1、1高二暑假综合练习（二）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案填写在答卷纸相应位置上1已知集合 A x|x23 x4， xR，则 AZ 中元素的个数为 _2已知 a bi(a， bR，i 为虚数单位)，则 ab_2 3ii3为了调查城市 PM2.5 的值，按地域把 36 个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为 6，12，18若用分层抽样的方法抽取 12 个城市，则乙组中应抽取的城市数为 _4有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各参加其中一个小组，且他们参加各个兴趣小组是等可能的，则甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为_5已知非零向量 a， b 满足| a
2、| a b|1， a 与 b 夹角为 120，则向量 b 的模为_6在平面直角坐标系 xOy 中，已知焦点为 F 的抛物线 y22 x 上的点 P 到坐标原点 O 的距离为 ，则线段 PF 的长为_157已知等比数列 an的公比 q ， Sn为其前 n 项和，则 _12 S4a48右图是一个算法的流程图，最后输出的 k_9在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 a1， A60，c ，则 ABC 的面积为 _10在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C 的圆心在第一象限，圆 C 与 x 轴交于A(1，0)， B(3，0)两点，且与直线 x y10 相切，则圆 C
3、 的半径为_11已知函数 f(x) 是 R 上的增函数，则实数 k 的取值范围ex k， x 0，(1 k)x k， x 0)是_12已知 ， 为平面， m， n 为直线，下列命题：若 m n， n ，则 m ； 若 m ， m ，则 ；若 n， m ， m ，则 m n； 若 ， m ， n ，则 m n其中是真命题的有_(填写所有正确命题的序号)13已知直线 x a(0 a )与函数 f(x)sin x 和函数 g(x)cos x 的图象分别交于 2M， N 两点，若 MN ，则线段 MN 的中点纵坐标为_1514已知函数 f(x)2 x2 m 的图象与函数 g(x)ln| x|的图象有四
4、个交点，则实数 m 的取值范围为_ 开始k1S0S20kk2SSkYN输出 k结束(第 8 题)2二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知平面向量 a(1，2sin )， b(5cos ，3)（1）若 a b，求 sin2 的值；（2）若 a b，求 tan( )的值 416如图，已知斜三棱柱 ABC A1B1C1中， AB AC， D 为 BC 的中点（1）若平面 ABC平面 BCC1B1，求证： AD DC1；（2）求证： A1B/平面 ADC117经观察，人们发现鲑鱼在河中逆流匀速行进时所消耗的能量为 E k
5、v3t，其中 v 为鲑ABCDA1B1C1(第 16 题)3鱼在静水中的速度， t 为行进的时间(单位：h)， k 为大于零的常数如果水流的速度为 3 km/h，鲑鱼在河中逆流行进 100 km（1）将鲑鱼消耗的能量 E 表示为 v 的函数；（2） v 为何值时，鲑鱼消耗的能量最少?18在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 1( a b0)的左、右顶点分别为 A， B，x2a2 y2b2离心率为 ，右准线为 l： x4 M 为椭圆上不同于 A， B 的一点，直线 AM 与直线 l 交于点12P（1）求椭圆 C 的方程；（2）若，判断点 B是否在以 PM 为直径的圆上，并说明理由；（3）连结
6、 PB 并延长交椭圆 C 于点 N，若直线 MN 垂直于 x 轴，求点 M 的坐标A BPMNxyO(第 18 题)419设 t0，已知函数 f (x) x2(x t)的图象与 x 轴交于 A、 B 两点（1）求函数 f (x)的单调区间；（2）设函数 y f(x)在点 P(x0， y0)处的切线的斜率为 k，当 x0(0，1时， k 恒12成立，求 t 的最大值；（3）有一条平行于 x 轴的直线 l 恰好与函数 y f(x)的图象有两个不同的交点 C， D，若四边形 ABCD 为菱形，求 t 的值20已知数列 an的首项 a1 a， Sn是数列 an的前 n 项和，且满足：S3 n2an S
7、， an0， n2， nN *（1）若数列 an是等差数列，求 a 的值；（2）确定 a 的取值集合 M，使 aM 时，数列 an是递增数列521 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答卷纸指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲如图， CP 是圆 O 的切线， P 为切点，直线 CO 交圆 O 于 A， B 两点， AD CP，垂足为D求证： DAP BAPB选修 42：矩阵与变换设 a0， b0，若矩阵 A 把圆 C： x2 y21 变换为a 00 b椭圆 E： 1x24 y23（1）求 a， b
