1、1南京市六校联合体高二期末试卷数学（理科） 2018.6参考公式：方差 221()niisx一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1设 为虚数单位，复数 ，则 的模 .i izz|2一根木棍长为 5 米，若将其任意锯为两段，则锯成的两段木棍的长度都大于 2 米的概率为 .3命题“若 ，则复数 为纯虚数”的逆命题是 命题.（填“真”0a(,)zabiR或“假” ）4已知一组数据为 2，3，4，5，6，则这组数据的方差为 .5将一颗骰子抛掷两次，用 表示向上点数之和，则 的概率为 .m10m6用分层抽样的方法从某校学生中抽取 1 个容量为
2、 45 的样本，其中高一年级抽 20 人，高三年级抽 10 人.已知该校高二年级共有学生 300 人，则该校学生总数为 .7函数 在点 处切线方程为 ，则 = .()yfx(1,)P60xy(1)f8若 的展开式中所有二项式系数和为 64，则展开式中的常数项是 .2n9根据如图所示的伪代码可知,输出的结果为 .10若 ，26241020156()xaxax则 = .024611已知 mR，设命题 P： ；2,10xRmx命题 Q：函数 只有一个零点.32()f则使“ PQ”为假命题的实数 的取值范围为 .12有编号分别为 1，2，3，4，5 的 5 个黑色小球和编号分别为 1，2，3，4，5
3、的 5 个白色小球，若选取的 4 个小球中既有 1 号球又有白色小球，则有 种不同的选法.i1S0While i8S3i+Sii+2End WhilePrint S第 9 题2A1BADCBAO（第 16 题）EBAB1A1CBAC1D12222(7)3()6(5)10451222893216013观察下列等式：请你归纳出一般性结论 .14乒乓球比赛,三局二胜制.任一局甲胜的概率是 ,甲赢得比赛的概率是 ,则(01)pq的最大值为 .qp二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分 14 分）在平面直角坐
4、标系 中，以 为极点， 为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是xoyOxC2sin，直线 l的参数方程是 (t为参数)求直线 被曲线 截得的弦长.12,yl16.（本小题满分 14 分）在 棱 长 为 的 正 方 体 1ABCD中 ， O 是 AC 的 中 点 ， E 是 线 段 D1O 上 一 点 ，且 D1E EO. 1（1）若 =1，求异面直线 DE 与 CD1所成角的余弦值;（2）若 平 面 CDE 平 面 CD1O， 求 的值.317.（本小题满分 14 分）已知 ，23*0112n nxaxaxN（1）求 的值;32ns（2）若 且 ，求 的值;8789（3）求证： .201()
5、718.（本小题满分 16 分）某抛掷骰子游戏中，规定游戏者可以有三次机会抛掷一颗骰子，若游戏者在前两次抛掷中至少成功一次才可以进行第三次抛掷，其中抛掷骰子不成功得 0 分，第 1 次成功得 3 分，第 2 次成功得 3 分，第 3 次成功得 4 分.游戏规则如下：抛掷 1 枚骰子，第 1 次抛掷骰子向上的点数为奇数则记为成功，第 2 次抛掷骰子向上的点数为 3 的倍数则记为成功，第 3 次抛掷骰子向上的点数为 6 则记为成功.用随机变量 表示该游戏者所得分数.（1）求该游戏者有机会抛掷第 3 次骰子的概率;（2）求随机变量 的分布列和数学期望419.（本小题满分 16 分）已知函数 32()
6、fxm（1）若 在区间 上是单调递增函数，求实数 的取值范围;1,)m（2）若 在 处有极值 10，求 的值;()gxfnxn（3）若对任意的 ，有 恒成立，求实数 的取值范围.12,12|()|fxf20.（本小题满分 16 分）把圆分成 个扇形，设用 4 种颜色给这些扇形染色，每个扇形恰染一种颜色，并且要求(3)n相邻扇形的颜色互不相同，设共有 种方法.()fn(1)写出 ， 的值；()ff(2)猜想 ，并用数学归纳法证明。n35南京市六校联合体高二期末试卷数学（理科）参考答案一、填空题1. 2. . 3. 真 4. 5. 6. 7. 512169048. 9. 10. 11. 12.24
