1、- 1 -六安一中 2018 届高三年级第二次月考数学试卷（理科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由题意 ， ，所以 故选 B考点：集合的运算对数函数与指数函数的性质2. “若 ，则 ，都有 成立”的逆否命题是（ ）A. ，有 成立，则 B. ，有 成立，则 C. ，有 成立，则 D. ，有 成立，则【答案】D【解析】由原命题与逆否命题的关系可得：“若 ，则 ，都有 成立”的逆否命题是 “ 有 成立，则 ”.本
2、题选择 D 选项.3. 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由题意，得 ，解得 ，故选 A考点：函数的定义域4. 设函数 ，则 （ ）A. 3 B. 6 C. 9 D. 12- 2 -【答案】C【解析】试题分析：由题意得, ,因为根据对数函数的单调性知:, ,故选 C.考点：1、分段函数的解析式；2、对数与指数的性质.5. 已知 ：幂函数 在 上单调递增； 则 是 的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意，命题 幂函数 在 上单调递增，则，又 ，故 是
3、的充分不必要条件，选 A.6. 函数 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D- 3 -7. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司 2015 年全年投入研发资金 130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是（参考数据： ） （ ）A. 2021 年 B. 2020 年 C. 2019 年 D. 2018 年【答案】C【解析】设第 年开始超过 万元，则 ，化为， ，取 ，因此开始超过 万元的年份是 年，故选 C.8. 已知函数 若方程 有三个不同的实数根，则实数 的取值范围为（ ）A. B.
4、 C. D. 【答案】D【解析】画出函数 的图象，如图：由关于 的方程 有三个不同的实数解，可知函数 与函数 有三个不同的交点，由图象易知，实数 的取值范围是 ，故选 D.9. 已知 ，现有下列命题： ； ；若 ，且 ，则有 ，其中的所有正确命题的序号是（ ）- 4 -A. B. C. D. 【答案】D【解析】 , ,即正确； ，故正确；又因为 在 上递增，所以总有 成立，故正确，故选 D.10. 已知函数 满足 ，若函数 与 图像的交点为，则 （ ）A. 0 B. 6 C. 12 D. 24【答案】B【解析】函数 满足 ，即为 ，可得 关于点 对称，函数 ，即 的图象关于点 对称，即有 为交
5、点，即有也为交点， 为交点，即有 也为交点， 为交点，即有也为交点， 则有 ，故选 B.11. 若直角坐标平面内两点 满足条件： 都在函数 的图象上； 关于原点对称，则称 是函数 的一个“伙伴点组” （点组 与 看做同一个“伙伴点组” ）.已知函数 ，有两个“伙伴点组” ，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 - 5 -根据题意可知， “伙伴点组”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称，可作出函数 ，关于原点对称的函数 的图象，使它与函数交点个数为 即可，设切点为 的导函数为 ，可得，解得 ，可得函数 ，过 点的切线斜率为 ，结合图象可知 时有两个交点，故
6、选 D.【方法点睛】本题考查导数的几何意义、函数的图象与性质、新定义问题及数形结合思想，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求， “照章办事” ，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“伙伴点组”达到考查导数的几何意义、函数的图象与性质的目的.12. 已知函数 ，若 成立，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】-
7、6 -不妨设 ， ， ，故，令 ， ，易知 在上是增函数，且 ，当 时， ，当 时， ，即当时， 取得极小值同时也是最小值，此时 ，即的最小值为 ，故选 D.【方法点睛】本题主要考查对数、指数的运算，利用导数研究函数的单调性进而求最值，属于难题.求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求最值，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求凼数的最值即可. 第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 计算： _【答案】26【解析】因为，
8、故答案为 .14. 已知函数 在 单调递减，则 的取值范围是_【答案】【解析】根据题意,若 f(x)在区间2,+)上为增函数，则 在2,+)上是减函数，u=x 2ax+3a 在2,+)上为增函数,且在2,+)上恒大于 0.得到： .解得：4a 4，则实数 a 的取值范围为(4,4故答案为：(4,4.- 7 -15. 若函数 （ 且 ）的值域是 ，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：由于函数 的值域是 ，故当时，满足 ，当 时，由 ，所以 ，所以，所以实数 的取值范围 .考点：对数函数的性质及函数的值域.【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要
