1、北京航空航天大学 材料力学课件 Chapt8-2004本文由 KedanJ贡献ppt文档可能在 WAP端浏览体验不佳。建议您优先选择 TXT，或下载源文件到本机查看。Chapter 8 Strength Analysis of Complex State of Stresses 复杂应力状态强度问题 1 Introduction 引言 2 Criteria of Fracture 关于断裂的强度理论 3 Criteria of Yield 关于屈服的强度理论 4 Application of strength criteria 强度理论的应用 5 Combined deformation pr
2、oblems involving bending, tension (compression) and twisting 弯扭 与弯拉(压 扭组合变形 与弯拉 压)扭组合变形 6 Strength of thin-walled circular cylinders under internal pressure 承压薄壁圆筒强度计算 7 Mohr Criterion 莫尔强度理论1 Introduction 引 言Strength problems of complex state of stresses 复杂应力状态强度问题 Modes of failure of materials und
3、er static load材料静荷破坏形式 材料静荷破坏形式 材料 Failure Criteria强度理论 强度理论Strength problems of complex state of stresses复杂应力状态强度问题单向应力与纯剪切一般复杂应力状态max unmax unu , u由试验测定每种比值情况下 的极限应力， 的极限应力，很 难由试验测定本章研究：材料在静态复杂应力状态下的破坏 或失效的规律，及其在构件强度分析中的应用Modes of Failure of materials under static load材料静荷破坏形式 材料静荷破坏形式Phenomenon:
4、Failure by Lost StrengthRupture or Yield塑性材料 脆性材料断裂断裂破坏形式与原因初步分析 屈服或滑移可能是 max 过大所引起 断裂 断裂可能是 t,max 或 t,max 过大所引起Failure Criteria 强度理论关于材料在静态复杂应力状态下 破坏或失效规律的学说或假说 强度理论 两类破坏形式断裂 ? ? ?屈服两类强度理论目前常用的强度理论： 关于断裂的强度理论 最大拉应力理论 最大拉应变理论 关于屈服的强度理论 最大切应力理论 畸变能理论2 Criteria of Fracture 关于断裂的强度理论Maximum Tensile-Str
5、ess Criterion 最大拉应力理论 Maximum Tensile-Strain Criterion 最大拉应变理论 Experimental Validation试验验证 试验验证 Examples 例题 例题Maximum Tensile-Stress Criterion最大拉应力理论最大拉应力理论-第一强度理论Failure is governed largely by the maximum principal tensile stress 引起材料断裂的主要因素最大拉应力 1 引起材料断裂的主要因素 不论材料处于何种应力状态， 不论材料处于何种应力状态，只要最大拉应力 1 达
6、到 材料单向拉伸断裂时的最大拉应力 b，材料即发生断裂1 =b材料的断裂条件强度条件断裂1 bn1 =bn断裂1 构件危险点处的最大拉应力 材料单向拉伸时的许用应力 适用： 适用： t . max c. min如果材料仅受压应力，显然第一强度理论失效? 如果材料仅受压应力，显然第一强度理论失效?FMaximum Tensile-Strain Criterion最大拉应变理论最大拉应变理论-第二强度理论Failure is governed largely by the maximum principal tensile strain引起材料断裂的主要因素最大拉应变 1 引起材料断裂的主要因素
7、引起材料断裂的主要因素 不论材料处于何种应力状态， 不论材料处于何种应力状态，当 1 = 1u,单拉时, 材料断裂1 1 = 1 ? (2 +3 ) EF单向拉伸断裂时: 单向拉伸断裂时:1 =b 2 =3 =0 1u,单拉 =bE1 ? (2 +3 ) =b材料的断裂条件1 ? (2 +3 ) =b材料的断裂条件强度条件1 ? (2 +3 ) 1 构件危险点处的最大拉应力 材料单向拉伸时的许用应力r,2 =1 ? (2 +3 ) r相当应力或折算应力 相当应力 折算应力与复杂应力状态之作用（ 与复杂应力状态之作用（指受力或变形 或能量等） 或能量等）等效的单向应力状态之应力r2第二强度理论的
