1、- 1 -江西省南昌市第二中学 2017-2018 学年高二数学下学期第一次月考试题 理满分：150 分 考试时间：120 分钟一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个正确每小题 5 分，共 60 分）1给出下列四个命题，其中正确的是 ( )空间四点共面，则其中必有三点共线； 空间四点不共面，则其中任何三点不共线；空间四点中存在三点共线，则此四点共面； 空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面A B C D2在空间中，下列命题正确的是（ ）A若直线 a/平面 ，直线 b/a，则 /； B若 /平面 ， /平面 ， ,，则 /C若 ,b， /,，则 / ； D若 / ， a，则 /平面3.
2、设 c,是三条不同的直线， ,是两个不同的平面，则能使 ba成立是( )A b B a,C /,aD b4如图所示，正方形 OABC的边长为 1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )A6 B8 C23 2D22 35已知 a、 b是异面直线， a平面 ， b平面 ，则 、 的位置关系是 （ ）A相交 B平行 C重合 D不能确定6 关于直线 ,mn与平面 ,，有以下四个命题：- 2 -若 /,mn且 /，则 /mn；若 ,n且 ，则 mn；若 且 ，则 ；若 /且 ，则 /；其中真命题的序号是 （ )A B C D7在四面体 PC中， AP、 、 两两垂直，且均相等， E是
3、 AB的中点，则异面直线 与 E所成的角为 （ ）A. 6 B. 4 C. 3 D. 28如图,各棱长均为 a的正三棱柱 1CBA， M、 N分别为线段BA1、 C上的动点,且 MN /平面 ,则这样的 有 ( )A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 无数条9从 点 P 引 三 条 射 线 PA、 PB、 PC,每 两 条 的 夹 角 都 是 60,则 二 面 角 B PA C 的 余 弦 值 是 （ ）A 12 B 3 C 13 D 3210某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为 0，则图中 x的值为（ ）A 3 B 1 C.2 D 511已知正三棱锥 PABC 的高 PO
4、的长为 h，点 D 为侧棱 PC 的中点，PO 与 BD 所成角的余弦值为 23，则正三棱锥 PABC 的体积为 （ ）A 8h B 328h C 38h D 34h 42403836343230282624xFEDCBAy 22侧侧侧- 3 -12如图，在三棱锥 BACD中， 3BADBC，3,2AB，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）A 192 B C 756 D 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请把答案填在题中横线上）13一个几何体按比例绘制的三视图如右图所示（单位: m） ，则该几何体的体积为14如图：长方体 ABCDA1B C D 中，AB=3，AD=A
5、A 1=2，E 为 AB 上一点，且 AE=2EB，F 为 CC1的中点，P 为 C D上动点，当 EFCP 时，PC 1= 15在直三棱柱 ABCA 1B C 中，ABBC 2，BB 2， ABC90 ，E、F 分别为 AA1、C B 的中点，沿棱柱的表面从 E 到 F 两点的最短路径的长度为 16如右图，三棱柱 1CBA中，E,F 分别是 AB、AB CDA1B1 C1D1EFP11俯视图1 11正视图1侧视图1BA BCEF1V24681012141618202DCBA- 4 -AC 的中点，平面 1BEFC将三棱柱分成体积为 21,V两部分，则 1V ： 2 .三解答题（本大题共 6
6、小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （本小题满分 10 分）如图四棱锥 PABCD，底面 ABCD 为矩形，侧棱 PA底面 ABCD，其中 BC=2AB=2PA=6，M、N 为侧棱 PC 上的三等分点。（）证明：AN平面 MBD；（）求三棱锥 NMBD 的体积。18 （本小题满分 12 分）如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的左视图、俯视图、直观图，在直观图中，M 是 BD 的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。（）求该几何体的表面积和体积；（）求点 C 到平面 MAB 的距离。A BCEDM4222左视图 俯视图 直观图- 5
7、-19 （本小题满分 12 分）如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，MD平面 ABCD，NB平面 ABCD，且 MD=NB=1，E 为 BC 的中点。（）求异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值；（）在线段 AN 上是否存在一点 S，使 ES平面 AMN？若存在，求线段 AS 的长；若不存在，请说明理由。20 （本小题满分 12 分）如图，在斜三棱柱 ABCA 1B1C1 中，侧面 AA1B1B底面 ABC，侧棱 AA1与底面 ABC 成 600的角， AA 1= 2底面 ABC 是边长为 2 的正三角形，其重心为G 点。E 是线段 BC1上一点，且 BE=3BC1 （）求证：
