1、学科：奥数教学内容：第十讲 盈亏问题在日常生活中常有这样的问题：“幼儿园老师拿来一筐桔子分给小朋友吃，每人分 2个则多 3 个，每人分 3 个则差 4 个，问小朋友有几人？”也就是把一定数量的物品分给一定数量的人，每人多一些，物品就不够；每人少一些，物品就有余。像这样一类的问题，我们称为盈亏问题。盈就是多余，亏就是不足。盈亏问题就是在已知亏盈的情况下来确定物品总数和参加分配的人数。这是一类典型问题，有很好的对应方法。那么盈亏问题怎么解呢？我们就从下面的例子谈起。在我国古代的算书中，九章算术是内容最丰富多彩的一本。在它的第七章，讲了盈亏问题，其中第一题，用现代的语言来叙述，就是下面的问题。“有一
2、些人共同买一些东西，每人出 8 元，就多了 3 元；每人出 7 元，就少了 4 元。那么有多少人？物价是多少？”分析：“多 3 元”与“少 4 元”两者相差 347（元）每个人要多出 8-71（元）因此就知道，共有 717（人），物价是 87-353（元）答：共有 7 个人一起买，物价是 53 元。说明：上面的 34 可以说是两个总数的相差数。而 8-7 是每份的相差数。计算公式是总数相差数每份相差数=份数这样的问题在内容上有很多变化，形成了这一类问题，请再看一些例子。例 1 妈妈买回一筐苹果，按计划吃的天数算了一下，如果每天吃 4 个，要多出 48 个苹果；如果每天吃 6 个，则又少 8 个
3、苹果。那么妈妈买回的苹果有多少个？计划吃多少天？分析：题中告诉我们每天吃 4 个，多出 48 个苹果；每天吃 6 个，少 8 个苹果。观察每天吃的个数与苹果剩余个数的变化就能看出，由每天吃 4 个变为每天吃 6 个，也就是每天多吃 2 个时，苹果从多出 48 个到少 8 个，也就是所需的苹果总数要相差 48856（个）。从这个对应的变化中可以看出，只要求 56 里面含有多少个 2，就是所求的计划吃的天数；有了计划吃的天数，就不难求出共有多少个苹果了。解答：（48+8）（6-4）=562=28（天）628-8=160（个）或 42848=160（个）答：妈妈买回苹果 160 个，计划吃 28 天
4、。如果条件“每天吃 4 个，多出 48 个”不变，另一条件改为“每天吃 6 个，则还多出 8个”，问苹果应该有多少个，计划吃多少天？分析：改题后每天吃的苹果个数没有变，也就是说每天多吃 2 个条件没变，苹果总数由原来多出 48 个变为多出 8 个。那么所需苹果总数要相差：48-8=40（个）解答：（48-8）（6-4）=402=20（天）42048=128（个）或 6208=128（个）答：有苹果 128 个，计划吃 20 天。例 2 把一袋糖分给小朋友们，每人分 10 粒，正好分完；如果每人分 16 粒，就有 3个小朋友分不到糖，这袋糖有多少粒？分析与解答一：3 位小朋友本来每人可以分到 1
5、0 粒，他们共有的 10330（粒），分给其余小朋友，每人就可以增加 16-10=6（粒），因此其余小朋友有103（16-10）5（人）再加上这 3 位小朋友，共有小朋友 538（人）。这袋糖有10（53）80（粒）分析与解答二：如果我们再增加 163 粒糖，每人都可以增加（16-10）粒，因此共有小朋友163（16-10）=8（人）这袋糖有 80 粒。答：这袋糖有 80 粒。说明：这里，163 是总差，（16-10）是每份差，8 是份数。例 3 王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的 2 倍。桔子每人分 3 个，多4 个；苹果每人分 7 个，少 5 个。问有多少个小朋友？多少个苹果和桔
6、子？分析：和上例一样，把苹果换为桔子，就容易思考多了。解答：因为桔子每人分 3 个多 4 个，而苹果是桔子的 2 倍，因此苹果每人分 6 个就多8 个。又已知苹果每人分 7 个少 5 个，所以应有（8+5）（6-5）=13（人）。苹果个数为 137-5=86（个）桔子数为 133+4=43（个）答：有 13 个小朋友，86 个苹果和 43 个桔子。再看三个稍复杂的例子。有些问题初看似乎不像盈亏问题，但将题目条件适当转化，就露出了盈亏问题的“真相”。例 4 用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多 5 米；如果绳子 3 折时，差 4米。求绳子长度和井深。分析：这还是一个盈亏问题，为了帮助思考，
