1、1专题 01 函数的切线问题由导数的几何意义可知函数 )(xfy在 0处的导数即是函数在 )(,0xf处的切线的斜率。故函数 )(xfy在 )(,0f处的切线方程是 )()(0xffy， 是切点坐标，既在函数 上也在切线方程 )(00xxfy上；与切线有关的考题一般分为以下三类：过 )(xfy上的点 ,(0f的切线方程为 )()(0xffy过 外一点 )nm向其作切线，先设切点为 ,0x，写出切线方程()(00xfxfy，又 ),(在切线上，代入得 )()(00xmffn函数 与 )gy的公切线。若切点是同一点，这按照的解题方法。若切点不同，先假设)(xfy上的切点 (,1xfA，得到切线方程
2、 )()(11xfxfy；g上的切点 )2B，得到切线方程 22g，因为切线是同一条直线，故得到两个等式 ()1xgf、 )()(11 xxff下面通过具体与切线有关的例题来看看实际应用。例 1、 （2015 江苏高考 17）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为 21,l2，山区边界曲线为 C，计划修建的公路为 l，如图所示， NM,为 C的两个端点，测得点 M到 l的距离分别为 5千米和 40千米，点 N到 21,的距离分别为 20千米和 5.千米，以 21,l所在的直线分别为 XY,轴，建立
3、平面直角坐标系 xoy，假设曲线 C符合函数 bxay（其中 为常数）模型（1）求 ba,的值；（2）设公路 l与曲线 相切于 P点， 的横坐标为 t请写出公路 长度的函数解析式 )(tf，并写出其定义域；当 t为何值时，公路 l的长度最短？求出最短长度2解：（1）由题意可得： )40,5(M， )5.2,(N代入函数 bxay2.2405ba解得 1ba答：当 210t时，公路 l的长度最短，最短长度为 315千米。 例 2、 （2015 无锡高三期末 20）设函数 ()22ln+fxaxb=-在点 0(,)fx处的切线方程为yxb.3（1）求实数 a及 0x的值；解：(1) 2lnfax
4、所以在点 0,x处的切线方程为 2200lnyxab其中 220lnab， 0l1x 解得 01,x 例 3、 （2018 高三上百校联考 21）已知函数 baxxf235)(（ 、 为常数） ，其图像是曲线 C（3）已知 A为曲线 C上的动点，在点 A处作曲线 C的切线 1l与曲线 交于另一点 B，在点 处作曲线C的切线 2l，设切线 21,l的斜率分别为 21,k.问：是否存在常数 ，使得 12k？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.例 4、 （2018 苏锡常镇高三二模 19）已知函数 ),(1)(23Rbaxxf （2）函数 )(xf图象上点 A处的切线 1l与 的图象相交于另一点
5、 B，在点 处的切线为 2l，直线1,l的斜率分别为 12k， ，且 4k，求 ba、 满足的关系式4解：设 )(,0xfA，则 )(f在点 A的切线方程为： )()(00xfxfy即 )(23100230 xbaxbay 与 123ba联立方程组得： )(1()( 0022323 xxx分组因式分解化简： 00x所以 B点的横坐标 )2(Baxbaxk0213， baxbaxxk 202020 81)(3由题意 (482即 ba32例 5、 （2018 苏北四市高三上期末 19）已知函数 1)(2axf， )(,ln)(Raxg若存在与函数 )(xf， g的图象都相切的直线，求实数 的取值范
6、围解：（2）设函数 上点 1(,)fx与函数 )(xg上点 2(,)gx处切线相同，axf1)(， )f的切线方程： )(1121aay2g， (g的切线方程： )()(ln22xx所以 21xa ； 1l122a 由解得 21代入中得：22ln0(*)44axax设221()lF，则232311()axaFx不妨设 00()xax则当 0时， ()0，当 0时， ()0F所以 ()在区间 ,上单调递减，在区间 ,x上单调递增5代入2001=xax可得： 2min0001()()ln2Fxxx设 2()ln2G，则 2()G 对 恒成立，所以 x在区间 (0,)上单调递增，又 1=0所以当 1
