长直线 B在 O 点产生的场强： ji02四分之一圆弧段在 O 点产生的场强： jiRE034由场强叠加原理，O 点合场强为： ji03212（基础训练
9、 20） 真空中一立方体形的高斯面,边长 a0.1 m，位于图中所示位置已知空间的场强分布为： Ex=bx , Ey=0 , Ez=0 常量 b1000 N/(C m)试求通过该高斯面的电通量 【解】：通过 xa 处平面 1 的电场强度通量1 = -E1 S1= -b a3通过 x = 2a 处平面 2 的电场强度通量2 = E2 S2 = b a3O x z y a a a a O y x a 2a E1 E2 1 2 O B A y x 3E 2 1 OBA5其它平面的电场强度通量都为零因而通过该高斯面的总电场强度通量为=1+2 = b a3-b a3 = b a3 =1 Nm2/C3（基
10、础训练 21） 带电细线弯成半径为 R 的半圆形，电荷线密度为 =0sin，式中 0 为一常数， 为半径 R 与 x 轴所成的夹角，如图所示试求环心 O 处的电场强度【解】：在 处取电荷元，其电荷为dq =dl = 0Rsind它在 O 点产生的场强为 E0204sin在 x、y 轴上的二个分量 dEx=dEcos dEy=dEsin 对各分量分别求和：00cosin4REx Ry 0208d jjiyx04 （基础训练 23）如图所示，在电矩为 的电偶极子的电场中，将一电荷为 q 的点电荷从 Ap点沿半径为 R 的圆弧(圆心与电偶极子中心重合， R电偶极子正负电荷之间距离)移到 B 点，求此
11、过程中电场力所作的功【解】：用电势叠加原理可导出电偶极子在空间任意点的电势 304/rpU式中 为从电偶极子中心到场点的矢径r于是知： A、B 两点电势分别为 A BRpy R x d dEx dEy O dE dq y R x O 6204/RpUAB pq 从 A 移到 B 电场力作功( 与路径无关) 为 20/RqpqBA5（基础训练 24） 图示为一个均匀带电的球层，其电荷体密度为 ，球层内表面半径为 R1，外表面半径为 R2设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势【解】: 由高斯定理可知空腔内 E0，故带电球层的空腔是等势区，各点电势均为 U。 在球层内取半径为 rrdr 的薄球层
12、其电荷为 dq = 4r2dr该薄层电荷在球心处产生的电势为 00/整个带电球层在球心处产生的电势为 21000dd21 RrUR因为空腔内为等势区所以空腔内任一点的电势 U 为 210若根据电势定义 计算，也可。 lEd6（基础训练 25） 图中所示为一沿 x 轴放置的长度为 l 的不均匀带电细棒，其电荷线密度为 0 (x-a)， 0 为一常量取无穷远处为电势零点，求坐标原点 O 处的电势【解】：在任意位置 x 处取长度元 dx，其上带有电荷 dq=0 (xa)dx，它在 O 点产生的电势 U04O 点总电势 lalaxdUd40 alln07（基础训练 26） 一球体内均匀分布着电荷体密度
13、为 的正电荷,若保持电荷分布不变,在该球体挖去半径为 r 的一个小球体,球心为 ,两球O心间距离 ,如图所示. 求:在球形空腔内,球心 处的电场强度 .在dO 0E球体内 P 点处的电场强度 .设 、O 、P 三点在同一直径上，且E。【解】：挖去电荷体密度为 的小球，以形成球腔时的求电场问题，可在不挖时求出电场 ，而1E另在挖去处放上电荷体密度为 的同样大小的球体，求出电场 ，并令任意点的场强为此2二者的叠加，即可得： O R1 R2 Oa l xPr O / d d7210E在图(a)中，以 O 点为球心，d 为半径作球面为高斯面 S，可求出 O与 P 处场强的大小。 301 44ddSE有
14、： E1OE 1P= 3方向分别如图所示。 在图(b)中，以 O点为小球体的球心，可知在 O点 E2=0. 又以 O 为心，2d 为半径作球面为高斯面 S 可求得 P 点场强 E2P 032 /)(4)(4d rdSS2031rP(1) 求 O点的场强 . 由图(a)、(b)可得 OEO = E1O = 03d方向如图(c)所示。(2)求 P 点的场强 .由图(a)、(b)可得PE 230214drP方向如(d)图所示.8（基础训练 27） 两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为 R10.03 m 和R20.10 m已知两者的电势差为 450 V，求内球面上所带的电荷【解】：设内球上
15、所带电荷为 Q，则两球间的电场强度的大小为 (R1 rR 2)204rEE1PPE2PEP图(d)OOPE1O图(a)OOd EO=E1 O图(c)OPE2P -OrE2O=0图(b)E1P8两球的电势差 212104dRRrdQrEU2104R 2.1410 -9 C 120选做题：1（自测提高 29）真空中有一高 h20 cm、底面半径 R 10 cm 的圆锥体。在其顶点与底面中心连线的中点上置 q10 6 C 的点电荷，如图 9-54 所示 .。求通过该圆锥体侧面的电场强度通量。(真空介电常量 08.8510 -12 C2N-1m-2 ) 【解】：作高斯面为圆锥体侧面 和底部圆平面 构成
16、的封S侧 S底闭曲面 S，据高斯定理：（1）0/SEdqA即： （2）侧 底其中： 为通过底面圆平面的电通量。根据电场线的连续性，S底等于通过半径为 ，高度为 的球冠的电S底 2R2R通量，由于电场线与球冠各处面元法向一致，因此： 2220 0()2(1)4 4Sqq A底代入（2） ，求得 9.610 4m 2/CS侧【另法： 】21/0()()RRrdA底2（附录 B 附加题 1） 有人企图在如图所示的两块成一定夹角的带电金属平板间形成一种静电场，其电场线在垂直于两平板相交的线的平面上，为一系列疏密均匀的同心圆弧，这些圆弧的圆心在两板的交线上，这种静电场是否可能存在？理由如何？ 【解】：这种静电场不可能存在。可采用反证法证明。假设这种静电场存在，则沿着题图中的电场线分布，作如图所示的环路 L（有向的扇形闭合回路、放大图） ，此时有：12342341EdllEdllEdlAAA40由于题述静电场的电场线疏密均匀，故 E2、E 4 相等，而 ，有24l，显然与静电场的环路定理相矛盾，说明假设错误。因此，这种静电场不可能存在。LEdlA + -L1 234R q h