8、相当应力 第二强度理论的相当应力 与复杂应力状态产生相同最大拉应变的单向应力状态之应力Validation试验验证 Experimental Validation 试验验证铸铁二向 断裂试验在二向拉伸以及压应力值 超过拉应力值不多的二向拉伸 压缩应力状态下，最大拉应 力理论与试验结果相当接近 当压应力值超过拉应力值 时，最大拉应变理论与试验结 果大致相符c 铸铁压缩断裂 1 = 0, 2 = 0, 3 = ? bc t b = b 代入断裂条件 = 0.23 0.27c t b = 3 4 b大致与实验符合求脆性材料与的关系 求脆性材料与的关系 纯剪 1 = , 2 = 0, 3 = ? 直接
9、实验 按第一强度理论 r1 = = 按第二强度理论 r,2 =1 ? (2 +3 ) r 2 = + 1 = 1+ 1+ 如取 =0.25, =0.8， 如取 =0.25, =0.8，脆性材料： 脆性材料：通常取 =0.81例 题例 2-1 铸铁构件危险点处受力如图, 试校核强度，=30 MPa 解：Pa y =20 M Pa x =?10 M Pa x =?15 Mmax ? x +y ?x ? y ? 2 ? 26.2M Pa ?= 2 ? 2 ? +x =? min ? Pa ?16.2 M ? ?21 =26.2 M 2 =0 3 =?16.2M Pa PaQ 3 1宜用第一强度理论考
10、虑强度问题1 3 Criteria of Yield 关于屈服的强度理论Maximum shearing stress criterion (Trescas criterion) 最大切应力理论 Distortion energy theory (Misess criterion)畸变能理论 畸变能理论 Experimental Validation 试验验证 试验验证Maximum shearing stress criterion (Trescas criterion)最大切应力理论最大切应力理论-第三强度理论Yielding of a ductile material under com
11、bined stresses is governed largely by the maximum shear stress 引起材料屈服的主要因素 引起材料屈服的主要因素最大切应力 max 不论材料处于何种应力状态， 不论材料处于何种应力状态，当 m =s,单拉 时, 材料屈服 ax s ?0 s 1 ?3 s,单拉= max = =2 2 21 ?3 =s材料的屈服条件强度条件r,3 =1 ?3 1 , 3 构件危险点处的工作应力 材料单向拉伸时的许用应力The use of this criterion was first suggested by Tresca in 1878Disto
12、rtion energy theory (Misess criterion)畸变能理论-第四强度理论Yielding of a ductile material is governed by a critical value of the strain energy of distortion. 引起材料屈服的主要因素畸变能 引起材料屈服的主要因素畸变能, 其密度为 vd 不论材料处于何种应力状态， 不论材料处于何种应力状态，当 vd = vds,单拉时, 材料屈服 1+ 2 1+ 2 2 2 vds,单拉 = s vd = (1 ?2 ) +(2 ?3 ) +(3 ?1) 3E 6E 6E1
13、 (1 ?2 )2 + (2 ?3 )2 +(3 ?1)2 =s屈服条件 2 强度条件 r4 = 1 (1 ?2 )2 +(2 ?3 )2 +(3 ?1)2 21 , 2 , 3 构件危险点处的工作应力 材料单向拉伸时的许用应力Von Mises stressThis criterion was first suggested by von Mises in 1913Validation试验验证 Experimental Validation 试验验证钢、铝 二向屈 服试验最大切应力理论与畸 变能理论与试验结果 均相当接近，后者符 合更好The hexagon is sometimes cal
14、led a yield envelope.求塑性材料与的关系 直接实验 按第三强度理论 r 3 = ? (? ) 2 = 0.5 3 3按第四强度理论 r 4 = =1 2 + 2 + (2 )2 23 = 0.577 3塑性材料一般取 =0.5 0.64 Application of strength criteria 强度理论的应用Choices of strength criteria 强度理论的选用 Strength criteria for a common type of state of stress 一种常见应力状态的强度条件 Allowable shear stress 纯剪
15、切许用应力 Examples 例题Choices of strength criteria强度理论的选用 强度理论的选用一般情况r.n 脆性材料：抵抗断裂的能力 抵抗滑移的能力 塑性材料：抵抗滑移的能力 抵抗断裂的能力 第一与第二强度理论，一般适用于脆性材料t c max min t c max minr1 =1r2 =1 ? (2 +3 )第三与第四强度理论，一般适用于脆性材料r3 =1 ?31 r4 = 2(1 ?2 )2 +(2 ?3 )2 +(3 ?1)2全面考虑 材料的失效形式， 材料的失效形式，不仅与材料 性质有关， 性质有关，且与应力状态形式 、温度与加载速率等有关 联合强度理论
