1、1,平面点集 和区域,多元函数 的极限,多元函数 连续的概念,极 限 运 算,多元连续函数 的性质,多元函数概念,一、主要内容,2,全微分 的应用,高阶偏导数,隐函数 求导法则,复合函数 求导法则,多元函数 求极值,全微分 概念,偏导数 概念,二重积分,概念性质,计算,直角 坐标 系下,极坐 标系 下,3,定义设有三个变量x，y，z，如果对于变量x，y的变化范围D内所取的每一对值，变量z都按照一定的规则，有一个确定的值与之对应，则称 z 为x，y 的二元函数，记作z=f(x,y) 或 z=z(x,y)， 其中x，y称为自变量，z称为函数(或因变量).自变量x，y的变化范围D称为函数的定义域.,
2、多元函数的概念,类似地可定义三元及三元以上函数,4,定义 设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一去心邻域内有 定义，如果动点P(x,y)在该邻域内以任意路径趋于定点 P0(x0,y0)时，函数的对应值f(x,y)趋于一个确定数A，则 称A为函数z=f(x,y)，当 时的极限，记作,或,二元函数的极限,5,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,6,二元函数的连续性,定义,等价定义,间断点.,7,偏导数的定义及其计算法,函数对 x 的偏增量,8,9,注意:1.,2.若二元函数f(x,y)在某点关于x关于y的
3、偏导数都存在， 则称此函数在这一点可导，否则称不可导.,10,11,由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的 微分法问题。,只要把 x 之外的其他自变量暂时看成,常量，对 x 求导数即可。,只要把 y 之外的其他自变量暂时看成,常量，对 y 求导数即可。,其它情况类似。,12,高阶偏导数,设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是z = f ( x , y ),的二阶偏导数 .,按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导,数:,13,混合偏导,纯偏导,14,全微分概念,15,多元函数连续、可导、可微的关系,16,全微分的应用,主要方面:近
4、似计算与误差估计.,17,一、全导数（复合函数中间变量是一元的情形）,定理. 若函数,处偏导连续,在点 t 可导,则复合函数,证略.,且有链式法则,18,推广:,中间变量多于两个的情形. 例如,设下面所涉及的函数都可微 .,19,二、二元复合函数求偏导 （复合函数的中间变量均为多元函数的情形.）,证略.,20,21,多元抽象复合函数求导在偏微分方程 变形与验证解的问题中经常遇到,下列几个 例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与 常用导数符号.,三、抽象函数求偏导数,22,定义,隐函数的显化,如果二元隐函数不易显化或不能显化时，方程两边也可以直接求导，求导的过程中把z视为x、y的二元函数z=f(x
5、,y).,二元隐函数求偏导,23,注：,24,多元函数的极值,定义,25,多元函数取得极值的条件,定义 一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的驻点.,极值点,注意,驻点,26,27,28,二元函数的最值,29,条件极值：对自变量有附加条件的极值,30,定义7.8,二重积分,31,对二重积分定义的说明：,由于二重积分的值与区域的分法和小区域上点的取法无关,故可采用一种便于计算的划分方式,在直角坐标系下,通常用平行于坐标轴的直线族把D分成一些小区域.,32,对二重积分定义的说明：,故二重积分可写为：,33,二、二重积分的性质,下面假定f(x,y),g(x,y)在闭区域D上连续,A为D的面积.,性
6、质1 线性性质,性质2 区域可加性,（与定积分的性质类似）,34,这里A为D的面积.,性质3,性质4,性质5 估值性质,35,性质6(二重积分的中值定理),证,由性质5知,得证.,36, 先 x 后 y, 先 y 后 x,注：交换积分次序并不是dx和dy的简单对调，实质是积分区域的转换.,交换积分次序,三、二重积分的计算,1. 直角坐标系下二重积分的计算,37,例,解,所以,例 题,例,解,38,例,解,小,39,例,C,解,所以,例,解,40,例,A,(A)不连续，偏导数存在 (B)连续，偏导数存在 (C)连续，偏导数不存在 (D)不连续，偏导数不存在,其值随 k 的不同而变化，极限不存在,故不连续,解,同理,41,例,解,42,例,解,方程化为,或,43,例,解,44,例,解,由实际问题，此时达到最大利润.,45,例,解,r=1,D,变换到极坐标系,46,例,解,47,
