1、1广东省深圳市普通高中 2017-2018 学年高二数学下学期4 月月考试题第 I 卷（选择题）一、单项选择1. 若 2 ai bi，其中 a， bR，i 是虚数单位，则 a2 b2( )A0 B2C. 5 D52. 已知 i 是虚数单位,则复数 i1)(2的虚部等于 ( )A. 1 B. C. i D. 13. 由曲线 xy1，直线 yx，y3 所围成的平面图形的面积为( )A.329 B2ln3C4ln3 D4ln34. 正弦函数是奇函数， f(x)sin( x21)是正弦函数，因此 f(x)sin( x21)是奇函数以上推理( )A结论正确 B大前提不正确C小前提不正确 D全不正确5.
2、若函数 1()axfeb的图象在 0处的切线 l与圆 2:1Cxy相离,则点 (,)Pab与圆 C 的位置关系是 ( )A.点在圆外 B.点在圆内 C.点在圆上 D.不能确定6. 函数 31yx 有（ ） A.极小值-1，极大值 1 B. 极小值-2，极大值 3 C.极小值-1，极大值 3 D. 极小值-2，极大值 27. 如图中阴影部分的面积是 （ ）A 23 B 923 C 2 D 358. 平面上有 n个圆,其中每两个都相交于两点,每三个都无公共点,它们将平面分成 )(f块区域,有 8)3(,4)(,)1(fff ,则 )(nf( )A. n2 B. 2nC. )3(2)(n D. 41
3、0539. 已知复数 1iz,则复数 z的共轭复数为( )A.1i B. C.1i D. 1i10. 下列函数中,在 ),0(上为增函数的是 （ ）A xy2sin B xey C 3 D )1ln(Oy(1,)x6211. 已知复数 1cos23inz和复数 2cos37inz,则21z为 ( )A. i3 B. i23 C. i21 D. i112. 设复数满足 izi2,则 z ( )A. 1 B. 1 C.12i D. i第 II 卷（非选择题）二、填空题13. 若函数 )(x、 g都是奇函数， ()()2fxabgx在(0,)上有最大值 5，则 ()2faxbg在 ,0上有最小值_。
4、14. 若 a0， b0，且函数 f(x)4 x3 ax22 bx2 在 x1 处有极值，则ab 的最大值为_15. 设 、 y为实数，且 iiyi351，则 yx= 。16. 设 2(13)40axd，则 二 项 式 26()ax展 开 式 中 不 含 3x项 的 系 数和 是 三、解答题17. 如图，在四棱锥 ABCDP中，侧棱 PA底面 BCD，底面ABCD为矩形， 2， E为 的上一点，且 E2，F为 PC 的中点.（）求证： /平面 AEC；（）求二面角 E的余弦值.18. 如图所示，已知在矩形 ABCD 中， AB=1， BC=a（ a0） ， PA平面 AC，且PA=1（1）试建
5、立适当的坐标系，并写出点 P、 B、 D 的坐标；（2）问当实数 a 在什么范围时， BC 边上能存在点 Q，使得 PQ QD？（3）当 BC 边上有且仅有一个点 Q 使得 PQ QD 时，求二面角 Q-PD-A 的大小19. 已知函数 2()()fxalnxR.(1)当 4a时,求 的最小值;(2)若函数 ()fx在区间 (0,1)上为单调函数,求实数 a的取值范围;(3)当 1t时,不等式 2()3ftft恒成立,求实数 的取值范围.20. 已知函数 xaxfln1)()RQPDCBAAPCBDEF3（1）讨论函数 )(xf在定义域内的极值点的个数；（2）若函数 在 1处取得极值，对 x)
6、,0(,)(bxf恒成立，求实数 b的取值范围.21. 已知 ()2(0)faax的图像在点 (1,)f处的切线与直线 21yx平行.（1）求 a，b 满足的关系式；（2）若 ()ln)f在 ,+上恒成立，求 a 的取值范围；（3）证明： 11ln(21)35（ *nN）22. 已知函数 2()lfxax()若 无极值点，但其导函数 ()f有零点，求 a的值；()若 )(xf有两个极值点，求 的取值范围，并证明 )(xf的极小值小于32参考答案一、单项选择1.【答案】D【解析】2 ai bi， b2， a1， a2 b25.故选 D.2.【答案】D3.【答案】D解析 如图，平面图形的面积为 3
7、1ydy 12y2lny| 314ln3.4.【答案】C【解析】由于函数 f(x)sin( x21)不是正弦函数，故小前提不正确5.【答案】B6.【答案】C7.【答案】C8.【答案】B9.【答案】A10.【答案】B【解析】 (0,)x，B 中的 0xye恒成立11.【答案】A12.【答案】B二、填空题13.【答案】-114.【答案】 9【解析】由题意， x1 是 f( x)12 x22 ax2 b 的一个零点，所以 122 a2 b0，即a b6( a0， b0)，因此 当且仅当 a b3 时等号成立15.【答案】416.【答案】161 6)()31(20320 xdx，所以 246a，二项式