16、max b低碳钢三向等拉， 低碳钢三向等拉，max = (1 ?3)/ 2 = 0 , 断裂 海底岩石三向等压：塑性变形 海底岩石三向等压： 脆性材料 塑性材料 maxb b max b max b max max b低碳钢拉伸、 低碳钢拉伸、 铸铁受压断 口分析低碳钢， 低碳钢，低温断裂Strength criteria for a common type of state of stress 一种常见应力状态的强度条件 单向、纯剪切联合作用max ? x + y ?x ? y ? 2 ?= 2 ? 2 ? +x min ? ? ?2max ? +0 ?= 2 min ? ?0? + 2 =
17、1( 2 +4 2 ) ? ?22 ?21 ? 1 = ( 2 +4 2 ) ? 2 3 ? 塑性材料： 塑性材料：2 =0r3 = 2 +4 2 r4 = 2 +3 2 Allowable shear stress 纯剪切许用应力r3 = 2 +4 2 r4 = 2 +3 2 纯剪切情况下（ 纯剪切情况下（= 0） ） 塑性材料: 塑性材料r3 =2 2 = 2r4 = 3 = 33 =(0.50.577)例 题例 4-1 钢梁, F=210 kN, = 160MPa, h = 250 mm, b = 113 mm, t =10mm, = 13mm, Iz = 5.25 10-5 m4, 校
18、核强度解：1. 问题分析危险截面截面 C+F max =140k , Mmax =5.6104 N?m N S危险点：横截面上下边缘；中性轴处； 腹板翼缘交界处 2. max 与 max 作用处强度校核max =Mmax Mmaxh = Pa =133.3M W 2Iz zF max 2 Pa max = bh ?(b?t)(h?2 ) =63.1M 2 8Izt采用第三强度理论 =0.5 =80M Pamax 3. 腹板翼缘交界处强度校核M ax ? h ? Pa a = m ? ? ?=119.5 M Iz ? 2 ? F max b 2 F max b (h? ) 2 Pa =46.4
19、M h ?(h?2 ) = a = 8Izt 2Izt如采用第三强度理论2 Pa r3 = a +4 a =151.3M 24. 讨论对短而高薄壁截面梁, 除应校核 max 作用处的强度 外,还应校核 max 作用处, 及腹板翼缘交界处的强度5 Combined deformation problems involving bending, tension (compression) and twisting 弯扭与弯拉( 弯扭与弯拉(压)扭组合变形Combinations of bending and twisting 弯扭组合 Combinations of bending, tensio
20、n (compression) and twisting 弯拉(压)扭组合强度计算 弯拉( Combined deformation of a bar with rectangular cross-section矩形截面杆组合变形一般情况 矩形截面杆组合变形一般情况 Examples 例题组合变形： 组合变形：由外力引起的变形包括两种或三种基本变形， 拉压、扭转、弯曲的组合 的组合。 由外力引起的变形包括两种或三种基本变形，即拉压、扭转、弯曲的组合。 外力分解： 一、外力分解：基本变形 轴向载荷：向轴线简化沿轴线力+ 轴向载荷：向轴线简化沿轴线力+弯曲力偶 横向载荷：向剪心简化(对称截面剪心与
21、形心重合)横向力+ 横向载荷：向剪心简化(对称截面剪心与形心重合)横向力+扭转力偶 )横向力 二、内力计算 分别计算各基本变形内力，画出轴力、扭矩或弯矩图， 分别计算各基本变形内力，画出轴力、扭矩或弯矩图，确定危险截面 三、三种基本变形的应力公式 1.拉压 合外力过截面形心) 1.拉压 (合外力过截面形心) = A 2.扭转 2.扭转 圆(管) =T IpN max =T Wp闭口薄壁 =T 2?t max =3Q (矩形) 2A3.弯曲(对称弯曲) 3.弯曲(对称弯曲) 弯曲 M M = y max =Iz薄壁： 薄壁： =QS z ( ) I ztWzQS z ( ) 3Q ? 4 y 2
22、 ? ?1 ? 2 ? = = I zb 2bh ? h ? ? ?四、强度计算 应力叠加确定危险点 确定危险点求相当应力 应力叠加 确定危险点 求相当应力 弯拉( 1. Combined bending and axial load 弯拉(压)组合 max =N M max + A Wz(eccentric load） (eccentric axial load）适用范围： 适用范围：变形与横截面高度相比可忽略 torsion弯扭组合 2. Combined bending and torsion 弯扭组合 3. Combined Bending , Torsion and Tension