8、 的值；（2）求矩阵 A 的逆矩阵 A1 C选修 44：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆 C： 4cos 被直线 l： sin( ) a 截得的弦长为 2 6，求实数 a 的值 3D选修 45：不等式选讲已知 a， b 是正数，求证： a24 b2 4abA BDCPO(第 21A 题)6【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答卷纸指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22如图， PA平面 ABCD， AD/BC， ABC90， AB BC PA1， AD3， E 是 PB 的中点（1）求证： AE平面 PBC；（2）求二面角 B PC D
9、的余弦值23在一个盒子中有大小一样的 7 个球，球上分别标有数字 1，1，2，2，2，3，3现从盒子中同时摸出 3 个球，设随机变量 X 为摸出的 3 个球上的数字和（1）求概率 P(X7)；（2）求 X 的概率分布列，并求其数学期望 E(X)PAB CDE(第 22 题)7高二暑假综合练习（二）参考答案一、填空题14 26 34 4 51136 75 811 9 1072 211 ，1) 12 13 14(， ln2)12 710 12二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 14 分）解：（1）因为 a b，所以 132sin
10、 5cos 0， 3 分即 5sin2 30，所以 sin2 356 分（2）因为 a b，所以 15cos 2sin 30 8 分所以 tan 1056分所以 tan( ) 14 分 4 11116 （本小题满分 14 分）证明：（1）因为 AB AC， D 为 BC 的中点，所以 AD BC 因为平面 ABC平面 BCC1B1，平面 ABC平面 BCC1B1 BC， AD 平面 ABC，所以 AD平面 BCC1B1 5 分因为 DC1 平面 BCC1B1，所以 AD DC1 7 分（2）(证法一)连结 A1C，交 AC1于点 O，连结 OD， 则 O 为 A1C 的中点因为 D 为 BC
11、的中点，所以 OD/A1B 11 分因为 OD 平面 ADC1， A1B 平面 ADC1， / ABCDA1B1C1（第 16 题图）OABCDA1B1C1（第 16 题图）D18所以 A1B/平面 ADC1 14 分9(证法二)取 B1C1的中点 D1，连结 A1D1， D1D， D1B则 D1C1 BD所以四边形 BDC1D1是平行四边形所以 D1B/ C1D因为 C1D 平面 ADC1， D1B 平面 ADC1， / 所以 D1B/平面 ADC1同理可证 A1D1/平面 ADC1因为 A1D1 平面 A1BD1， D1B 平面 A1BD1， A1D1 D1B D1， 所以平面 A1BD1
12、/平面 ADC1 11 分因为 A1B 平面 A1BD1，所以 A1B/平面 ADC1 14 分 17 （本小题满分 14 分）解：（1）鲑鱼逆流匀速行进 100km 所用的时间为 t 2 分100v 3所以 E kv3t kv3 (v(3，) 6 分100v 3 100kv3v 3（2） E100 k 100 k 10 分3v2(v 3) v3(v 3)2 2v2(v 4.5)(v 3)2令 E0，解得 v4.5 或 v0(舍去)因为 k0， v3，所以当 v(3，4.5)时， E0，当 v(4.5，)时， E0故 E 在(3，4.5)上单调递减，在(4.5，)上单调递增13 分100kv3
13、v 3所以，当 v4.5 时， E 取得最小值即 v4.5km/h 时，鲑鱼消耗的能量最小 14 分18 （本小题满分 16 分）解：（1）由 解得 所以 b23a 2，c 1 )所以椭圆方程为 1 4 分x24 y23（2）因为，所以 xM1，代入椭圆得 yM ，即 M(1， )，32 32所以直线 AM 为： y (x2)，得 P(4，3)，12所以(1， )，(2，3) 8 分32因为 0，所以点 B 不在以 PM 为直径的圆上 10 分52（3）因为 MN 垂直于 x 轴，由椭圆对称性可设 M(x1， y1)， N(x1， y1)10直线 AM 的方程为： y (x2)，所以 yp ，
14、y1x1 2 6y1x1 2直线 BN 的方程为： y (x2)，所以 yp ， 12 分 y1x1 2 2y1x1 2所以 因为 y10，所以 解得 x116y1x1 2 2y1x1 2 6x1 2 2x1 2所以点 M 的坐标为(1， ) 16 分3219 （本小题满分 16 分）解：（1） f ( x)3 x22 tx x(3x2 t)0，因为 t0，所以当 x 或 x0 时， f 2t3( x)0，所以(，0)和( ，)为函数 f (x)的单调增区间；2t3当 0 x 时， f ( x)0，所以(0， )为函数 f (x)的单调减区间 2t3 2t34 分（2）因为 k3 x022 t