7、 时 x ，即当 0x 时 0()Fx 又当 2axe时2242()ln4aaaFee2(04a因此当 01x 时，函数 ()x必有零点；即当 01x 时，必存在 2x使得 (*)成立；即存在 12,x使得函数 ()f上点 1,()f与函数 g上点 2(,)g处切线相同又由 2yx得： 20yx所以 1(0,)在 单调递减，因此2001=1+)xax，所以实数 a的取值范围是 1,) 巩固练习：1、 （2018 常州高三上期末 11）已知函数 xbfln)(，其中 Rb若过原点且斜率为 k的直线与曲线 )(xfy相切，则 bk的值为 e12、 （2018 无锡高三上期末 20）已知函数 ()3
8、2)xfe， (2)gxa，其中 ,axR.（1）求过点 (,0)和函数 ()yfx的图像相切的直线方程；3、 （2018 扬州高三上期末 19）已知函数xef)(， b,.（1）若 g，且函数 xg的图像是函数 图像的一条切线，求实数 a 的值；4、 （2018 南京盐城高三上期末 20）设函数 ()lnfx， ()gxc（ ,R）.（ 1）当 0c时，若函数 ()fx与 的图象在 1处有相同的切线，求 ,b的值； 65、 （2017 盐城高三第三次模拟 19）设函数 2()=()xfeaR.（2）若对任意的实数 a，函数 ()hxkb（ ,为实常数）的图象与函数 ()fx的图象总相切于一个
9、定点. 求 k与 b的值；6、 （2016 南通高三一模 13）在平面直角坐标系 xOy中，直线 l与曲线 )0(2xy和 )0(3xy均相切，切点分别为 ),(1yxA和 ),(2B,求 1的值7、 （2016 盐城高三三模 19）已知函数 (lnfxm（ R）.（3）试给出一个实数 m的值，使得函数 )y与 1(0)2xh的图象有且只有一条公切线，并说明此时两函数图象有且只有一条公切线的理由.8、 （2016 南京高三三模 19）设函数 )()(23xxf（3）若存在 0t，使得函数 图象上有且仅有两个不同的点，且函数 )(xf的图象在这两点处的两条切线都经过点 ),2(，试求 m的取值范
10、围 巩固练习答案解析：2、解：（1）设切点为 0(,)xy， (31)xfe，则切线斜率为 0(31)xe，所以切线方程为 031e，因为切线过 (2,)，所以 00(32)()2xxex，化简得 08，解得 08,3.7当 0x时，切线方程为 2yx，当 083时，切线方程为883391e.3、解：（1）由 01g知， xg的图象直线过点 )0,1(，设切点坐标为 )(,0xf，由 xef)(得切线方程是 )(00xeyx此直线过点 ,1，故 100ex，解得 0，所以 10xa 4、解：（1）由 ()lnfx，得 ()f，又 1()fx，所以 ()f.当 0c时， bga，所以 2bga，
11、所以 gab. 因为函数 ()fx与 的图象在 1x处有相同的切线，所以 (1)fg，即 0ab，解得 21ab. 6、解： 2xy在点 A处的切线： )(211xxy3在点 B处的切线： 32所以 321x，即 4217、解：（3） m符合题意. 此时 1()ln2fx.设函数 ()fx与 h上各有一点 1,lA， 2(,)xB，8则 ()fx以点 A为切点的切线方程为 11ln22yx，()h以点 B为切点的切线方程为 22x，由两条切线重合，得212lnxx（*） ， 消去 1x，整理得 22l1x，即 21l0， 令 ()ln，得 ()x，所以函数 x在 (0,1)单调递减，在 1+)
12、， 单调递增， 又 (1)，所以函数 x有唯一零点 x，从而方程组（*）有唯一解 12，即此时函数 ()f与 hx的图象有且只有一条公切线.故 12m符合题意. 注：其实这个题目最后就是由 x1ln加入控制变量得到的，很多恒成立的不等式都是根据数形结合结合曲线的切线得到的，在后面的专题 05 和 06 中都会经常用到这个不等式8、解：（3）设两切点的横坐标分别是 21x、 则函数 )(xf)在这两点的切线的方程分别为)(3()(2121mxmxy 2223 x将 ),(t)代入两条切线方程，得 )(3()121213 xmxmx( 222t即可以将 1x、 看成是方程 )2(3()(23 xmxxt 不相等的两个实根9整理得 mxxt 4)6(223设 h)( ，则 )2(32)( xmxh当 m时， 0)(x恒成立，所以 单调递增，不满足题意当 6时， 解得 2或 3x)(xh极值分别为 83)(mxh， mh27)( 因为 223 xt有不相等的两个实根所以 8t或者 t37 因为 0t，所以 03m或 02m又 ，所以解得 的范围为 ),6398,(