23、(Compression) 拉弯扭组合 bar 圆轴 圆轴) (Circular bar 圆轴)Combinations of bending and twisting弯扭组合 弯扭组合Critical section危险截面截面 危险截面 危险截面 截面 A Critical points危 险 点 a 与 b 危M = MWT = T = TW 2 W pThe resultant states of stress can be determined by superposition 应力状态单向 应力状态单向纯剪切 Failure Criteria强度条件（塑性材料 圆截面） 强度条件（
24、 强度条件 塑性材料, 圆截面）2 r3 = M+4 T 2 2 r4 = M+3 T 2M2 +T2 r3 = WM2 +0.75T2 r4 = WCombinations of bending, tension (compression) and torsion弯拉( 弯拉(压)扭组合Critical section危险截面截面 危险截面 危险截面 截面 A Critical points危 险 点 a 危 F a =M +N = M+ NW A a =T = T = T W 2 W pResultant states of stress 应力状态单向 应力状态单向纯剪切 Failure
25、Criteria 强度条件（塑性材料） 强度条件（塑性材料）r3 = (M+N)2 +4 T 2r4 = (M+N)2 +3 T 2Combined deformation of a bar with rectangular crosscross-section矩形截面杆组合变形一般情况 图示钢质曲柄，试分析截面 B 的强度F y =Fy Mz =Fyl S T =FyaF =F My =F a N x x ? My , Mz , F N ?T, F y Sa 点-正应力最大b 点-切应力最大 c 点-切应力相当大危险点 a, b, ca点处b点处c点处例题例 4-1 图示钢质传动轴，Fy =
26、 3.64 kN, Fz= 10 kN, Fz 图示钢质传动轴， =1.82 kN, Fy = 5 kN, D1 = 0.2 m, D2 = 0.4 m, = 100 MPa, 轴径 d=52 mm, 试按第四强度理论校核轴的强度解：1. 外力分析M= 1F D FD z 1 = M2 = y 2 =1k ?m N 2 22. 内力分析 M1 , M2 Fy , Fy Fz , FzT图 Mz 图 My 图2 2 M= My +Mz max = M WBC段 M 图 凹曲线 段3. 强度校核 弯扭组合 危险截面截面 危险截面截面 BMB =1.064kN?m TB =1.0k ?m N2 MB
27、 +0.75T2 B r4 = W 2 32 MB +0.75T2 B r4 = Pa =99.4 M d48-17 图示圆截面圆环，缺口处承受一对相距极近的载荷 F 作 用。已知圆环轴线的半径为 R ，截面的直径为 d ，材料的许 用应力为 ，试根据第三强度理论确定 F 的许用值。 解： 危险截面在 A或 B 截面 A：M=0, T=2RF A T 2 FR 32 FR = = = =0 3 3WpddB截面 B：M=T=FRM FR 32 FR = = = 3 Wz d d 3 3216=T FR 16 FR = = 3 W p d d 3 16得：由第三强度理论可见，危险截面为 A截面。
28、 64 FR 32 FR 32 FR 1 ? 3 = 1 = = 3 = ? = ? 3 3 3 d d d 3 d F 64 R6 Strength of thin-walled circular cylinders under internal pressure承压薄壁圆筒的强度计算 Thin-walled circular cylinders薄壁圆筒 薄壁圆筒 Stresses of thin-walled circular cylinders under internal pressure承压薄壁圆筒应力分析 承压薄壁圆筒应力分析 承压薄壁圆筒 Strength of thin-wal
29、led circular cylinders under internal pressure承压薄壁圆筒强度条件 承压薄壁圆筒强度条件 承压薄壁圆筒 Examples 例题 例题Thin-walled circular cylinders薄壁圆筒 薄壁圆筒 薄壁Stresses of thin-walled circular cylinders under internal pressure 承压薄壁圆筒应力分析横与纵截面上均存在的正应力，对于 薄壁圆筒，可认为沿壁厚均匀分布Axial stress 轴向应力D2 F = p? R4pD2 1 x = ? 4 D x =pD 4Circumfe