7、我们画一个示意图，见下图。从图中看出，当绳子长一定，井深度一定，绳子折 2 折比井深多 5 米，实际意思是绳子长度是井深的 2 倍多 10 米即 52=10（米）。绳子折 3 折，差 4 米，就是说绳子的长是井深的 3 倍差 12 米即 43=12（米），由此我们就很容易计算出绳子长和井深了。解答：井的深度为：（52+43）（3-2）=221=22（米）绳子长度为：（22+5）2=272=54（米）或者（22-4）3=183=54（米）答：井深 22 米，绳长 54 米。例 5 小明从家去学校，如果每分钟走 80 米，能在上课前 6 分钟到校，如果每分钟走50 米，就要迟到 3 分钟，那么小明
8、的家到学校的路程有多远？分析与解答一：以小明从家出发到上课这一段时间来算，两种不同速度所走的距离，与小明家到学校的距离进行比较：如果每分钟走 80 米，就可以多走 806（米）；如果每分钟走 50 米，就要少走 503（米）。请看如下示意图：因此我们可以求出，小明从家出发到上课这段时间是（806+503）（80-50）21（分钟）家至学校距离是80（21-6）1200（米）或 50（21+3）1200（米）答：小明家到学校的路程是 1200 米。分析与解答二：以每分钟 80 米走完家到学校这段路程所需时间，作为思考的出发点。用每分钟 50 米速度，就要多用 63= 9（分）。这 9 分钟所走的
9、 509（米），恰好补上前面少走的。因此每分钟 80 米所需时间是 50（63）（80- 50）15（分钟）。所以家至学校的距离是80151200（米）答：小明家到学校的路程是 1200 米。例 6 有一些苹果和梨。如果按每 1 个苹果 2 个梨分堆，梨分完时还剩 5 个苹果，如果按每 3 个苹果 5 个梨分堆，苹果分完了还剩 5 个梨。问苹果和梨各多少？分析与解答一：我们设想再有 10 个梨，与剩下 5 个苹果一起，按“1 个苹果、2 个梨”前一种分堆，都分完。以后一种“3 个苹果、5 个梨”分堆来看，苹果总数能被 3 整除。因此可以把前一种分堆，每 3 堆并成一大堆，每堆有 3 个苹果，2
10、36（个）梨。与后一种分堆比较：每堆苹果都是 3 个，而梨多 1 个（6-51）。梨的总数相差设想增加 10 个+剩下 5 个=15 个。（10+5）（6-5）15就知有 15 个大堆，苹果总数是15345（个）梨的总数是（455）280（个）答：有苹果 45 个、梨 80 个。分析与解答二：用图解法。前一种分堆，在图上用梨 2 份，苹果 1 份多 5 个来表示。后一种分堆，只要添上 3 个苹果，就可与剩的 5 个梨又组成一堆。梨算作 5 份，苹果恰好是 3 份。将上、下两图对照比较，就可看出，5+38（个）是下图中“半份”，即 1 份是 16。梨是 5 份，共有 16580（个）。苹果有 1
11、62，5+545（个）。阅读材料报效祖国宏愿华罗庚的故事同学们都知道，华罗庚是一位靠自学成才的世界一流的数学家。他仅有初中文凭，因一篇论文在科学杂志上发表，得到数学家熊庆来的赏识，从此华罗庚北上清华园，开始了他的数学生涯。1936 年，经熊庆来教授推荐，华罗庚前往英国，留学剑桥。20 世纪声名显赫的数学家哈代，早就听说华罗庚很有才气，他说：“你可以在两年之内获得博士学位。”可是华罗庚却说：“我不想获得博士学位，我只要求做一个访问者。”“我来剑桥是求学问的，不是为了学位。”两年中，他集中精力研究堆垒素数论，并就华林问题、他利问题、奇数哥德巴赫问题发表 18 篇论文，得出了著名的“华氏定理”，向全
