1、第 四 篇 电 磁 学,研究对象不再是分离的实物，而是连续分布的场，用空间函数(如 等)描述其性质。,主要特点：,主要内容：,静电场、恒定磁场、变化中的电磁场.,第9 章 电荷与真空中的静电场,主要内容: 描述静电场的两基本物理量：电场强度 和电势 静电场的两个基本定理：高斯定理和环流定理 电势与电场的关系,主要任务： 研究相对于观察者静止的电荷在空间激发的电场静电场 的规律。,一、电荷,9.1 库仑定律与电场强度,电荷: 正电荷，负电荷。,电荷的基本性质：电荷与电荷之间存在相互作用，同性相斥；异性相吸。,电量：所带电荷的量值，用q表示，在SI制中，其单位为库仑(C)。,电荷守恒定律：孤立带电
2、系统中，无论发生什么变化，系统所具有的电量的代数和保持不变。,电 荷,静电现象,验电器,大小：与电量的乘积成正比，与距离平方成反比。,方向：沿其连线方向，同号相斥，异号相吸。,库仑定律（真空中两静止点电荷间作用力）：,二、库仑定律,点电荷（理想模型）：带电体线度与其间距相比很小时，可看作点电荷（忽略形状大小）。,电场是物质的一种特殊形态，不仅存在于带电体内，而且存在于带电体外，弥漫在整个空间。,（1）场和实物是物质存在的两种不同形式。 （2）电磁场同样具有质量、能量、动量等。 （3）电磁场一经产生就能单独存在，即使产生它的电荷已消失。 （4）电磁场可同时在空间叠加。,静电场的物质性：,力学性质
3、：对电场中电荷有作用力。,能量性质：电场力对电荷有作功的本领。,电场：电荷周围存在着的一种特殊物质。,静电场： 静止电荷所产生的电场,电荷,电荷,电场,三、电场和电场强度,试验电荷：,（1）正点电荷 （2）电量足够小,各处力学性质不同。,结论：,1、场中的不同点上放同样的试验电荷q0,2、场中的同一点放不同的试验电荷,结论：,（3）线度足够小,场源电荷:产生电场的点电荷、点电荷系、或带电体。,定义为电场强度,定义电场强度：,单位：NC-1或 Vm-1,大小:单位电荷在该点所受电场力,方向:与正试验电荷受力方向相同,讨论： 反映电场本身的性质, 与试验电荷无关。 电场强度是点函数 静电场, 均匀
4、电场：电场强度大小方向都相同 电场中电荷受力：,四、电场强度的计算,1点电荷q的电场,大小：,方向：,2、点电荷系的电场,电场强度叠加原理：,点电荷系电场中某点的电场强度等于各点电荷单独存在时在该点电场强度的矢量和。,3、连续带电体的电场,电荷元dq在P点的场强：,带电体在P点的场强：,体电荷：,把带电体看成电荷元dq 的集合:,面电荷：,线电荷：,具体步骤：,1、在带电体上任取电荷元 dq。,2、写出电荷元在空间所求点处场强,3、对称性分析，写出场强dE在各坐标轴上的分量 dEx、dEy、dEz,4、计算E：,例： 计算在电偶极子轴线延长线上任一点A的场强。,解：,电偶极子：,相距很近的两个
5、等量异号点电荷,电偶极矩：,例 ： 计算电偶极子中垂线上任一点B的场强。,解：,因为r l,所以,例：直角三角形ABC如图所示，AC为斜边，A点上有一点电荷q1=1.8 10-9C，B点上有一点电荷q2= - 4.8 10-9C.已知BC=0.04m，AB=0.03m，求C点的电场强度E（cos370.8, sin37 0.6 ）,A,B,q1,q2,解：,C,例：求长度为l，电荷线密度为的均匀带电直细棒周围空间的电场。,解：建立坐标系O-xy,x,电荷元,各dE方向不同，用分量积分：,dq在p点场强,统一变量：,P,2) 棒延长线上一点,讨论： 1) 无限长带电直线场强公式,r,dE,例：一
6、半径R的均匀带电细圆环，带电量为q，求其圆心处的电场强度E。,例：求半径为R 、带电量为q 的均匀带电细圆环轴线上的电场（已知 OP = x ）。,解：在圆环上取电荷元dq,由对称性可知,x,讨论：1. 环心处,2.,将无限大平面视为半径R 的圆盘,思路,练习: 无限大均匀带电平面的电场 ( 电荷面密度 )。,R,P,x,x,。,例.一根细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，其上均匀带电+q。求半圆中心P点的电场强度。,由对称性知：,P,沿x正向,曲线上各点切线方向即场强方向。,垂直通过单位面积的电场线条数，即曲线的疏密表示该点场强大小。,方向：,大小：,9.2 高斯定理及应用,一、电场线,定量研究