30、rential stress周向应力2 t (1? )? p(1? D)=0 pD t = 2 1Radial stress径向应力r max = pr max p 2 = = t pD D 2 Q D/20 般 略 计 r 一 忽 不Strength of thin-walled circular cylinders under internal pressure承压薄壁圆筒强度条件 承压薄壁圆筒强度条件 承压薄壁圆筒t =pD 2x =pD 4r max = p仅适用于的 D/20 薄壁圆筒 Failure Criteria 强度条件1 =t =pD 2 2 =x =pD 43 =0Bri
31、ttle materials脆性材料： 脆性材料： 脆性材料pD r1 = 2 pD (2? ) r2 = 4Ductile materials塑性材料： 塑性材料： 塑性材料r3 =pD 2 r4 =3pD 4例 题例 5-1 已知 , E, , M = 3p/4。 已知: D 。 按第三强度理论建立筒体强度条件 计算筒体轴向变形解：1. 应力分析pD t = 2 pD x = 4t = 2M = D2 2pDmax ? x +t ?x ?t ?2 2 3 17 pD ?= 2 ? 2 ? +t = 8 ? min ? ? ? 1 ? 3 17 pD 2 =0 ?= 8 ? 3 ?2. 强度
32、分析1 ? 3 17 pD ?= 8 ? 3 ?2 =017pD 4r3 =1 ?3 =3. 轴向变形分析x = 1 (x ?t )El ?lx =xl = (x ?t ) Elx =pDl (1?2) 4EProblem An air vessel, which is made of steel, is 2 m long; it has an external diameter of 45 cm and is 1 cm thick. Find the increase of external diameter and the increase of length when charged t
33、o an internal air pressure of 1 MN/m2. Solution For steel, we take E = 200 GPa , v = 0.3. The circumferential stress ispD (1106 )(0.45) 1 =t = Pa = = 22.5M 2 20.01 The longitudinal stress is pD 2 =x = Pa =11.25M 4 The circumferential strain is thereforeThe longitudinal strain isThe increase in exter
34、nal diameter is then 0.450 (0.957 10-4) = 0.430 10-4 m = 0.0043 cm The increase in length is 2 (0.225 10 -4) = 0.450 10-4 m = 0.0045 cm球形薄壁容器，其内径为 D 壁厚为 8-25 球形薄壁容器，其内径为 D ，壁厚为 ，承受压强为 p之 内压。 内压。试证明壁内任一点处的主应力为 1 =2 = pD 3 04证明： 由于结构和受力均对称于 证明：以球心为原点取球坐标 ， 球心，故球壁各点的应力状态相同。 球心，故球壁各点的应力状态相同。且由 于球壁很薄, 对于
35、球壁各点， 于球壁很薄, 对于球壁各点，r 0 =? =t对于球壁上的任一点， 对于球壁上的任一点，取通过该点的直径 平面， 平面，由平衡条件 对于球壁内的任一点， 对于球壁内的任一点， r = D 2t ? 2(r + )? = p?r22pD t 4因此，球壁内的任一点的应力状态为： 因此，球壁内的任一点的应力状态为： = = pD 1 2 43 07 Mohr Criterion莫尔强度理论 莫尔强度理论莫尔理论 莫尔理论强度条件 莫尔理论强度条件 例题莫尔理论试验依据 以失效或极 限应力圆族 之包络线为 失效边界线 理论要点 对于某一应力状态 (1, 2 , 3 )，如其三向应力圆 ，
36、 与极限应力圆的包络线相切或相交， 与极限应力圆的包络线相切或相交，则材料失效 以单拉与单压失效应力圆之公切线为失效边界线莫尔理论强度条件对于给定应力状态(1, 2 , 3 ), 当其应力 对于给定应力状态 圆与许用包络线相切时O P OO 3 = 3 1 OQ OO 2 2 1 得 1 ? t 3 =t c 强度条件： 强度条件：rM =1 ?t 3 t c 对于抗拉与抗压强度不同的脆性材 料，莫尔理论给出较满意的结果关于图示主应力单元体的最大剪应力作用面有下列四 种答案： 正确答案是。某点在三向应力状态中，若 3（12） ，则关于 3的表达式有以下四种答案： （A）3； （B）（12） ；（C）； （D）（12）。 正确答案是。图示水平直角折杆受竖直力作用，已知轴直径 d=100mm； a=400mm；E=200GPa，=0.25；在截面顶点测出轴向 应变D=2.7510-4。试求该折杆危险点的相当应力 r3。1