15、x0 恒成立，所以 2t3 x0 恒成立， 612 12x0分因为 x0（0，1，所以 3x0 2 ，12x0 6即 3x0 ，当且仅当 x0 时取等号12x0 6所以 2t ，即 t 的最大值为 68 分（3）由（1）可得，函数 f (x)在 x0 处取得极大值 0，在 x 处取得极小值2t3 4t327因为平行于 x 轴的直线 l 恰好与函数 y f (x)的图象有两个不同的交点，所以直线 l 的方程为 y 4t32710 分令 f (x) ，所以 x2(x t) ，解得 x 或 x 4t327 4t327 2t3 t3所以 C（ ， ） ， D（ ， ） 2t3 4t327 t3 4t3
16、2712 分因为 A（0，0） ， B（ t，0） 易知四边形 ABCD 为平行四边形AD ，且 AD AB t，11所以 t，解得： t 16 分20 （本小题满分 16 分）解：（1）在 S3 n2an S 中分别令 n2， n3，及 a1 a 得(a a2)212 a2 a2，( a a2 a3)227 a3( a a2)2，因为 an0，所以 a2122 a， a332 a 2 分因为数列 an是等差数列，所以 a1 a32 a2，即 2(122 a) a32 a，解得a34 分经检验 a3 时， an3 n， Sn ， Sn1 满足 S3 n2an S3n(n 1)2 3n(n 1)
17、2（2）由 S3 n2an S，得 S S3 n2an，即( Sn Sn1 )(Sn Sn1 )3 n2an，即( Sn Sn1 )an3 n2an，因为 an0，所以 Sn Sn1 3 n2，( n2)， 6 分所以 Sn1 Sn3( n1) 2，得 an1 an6 n3，( n2) 8 分所以 an2 an1 6 n9，得 an2 an6，( n2)即数列 a2， a4， a6，及数列 a3， a5， a7，都是公差为 6 的等差数列， 10分因为 a2122 a， a332 a所以 an a， n 1，3n 2a 6， n为 奇 数 且 n 3，3n 2a 6， n为 偶 数 ， )12
18、 分要使数列 an是递增数列，须有a1 a2，且当 n 为大于或等于 3 的奇数时， an an1 ，且当 n 为偶数时， an an1 ，即 a122 a，3n2 a63( n1)2 a6( n 为大于或等于 3 的奇数)，3n2 a63( n1)2 a6( n 为偶数)，解得 a 94 154所以 M( ， )，当 aM 时，数列 an是递增数列 16 分94 15421 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答卷纸指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲证明：因为 CP 与圆 O 相切，所以 DP
19、A PBA 2 分因为 AB 为圆 O 直径，所以 APB90，所以 BAP90 PBA 6 分因为 AD CP，所以 DAP90 DPA，A BDCPO(第 21A 题)12所以 DAP BAP 10 分B选修 42：矩阵与变换解（1）：设点 P（ x， y）为圆 C： x2 y21 上任意一点，经过矩阵 A 变换后对应点为 P（ x， y）则 ，所以 2a 00 bxy axby xy x ax，y by )分因为点 P（ x， y）在椭圆 E： 1 上，x24 y23所以 1，这个方程即为圆 C 方程 6 分a2x24 b2y23所以 ，因为 a0， b0，所以 a2， b 8 分a2
20、4，b2 3 ) 3（2）由（1）得 A ，所以 A1 10 分C选修 44：坐标系与参数方程解：因为圆 C 的直角坐标方程为( x2) 2 y24，直线 l 的直角坐标方程为 x y2 a0 4 分 3所以圆心 C 到直线 l 的距离 d |1 a| 6 分|2 2a|2因为圆 C 被直线 l 截得的弦长为 2 ，所以 r2 d23 3即 4(1 a)23解得 a0，或 a2 10 分D选修 45：不等式选讲已知 a， b 是正数，求证： a24 b2 4ab证明：因为 a， b 是正数，所以 a24 b24 ab 2 分所以 a24 b2 4 ab 2 4ab ab即 a24 b2 4 1
21、0 分ab22 （1）根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0，0，0)， B(1，0，0)， C(1，1，0)，D(0，3，0)， P(0，0，1)， E( ，0， )， 12 12( ，0， )，(0，1，0)，(1，0，1)12 12因为0，0，所以，所以 AE BC， AE BPPAB CDExyz13因为 BC， BP 平面 PBC，且 BC BP B， 所以 AE平面 PBC 4 分（2）设平面 PCD 的法向量为 n( x， y， z)，则 n0， n0因为(1，2，0)，(0，3，1)，所以 x2 y0，3 y z0令 x2，则 y1， z3所以 n(2，1，3)是平面 PCD 的一个法向量 8 分因为 AE平面 PBC，所以是平面 PBC 的法向量所以 cos 由此可知，与 n 的夹角的余弦值为 根据图形可知，二面角 B PC D 的余弦值为 10 分23解（1） P(X7) ， P(X8) 835 335所以 P（X7） . 4 分1135（2） P(X6) ， P(X5) ， P(X4) 1335 835 335所以随机变量 X 的概率分布列为X 4 5 6 7 8P335 835 1335 835 3358 分所以 E(X)4 5 6 7 8 6 10 分335 835 1335 835 335