12、世界显示了中国数学家出众的智慧与能力。1946年，华罗庚应邀去美国讲学，并被伊利诺大学高薪聘为终身教授，他的家属也随同到美国定居，有洋房和汽车，生活十分优裕。当时，不少人认为华罗庚是不会回来了。1949 年新中国的诞生，牵动着热爱祖国的华罗庚的心。1950 年，他毅然放弃在美国的优裕生活，回到了祖国，他说：“为了国家民族，我们应当回去”虽然数学没有国界，但数学家却有自己的祖国。”华罗庚从海外归来，受到党和人民的热烈欢迎，他回到清华园，被委任为数学系主任，不久又被任命为中国科学院数学研究所所长。从此，开始了他数学研究真正的黄金时期。他不但连续做出了令世界瞩目的突出成绩，同时满腔热情地关心、培养了
13、一大批数学人才。为摘取数学王冠上的明珠，为应用数学研究、试验和推广，他倾注了大量心血。据不完全统计，数十年间，华罗庚共发表了 152 篇重要的数学论文，出版了 9 部数学著作、11 本数学科普著作。他还被选为科学院的国外院士和第三世界科学家的院士。从初中毕业到人民数学家，华罗庚走过了一条曲折而辉煌的人生道路，为祖国争得了极大的荣誉。练习题1有一队小朋友到山上去种一批树，如果每人都种 16 株，还有 24 株树没有种；如果每人都种 19 株，还有 6 株树没有种。每人需种多少株树正好把树都种完？分析：树的总数与种树的小朋友人数是确定的。第一阶段与第二阶段未种的树的总数相差 246=18(株)。两
14、个阶段每人种树数相差 19-16=3(株)。由此确定种树的人数就很容易了。人数算出后，可按第一 阶 段 或 第 二 阶 段 的 情 况 计 算 出 树 的 总 数 。 然 后 求 每 人 的 平 均 种树 数 。解答：种树人数（246）（1916）=183=6（人）树的总数 16624=9624=120（株）平均每人种树1206=20（株）答：每人需种 20 株树正好把树都种完。2一堆桃子分给一群猴子，如果每只猴子分 10 个桃子，则有两只猴子没有分到，如果每只猴子分 8 个桃子，则刚好分完。求有多少只猴子，多少个桃子？分析：按第一种分法，每只猴子分 10 个桃子，有两只猴子没有分到，就是桃子
15、不足，差 20 个（因为这两只猴子应该各分 10 个桃子）；按第二种分法，每只猴子 8 个桃子，刚好分完，也就是不多不少，或者说盈数为零。每只猴子分 8 个刚好分完，每只猴子多分 2 个（每只猴子 10 个桃子）就差 20 个，说明猴子数目应为：202=10（只）。桃子数当然就是 80 个了。也就是（不足的桃子数+多余的桃子数）2=猴子的只数。解答：每只猴子分 8 个桃子刚好分完，每只猴子分 10 个桃子，就差 20 个。所以猴子数为：20（10-8）=10（只）桃子数目为：810=80（个）答：猴子有 10 只，桃子有 80 个。3一群兔子在一块地里拔萝卜，其中 2 只兔各拔 4 个，其余的
16、兔各拔 5 个，此时地里还剩下 12 个。如果每兔都拔 6 个，正好拔完。有多少兔？有多少萝卜？分析：前一种情况可改为所有的兔每兔都拔 5 个，那么 2 只兔共多拔 2 个，此时地里还剩下 10 个。与每兔拔 6 个相比，总数相差就是 10 个。解答：总数之差 12（54）210（个）兔子数 10（65）=10（只）萝卜数 610=60（个）答：有 10 只兔，地里有 60 个萝卜。4少先队员去植树，如果每人种 5 棵，还有 3 棵没人种；如果其中 2 人各种 4 棵，其余的人各种 6 棵，这些树苗正好种完。问有多少少先队员参加植树，一共种多少树苗？分析：这是一道较难的盈亏问题，主要难在对第二
17、个已知条件的理解上：如果其中 2人各种 4 棵，其余的人各种 6 棵，就恰好种完。这组条件中包含着两种种树的情况2人各种 4 棵，其余的人各种 6 棵。如果我们把它统一成一种情况，让每人都种 6 棵，那么，就可以多种树（6-4）24（棵）。因此，原问题就转化为：如果每人各种 5 棵树苗，还有 3 棵没人种；如果每人种 6 棵树苗，还缺 4 棵。问有多少少先队员，一共种多少树苗？解答：3+（6-4）2（6-5）7（人）57+338（棵）或 67-438（棵）答：有 7 个少先队员，一共种 38 棵树。5某班学生去划船，如果增加一条船，那么每条船正好坐 6 人；如果减少一条船，那么每条船就要坐 9