7、电场：对给定场源电荷求出其分布函数定性描述电场整体分布：电场线方法,规定电场线:,静电场中电场线的特点：,3、电场线密集处电场强，电场线稀疏处电场弱。,1、电场线起始于正电荷，终止于负电荷。,2、电场线不闭合，不相交。,几种常见的电场线：,二、电通量,通过电场中某给定面的电场线的总条数叫做通过该面的电通量。,(1) 通过面元的电通量,规定：外法线方向为正,(2) 通过曲面S的电通量,(3) 通过封闭曲面的电通量,三、真空中高斯定理,高斯面内电荷的代数和,真空中静电场内，通过任意封闭曲面(高斯面)的电通量等于该封闭曲面所包围的电量代数和的1/o倍：,在球面的总通量为零,验证高斯定理：,1.点电荷
8、在球形高斯面的圆心处,S,2.点电荷在任意形状的高斯面内,S1,S2,通过内外球面电场线数相等,通过内外球面的电场线也必通过任意闭曲面，,+,穿进曲面的电力线条数等于穿出曲面的电力线条数。,3.电荷q在闭合曲面以外,4.电荷q1.qk在闭合曲面内,（2）揭示了静电场中“场”和“源”的关系，表征了静电场是有源场的特性,讨论：,（1）仅闭合面内电荷对总通量有贡献。面内外所有电荷对面上总场强E均有贡献。,四、高斯定理的应用,求解条件：带电体的电场分布具有高度对称性,应用之一：计算电场强度,高斯定理计算场强步骤：,（1）分析电场对称性，作高斯面过场点。,（2）计算高斯面的电通量,（3）计算面内电荷代数
9、和,（4）据高斯定理求场强,高斯定理应用之二：计算通量,主要是封闭曲面，或能化为封闭曲面以简化运算。,每个面的通量,分析电荷在面上、棱上、角上时封闭面上通量大小。,分析电荷在角上时，每个面上的通量大小。,封闭面的通量,以S为高斯面由高斯定理：,例:求均匀带电球面(q、R)的电场分布。,解：,对称性分析 作半径为r的球面S，面上各点等价。,R,r,练习：求均匀带电球体的场强分布。（已知球体半径为R，电荷体密度为）,解：,（1）球外某点的场强,( r R ),（2）求球体内一点的场强,例.求无限长均匀带电直线( )的电场。,对称性分析： P点场强垂直带电直线 圆柱面上各点 地位等价,由高斯定理：,
10、无限大平板场强的分布,例. 求无限大均匀带电平面的电场 ( 电荷面密度 )。,解：,均匀电场 方向由的符号决定,例.计算两无限大均匀带异号电荷平面的场强分布。,解：,平面之间：,两平面外侧：,例 ：两块均匀无限大薄平板相互垂直，电荷面密度为+和 -。求空间各点的场强大小和方向，并画出电场线。,解：任一点由场强叠加原理,因为,所以得,（电场线）,高斯定理计算场强步骤：,（1）分析电场对称性，作高斯面过场点。,（2）计算高斯面的电通量,（3）计算面内电荷代数和,（4）据高斯定理求场强,高斯面选取原则：,静电场的保守性（保守力场） 静电场的另一重要性质：电场力做功与电荷移动路径无关。即静电场是保守场
11、。,描述电场状态,9.3 静电场的环路定理与电势,点电荷q的场中，试验电荷q0从a到 b,一、静电场的环路定理,结论：静电力做功只与检验电荷起点，终点的位置有关，与所通过的路径无关。,保守力作功的特点：,静电场的环流定理：,静电场强沿任意闭合路径的线积分为零。反映了静电场是保守场。,保守力有与其相关势能，静电场是有势场。,路径上各点总场强,保守力作功等于势能减少,qo在 a点的电势能：,试验电荷qo在空间某处电势能在数值上等于将qo从该处移至电势能零点电场力所作的功。,1.电势能,二、电势差和电势,令,单位: 焦耳(J),注意：电势能零点可任意选取，习惯上当场源电荷为有限带电体时，把电势能零点
12、取在无穷远处。,（1）电势能是标量，可正可负。,说明：,a点的电势能：,单位： 伏特（V）,把单位正电荷从a点移至零势能点电场力作的功。,与试验电荷有关不能描写场,a点电势：,单位正电荷在该点的电势能。,2. 电势,3.电势差：,将单位正电荷从a点移至b点静电力作的功。,点电荷q在场中沿任意路径从a到b场力作功:,只要知道初末状态的电势和所移动电荷的电量，就可以求得电场力作的功，不必知道中间过程。,方法一：场强积分法（定义）,（1）确定P至零势点积分路径上各点场强分布,（2）选零势点并取便于 计算的积分路径,三、电势的计算（两种基本方法）,常选无穷远或地球电势为零。电势差与电势的零点选取无关。