8、为 62)(x，展开式的通项为 kkkkk xCCT)(31262 ，令 31，即 k，所以3364)(x，所以 3的系数为 06，令 x，得所有项的系数和为 1，所以不含 项的系数和为 1)0(.三、解答题17.【答案】建立如图所示空间直角坐标系 xyzA，设 )0,1(B，则 )02(，D， )1(，P，)0,21(C)31,4(E， )21,(F（）设平面 AEC 的一个法向量为 ),(zyxn， )31,40(E， )0,2(AC由 0ACnE得 02314yxz，令 1，得 ,2,又 1,BF 4)(BF， nBF， 平面 AEC /平面 AEC（）由（）知平面 AEC 的一个法向量
9、为 )4,12(，又 )1,0(AP为平面 ACD 的法向量，而 21,cosAPn，故二面角 DCE的余弦值为 21418.【答案】 （1）以 A 为坐标原点， AB、 AD、 AP 分别为 x、 y、 z 轴建立坐标系如图所示 PA=AB=1， BC=a， P（0，0，1） ， B（1，1，0） ，D（0， a，0） （2）设点 Q（1， x，0） ，则zQPDCBA yxMNxAPCBDEF yz(1,0),(1,)DQxaPx由 ，得 x2-ax+1=0显然当该方程有实数解时， BC 边上才存在点 Q，使得 PQ QD，故= a2-40因 a0，故 a 的取值范围为 a0（3）易见，当
10、 a=2 时， BC 上仅有一点满足题意，此时 x=1，即 Q 为 BC 的中点取 AD 的中点 M，过 M 作 MN PD，垂足为 N，连结 QM、 QN则 M（0，1，0） ，P（0，0，1） ， D（0，2，0） D、 N、 P 三点共线， (,1)(0,1)(,)又 (0,2)，且 NP，故 1232,103于是(0,)(,)2513M故 12(,)5NQNAB 02()05PD， MNQ 为所求二面角的平面角 6cos|NMQA，所求二面角为 arcos19.【答案】(1) 当 4时, 2()4lnfxx 2()1)xf当 1x时 函数 ()fx取最小值 3.(2) 2()0)af
11、设 2g(x=a依题意 0(1)g或 得 4a或 .(3) 当 t时 23ftft恒成立 当 1t时 2214ln0tta 恒成立设 ()gt 则 1212(2)()()t tatt ()tt(1)当 2a时 , 1()0gt则 ()t在 1,单调递增()tt时(2)当 时 ,设 2()htta(1)20ha有两个根,一个根大于 1,一个根小于 1.不妨设 t当 2,时 ()t 即 ()0gt ()t在 21,单调递减 ()10gt不满足已知条件.综上: a的取值范围为 2a.20.【答案】 （） xxf1)( ，当 0a时， 0在 ,上恒成立，函数 )(xf 在 ),0单调递减， )(xf在
12、 ),上没有极值点；当 0a时， (f得 1xa， ()f得 1xa， )(xf在 1,上递减，在 (,上递增，即 )(f在 处有极小值当 0a时 )(f在 ),0上没有极值点，当 时， xf在 ,上有一个极值点（）函数 )(在 1处取得极值， 1a， bxbxf ln2)( ，令 xxgln1)(，可得 )(xg在 2,0e上递减，在 ,2e上递增， 22min)(e，即 21b21.【答案】 （1） 2)(xaf，根据题意 2)(baf，即 2a（2）由（）知， ，令 xfgln)(xxln， 1,则 0)1(， a2)(= 2)(1a当 a时， 12 ，若 1x，则 ()0gx， ()在
13、 1,a为减函数，存在 ()10gx，即 ()2lnf在 1,上不恒成立 a时， a，当 x时， ()0gx， ()在 1,)增函数，又 (1)0g， ()0gx， ()2lnf恒成立综上所述，所求 的取值范围是 1,)（3）有（2）知当 a时， xfl(在 ,上恒成立取 1a得 xln2令 1nx， *N得 2ln12n，即 l)(2 )1(l1上式中令 n=1，2，3，n，并注意到： 21lnl()ln(21)然后 n 个不等式相加得到 13522.【答案】()首先， 0x aaxf 22)()(xf 有零点而 )(xf无极值点，表明该零点左右 )(xf 同号，故 0a，且012a的 .由
14、此可得 .21a （）由题意， 02xa有两不同的正根，故 ,.解得： 设 12x的两根为 21,x，不妨设 21x，因为在区间 ),(,021x上， 0)(f，而在区间 )(上， 0)(f ，故 是 )(f的极小值点.因 x在区间 ,21x上 f是减函数，如能证明 123,x则更有 23().fx由韦达定理， a21， aaaf 1lnl)()2(1 令 ,2ta其中 .设 3()lngtt ，利用导数容易证明 ()gt当 时单调递减，而(1)0g，因此 ()0t，即 xf的极小值 .0)(2xf （）另证：实际上，我们可以用反代的方式证明 f的极值均小于 32.由于两个极值点是方程 012xa的两个正根，所以反过来， 21xa（用 1x表示 的关系式与此相同） ，这样2 22 21()lnlnxfax即 22x，再证明该式小于 3是容易的（注意 21x，下略）.