18、 人。问：学生有多少人？分析：本题也是盈亏问题，为清楚起见，我们将题中条件加以转化。假设船数固定不变，题目的条件“如果增加一条船”表示“如果每船坐 6 人，那么有 6 人无船可坐”；“如果减少一条船”表示“如果每船坐 9 人，那么就空出一条船”。这样，用盈亏问题来做，盈亏总额为 69=15（人），两次分配的差为 963（人）。解答：（69）（96）5（条）656=36（人）答：有 36 名学生。6在桥上用绳子测桥离水面的高度。若把绳子对折垂到水面，则余 8 米；若把绳子三折垂到水面，则余 2 米。问：桥有多高？绳子有多长？分析与解答：因为把绳子对折余 8 米，所以是余了 82=16（米）；同样
19、，把绳子三折余 2 米，就是余了 326（米）。两种方案都是“盈”，故盈亏总额为 166=10（米），两次分配数之差为 3-21（折），所以桥高（82-23）（3-2）10（米）绳子的长度为 2108236（米）7学校规定上午 8 时到校，小明去上学，如果每分种走 60 米，可提早 10 分钟到校；如果每分钟走 50 米，可提早 8 分钟到校，求小明几时几分离家刚好 8 时到校？由家到学校的路程是多少？分析：小明每分钟走 60 米，可提早 10 分钟到校，即到校后还可多走 6010=600（米）；如果每分钟走 50 米，可提早 8 分钟到校，即到校后还可多走 508=400（米），第一种情况比
20、第二种情况每分钟多走 60-5010（米），就可以多走 600-400=200（米），从而可以求出小明由家到校所需时间。解答：10 分种走多少米？6010600（米）8 分种走多少米？508400（米）需要多长时间？（600-400）（60-50）=20（分）由家到校的路程：60（20-10）=600（米）或：50（20-8）=600（米）答：小明 7 点 40 分离家去上学刚好 8 时到校；小明的家离校有 600 米。8乐乐离家去学校上学，每分钟走 50 米，走了 2 分钟后，发觉按这样的速度走下去，到学校就会迟到 8 分钟。于是乐乐开始加快速度，每分钟比原来多走 10 米，结果到达学校时离
21、上课还有 5 分钟。问：乐乐家离学校有多远？分析与解答：乐乐从改变速度的那一点到学校，若每分钟走 50 米，则要迟到 8 分钟，也就是到上课时间时，他离学校还有 508400（米）；若每分钟多走 10 米，即每分钟走 60 米，则到达学校时离上课还有 5 分钟，如果一直走到上课时间，那么他将多走（5010）5300（米）。所以盈亏总额，即总的路程相差：400300700（米）。两种走法每分钟相差 10 米，因此所用时间为：7001070（分），也就是说，从乐乐改变速度起到上课时间有 70 分钟。所以乐乐家到学校的距离为：50（2708）4000（米），或 50260（705）4000（米）。9
22、王师傅加工一批零件，每天加工 20 个，可以提前 1 天完成。工作 4 天后，由于改进了技术，每天可多加工 5 个，结果提前 3 天完成。问：这批零件有多少个？分析与解答：每天加工 20 个，如果一直加工到计划时间，那么将多加工 20 个零件；改进技术后，如果一直加工到计划时间，那么将多加工（205）375（个）。盈亏总额为 752055（个）。两种加工的速度比较，每天相差 5 个。根据盈亏问题的公式，从改进技术时到计划完工的时间是 55511（天），计划时间为 11415（天），这批零件共有 20（151）280（个）。10一些桔子分给若干个人，每人 5 个还多余 10 个桔子。如果人数增加到 3 倍还少 5个人，那么每人分 2 个桔子还缺少 8 个，问有桔子多少个？分析与解答：使人感到困难的是条件“3 倍还少 5 人”。先要转化这一条件。假设还有 10 个桔子，1025，就可以多有 5 个人，把“少 5 人”这一条件暂时搁置一边，只考虑 3 倍人数，也相当于按原人数每人给 23=6（个）。每人给 5 个与给 6 个，总数相差 1010828（个）。所以原有人数 28（6-5）=28（人）桔子总数是 52810150（个）答：有桔子 150 个。