8、GE侧面 AA1B1B ；（）求平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角的正切值.- 6 -21 （本小题满分 12 分）已知动圆过定点 0,2，且在 x轴上截得的弦长为 4，记动圆圆心的轨迹为曲线 C（）求直线 42xy与曲线 C 围成的区域面积； （）点 P在直线 :0l上，点 ,1Q，过点 P作曲线 C 的切线 PA、 B，切点分别为 A、 B，证明：存在常数 ，使得 2|=AB，并求 的值22 （本小题满分 12 分）已知函数 1exf， ln1gkx（）求 fx的单调区间（）证明：当 0k时，方程 fxk在区间 0,上只有一个零点（）设 hxfg，其中 若 hx恒成立，求 k的取
9、值范围- 7 -参考答案一选择题：ADCBA DCDCC CA二填空题13 72； 14215 32； 16 75三解答题17 （）连结 AC 交 BD 于 O，连结 OM，底面 ABCD 为矩形，O 为 AC 的中点，M、N 为侧棱PC 上的三等分点，CM=MN，OMAN，OM 平面 MBD，AN平面 MBD，AN平面 MBD；（） 11933NMBDAMABDABVVSP18解：由题意知，EA 平面 ABC，DC 平面 ABC，AEDC，AE=2，DC=4，ABAC，且 AC=2。（）EA 平面 ABC，EA AB，又 ABAC，AB 平面 ACDE四棱锥 BACDE 的高 2hAB，又梯
10、形 ACDE 的面积 S=6 143ACDEVS，表面积 S= EDBCABEACDSSS22 24()()(532).（）M 到 AB 的距离 MN= 215，设 C 到面 MAB 的距离为 d，由 CABCV得：13MABSdH, 245.d19解法一：（）如图，以 D 为坐标原点，建立空间坐标系 Dxyz依题意，易得 D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，M(0,0,1)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E( 12,1,0). 1(,0)(1,0)2NEAM,A BCEDMNHA BCDMNESxyz- 8 -102cos, .|5NEAM异面直线 NE 与 AM 所
11、成角的余弦值为 1.0（）假设在 AN 上存在点 S，使得 ES平面 AMN， (0,1)AN设 (0,1),)ASN，又 1(,)2E (2E S平面 AMN，100122ESAMN此时 1(0,)2A， |2S，所以线段 AN 上存在点 S，且当 2A时，ES平面 AMN。解法二：（）延长 AD 至 F，使 DF=EB，连 EF,MF,BD，EB/DF，四边形 DBEF 为平行四边形，DB=EF，又 MD平面 ABCD，NB平面 ABCD，MDNB,又MD=NB，四边形 MNEF 为平行四边形。MF=BD，四边形 MNEF 为平行四边形。MF=NE，AMF 为异面直线 AM 与 NE 所成
12、的角或它的补角。 553,2,2NEAMFA在AMF 中，210cosFM,异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值为 .（）存在点 S 为 AN 的中点，使 ES平面 AMN，取 AN 的中点 S，连结 ES，再取 AM,DC 的中点 R,P，连结RS,RP,EP。则 EP= 12BD，RS= MN又 MD=NB，MNBD 为平行四边形。A BCDMNEFRSP- 9 -MN=BD，EP=RS，SE=RP， 52NEA，S 为 AN 中点SEAN，同理 RPAM，ESAM，又 AMAN=A，ES平面 AMNAN= 2,S 为 AN 的中点， 2S。线段 AN 上存在点 S， 使 ES平面 A
13、MN。此时 2AS。20 （解法一：(1)延长 B1E 交 BC 于 F, B 1EC1FEB, BE 21 1 2 1 1 ，从而为的中点为 的重心，、三点共线，且 FAG 1BE31，GEAB 1，又 GE侧面 AA1B1B， GE侧面 AA1B1B （）在侧面 AA1B1B 内，过 B1作 B1，垂足为，侧面 AA1B1B底面ABC，B 1底面 ABC又侧棱 AA1与底面 ABC 成 600的角， AA 1= 2，B 1 0，B 1 3在底面 ABC 内，过作，垂足为，连 B1由三垂线定理有 B1，又平面 B1GE 与底面 ABC 的交线为，B 1为所求二面角的平面角 ， 0， sin3
14、0 0 23，在B 1中，B 1 HT1 32.解法二：向量法（略）21：（）设动圆圆心的坐标为 ,xy，由题意可得， 222|yxy，化简得24xy， 联立方程组240，解得14或 ，所以直线- 10 -420xy与曲线 C 围成的区域面积为 221948xdx； （）设 1,A、 2,Bxy，则由题意可得，切线 PA的方程为 12xy，切线 PB的方程为 2，再设点 0,xy，从而有 100122xy，所以可得出直线 AB 的方程为 200000142y y，即 02xy 联立方程组024xy，得 204xy，又 02x，所以有200x，可得 12048x， 222000| 1369PQx
15、yxx，22111212244QABy21121264xx200020488696xxx，所以常数 |=PQAB22 解析（ 1）由已知 11eexxxf ，令 0f，则 1x，令0fx，则 ，故 fx的单调减区间为 ,1，单调增区间为 1,（ 2）设 1extk， 0k，则 extx，由（ 1）可知 x在 ,，上单调递增，且 0k， 1eekkt，- 11 - tx在 0,上只有 1个零点，故当 0k，方程 fxk在区间 0,上只有一个零点（ 3） 1eln1xhfxg， ， h的定义域是 0x，1exkx 1xk，令 0hx，则 1exk，由（ 2）得 t，在区间 0,上只有一个零点，且是增函数，不妨设 tx的零点是 0x，则当 ,时， tx，即 hx， x单调递减当 1x时， 0，即 0， 单调递增，函数 h的最小值为 x， 010eln1xkx由 01exk，得 01exk，故 001lnxhk，根据题意 0，即 ln，解得 ke，故实数 的取值范围是 (0,e