7、0836545m3613. 14.22222(7)(7)(1)(7)()kkkkz318二、解答题15.曲线 的直角坐标方程是 4 分C22()xy直线 l的普通方程是 8 分30圆心 到直线 的距离 11 分l5d弦长为 14 分4516.解(1 以 1,DAC为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz则 A(1，0，0)， 02O， ， ， 10C， ， ， D1(0，0，1)，E 14， ， ， 于是 142D， 10D， ， .由 cos 1EC， 1| 36.所以异面直线 AE 与 CD1所成角的余弦值为 . 6 分（2）设平面 CD1O 的 向 量 为 m=(x1， y1
8、， z1)， 由 mCO0， m 1D0得 10xyz，取 x11 ，得 y1 z11，即 m=(1，1，1) . 8 分由 D1E EO，则 E 2()()， E= 12()()，.10 分6又设平面 CDE 的法向量为 n( x2， y2， z2)， 由 nCD 0， n E0.得 22200(1)()1yxyz，取 x2=2，得 z2，即 n(2，0，) .12 分因 为 平 面 CDE 平 面 CD1F， 所 以 mn 0， 得 2 14 分17（1）令 ，则 =0，又2x320 1naaa 01所以 4 分S（2）由 ，解得 ，所以 9 分879nC125n2n（3） 2018()2
9、34123420801801820184273C14 分18该游戏者抛掷骰子成功的概率分别为 、 、 ，该游戏者有机会抛掷1p3216p第 3 次骰子为事件 A则 ；12121()()3Ppp答：该游戏者有机会抛掷第 3 次骰子的概率为 6 分2(2)由题意可知， 的可能取值为 、 、 、 、 ，06710， 31)(1)0(2pP，1 12353()()1862pp，235(6)()6， 11237()612Ppp，23(0)67所以 的分布列为14 分所以 的数学期望 16 分151530367022618E19 解：(1) f (x)=3x2+2mx，由 f(x)在区间1，+)上是单调递
10、增函数得，当 x1 时，3 x2+2mx0 恒成立，即 m x 恒成立，32解得 m ；4 分32（2） ，由题 或()gxxn(1)03gn41m当 时， ， 无极值，舍去. 3n()0g()x所以 8 分（没有舍扣 2 分）7m（3）由对任意的 x1， x21，1，有| f(x1) f(x2)|2 恒成立，得 fmax(x) fmin(x)2且| f(1) f(0)|2，| f(1) f(0)|2，解得 m1，1，10 分当 m=0 时， f (x)0， f(x)在1，1上单调递增，fmax(x) fmin(x)= | f(1) f(1)|2 成立11 分当 m(0，1时，令 f (x)0
11、，得 x( m，0)，则 f(x)在( m，0)上单调递减；23 23同理 f(x)在(1， m)，(0，1)上单调递增，23f( m)= m3+m2， f(1)= m2+m+1，下面比较这两者的大小，23 427令 h(m)=f( m) f(1)= m3 m1， m0，1，23 427h (m)= m210，则 h(m)在(0，1 上为减函数， h(m) h(0)=10，49036710p52268故 f( m) f(1)，又 f(1)= m1+ m2 m2=f(0)，仅当 m=1 时取等号.23所以 fmax(x) fmin(x)= f(1) f(1)=2 成立 同理当 m1 ，0)时，
12、fmax(x) fmin(x)= f(1) f(1)=2 成立 综上得 m1 ，116 分20.解：（1） 2+4=6 分(3)24,()8ff（2） 当 时，首先，对于第 1 个扇形 ，有 4 种不同的染法，由于第 2 个扇形 的颜色n1a 2a与 的颜色不同，所以，对于 有 3 种不同的染法，类似地，对扇形 ， 均有 3 种染1a2 3a1n法对于扇形 ，用与 不同的 3 种颜色染色，但是，这样也包括了它与扇形 颜色相同的n1na情况，而扇形 与扇形 颜色相同的不同染色方法数就是 ，于是可得1 (1)fn10 分()43()nff猜想 12 分n 当 时，左边 ，右边 ，所以等式成立n()24f3(1)24 假设 时， ，3kkk则 时，1()3()3(1)3kkff11()3kk即 时，等式也成立n综上 16 分()3()nf)