13、,a、b两点间电势差,例：点电荷电场的电势,q,r,p,正电荷场中，离源越远电势越低；负电荷场中，离源越远电势越高。,令,径向,点电荷系电场的电势,电势叠加原理：,点电荷系电场中任一点电势等于各点电荷单独存在时在该处的电势代数和。,方法二：电势叠加法,电荷元dq在P点的电势：,带电体在P点的电势：,体电荷：,线电荷：,面电荷：,任取电荷元dq :,连续带电体电场的电势,例.半径为R的均匀带电球面，带电量q。求电势分布。,解：,由电荷分布可知，电场沿径向,由高斯定理,rR，沿径向积分：,rR，沿径向积分：,R,例：一半径R的均匀带电细圆环，带电量为q，求其圆心处的电场强度E。,例：求其圆心处的电
14、势U,例. 均匀带电圆环，带电量为q，半径为R。求轴线上任一点（x处）P 的电势。,在圆环上取点电荷dq,解：,场强积分法,电势叠加法,场强积分法,例. 求无限大均匀带电平面()场中电势分布。,电荷无限分布，在有限远处选零势点.令 ，沿x轴方向积分：,例：带电量为q的均匀带电球面，沿半径方向有一长为 线电荷密度为 的均匀带电细棒，细棒近端离球心距离为a，求细棒在电场中受的电场力和电势能。,解：,在棒上取电荷元,dq受力：,棒受力：,dq的电势能：,棒的电势能：,例：试用高斯定理和场强环流定理证明：静电场中电力线为平行直线的无电荷区域，场强大小处处相等。,解：,E,再证垂直方向C、D场强相等,过
15、C、D作矩形环路,例. 如图所示，已知两点电荷电量分别为q1 = 3.010 -8C q2 = -3.0 10 -8 C。A 、B、C、D为电场中四个点，图中a=8.0 cm, r=6.0 cm。（1）今将电量为2.010-9 C的点电荷从无限远处移到A点，电场力作功多少？电势能增加多少？ （2）将此电荷从A点移到B点，电场力作多少功？电势能增加多少？（3）将此点电荷从C点移到D，电场力作多少功？电势能增加多少？,解：,（2）,（3）,练习：无限长均匀带电直线的电荷线密度为，电势零点选在距离直线r0的地点，如图所示。求直线外任一点P处的电势。,解：无限长均匀带电直线周围的电场强度：,P点的电势
16、：,高斯定理：,解：（1） R1rR2时，作半径为r 的高斯球面,（2） r R2：作半径为r 的高斯球面,练习：如图所示两个同心的带电球面，半径为R1和R2，分别均匀地带有电荷q1和q2。求： （1）两球面间的电场强度分布 ； （2）两球面外的电场强度分布 ； （3）两球面间的电势差。,（3）两球面间的电势差：,练习：如图所示为一沿 x 轴放置的长度为 l 的均匀带电细棒，其电荷线密度为，取无穷远处为电势零点。求O点处的电势。,解：建立坐标系O-xy,在任意位置 x 处取长度元dx，带电 dq = dx,dq在O点产生的电势,O点电势,练习：如图所示，A、B两点分别放置点电荷+q和-q，OC
17、D是以B点为圆心、R为半径的半圆弧。试求： （1）O点和D点的电势U0及UD； （2）将点电荷q0从O点沿半圆弧移到D点，电场力作的功； （3）将q0从D点沿任一路径移到无限远处，电场力作的功。,解：（1）点电荷产生的电势,O点的电势,D点的电势,解：（2）电场力作的功,（3）电场力作的功,练习：如图所示，A、B两点分别放置点电荷+q和-q，OCD是以B点为圆心、R为半径的半圆弧。试求： （1）O点和D点的电势U0及UD； （2）将点电荷q0从O点沿半圆弧移到D点，电场力作的功； （3）将q0从D点沿任一路径移到无限远处，电场力作的功。,跨步电压,四、等势面 电势梯度,等势面：电场中电势相等的点所组成的曲面。,规定：相邻等势面间电势差相等。密疏表场强大小。,点电荷的电场,等势面与电场线处处正交,电场线指向电势降低的方向,心脏周围的等势面,电偶极子的电场,电势梯度矢量：,场强与电势的微分关系,例. 均匀带电圆环，带电量为q，半径为R。求轴线上任一点（x处）P的场强。,在圆环上取点电荷dq,解：,电势叠加法,有源场,电场线,高斯定理,电势梯度,场强 ：,场强叠加,等势面,保守场,场强的计算：,电势 ：,小结：,静电场是保守场、有势场。,静电场的环流定理：,静电力作功等于势能的减少：,电势能：,电势：,电势的计算：,电势叠加,场强积分,电势差：,点电荷q在场中从a到b电场力作的功:,