9、牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当 时，由 ，得 ，即，即可求解实数 的取值范围.16. 已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时，则函数 的零点个数为_【答案】10【解析】由 ，得 ，要判断函数 的零点个数，则根据 是定义在上的偶函数，只需判断当 时， 的个数即可，当 时，当 时， 时，；当 时， 时，；当 时， 时，- 8 -，作出函数 在 上的图象，由图象可知 有个根，则根据偶函数的对称性可知 在定义域 上共有 个根，即函数 的零点个数为 个，故答案为 .【方法点睛】判断方程 零点个数 的常用方法： 直
10、接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；转化法：函数 零点个数就是方程 根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；数形结合法： 一是转化为两个函数 的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为 的交点个数的图象的交点个数问题 .本题的解答就利用了方法.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知命题 ；命题 ：函数 有两个零点，且一个零点比大，一个零点比小，若 为真命题， 为假命题，求实数 的取值范围.【答案】【解析】试题分析：由 为
11、真命题， 为假命题，可得 一真一假，分两种情况讨论，对于 真 假以及 假 真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数 的取值范围.试题解析：令 ，则 在 上是增函数故当 时， 最小值为 ，故若 为真，则 .若 为真命题，则 ，解得 .若 为真命题， 为假命题，则 ， 一真一假，（1）若 真 假，则实数 满足 即 ；（2）若 假 真，则实数 满足 即 .综上所述，实数 的取值范围为 .18. 已知函数 的定义域为 ，且对任意实数 恒有 （ 且）成立.- 9 -（1）求函数 的解析式；（2）讨论 在 上的单调性，并用定义加以证明.【答案】 （1） （2）当 时， 在 上为单调减函数；
12、当时， 在 上为单调增函数.解：（1） 对任意实数 恒有： ，用 替换式中的 有： ，得： ，当 时，函数 为单调减函数，函数 也为单调减函数， 在 上为单调减函数.当 时，函数 为单调增函数，函数 也为单调增函数， 在 上为单调增函数.证明：设任意 且 ，则， ， ，（1）当 时，则 ， 在 上是减函数.（2）当 时，则 ， 在 上是增函数.综上：当 时， 在 上为单调减函数；当 时， 在 上为单调增函数.【解析】试题分析：（1） ，用 替换式中的 有：，由消去 即可得结果；（ 2）讨论两种情况，分别利用复合函数的单调性判断其单调性，再利用定义意 且 ，判定 的符- 10 -合，即可证明结论
13、.试题解析：（1） 对任意实数 恒有： ，用 替换式中的 有： ，得： ，（2）当 时，函数 为单调减函数，函数 也为单调减函数， 在 上为单调减函数.当 时，函数 为单调增函数，函数 也为单调增函数， 在 上为单调增函数.证明：设任意 且 ，则， ， ，当 时，则 ， 在 上是减函数.当 时，则 ， 在 上是增函数.综上：当 时， 在 上为单调减函数；当 时， 在 上为单调增函数.19. 已知 ，函数 .（1）当 时，解不等式 ；（2）设 ，若对任意 ，函数 在区间 上的最大值与最小值的差不超过1，求 的取值范围.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）由 ，得 ，解得 ；（2）由
14、在 上单调递减.可得函数 在区间 上的最大值与最小值分别为- 11 -， 等价于 ，对任意 成立，只需令函数在区间 的最小值不小于零，解不等式即可.试题解析：（1）由 ，得 ，解得 .（2）当 时， ，所以 在 上单调递减.函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 .即 ，对任意 成立.因为 ，所以函数 在区间 上单调递增，时， 有最小值 ，由 ，得 ，故 的取值范围为 .【方法点晴】本题主要考查函数的单调性、简单的指数方程以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数 恒成立( 可)或 恒成立（ 即可） ； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值或 恒成立； 讨论参数.
15、本题（2）是利用方法 求得 的取值范围的.20. 设函数 .（1）解方程： ；（2）令 ，求 的值.（3）若 是实数集 上的奇函数，且 对任意 实数恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1）2（2）1008（3）- 12 -试题解析：（1） .（2） .因为所以（3）因为 是实数集上的奇函数，所以 .， 在实数集上单调递增.由 得， ，又因为 是实数集上的奇函数，所以， ,又因为 在实数集上单调递增，所以 ,即 对任意的 都成立，即 对任意的 都成立， .21. 已知函数 是偶函数.（1）求 的值；（2）若函数 的图像与直线 没有交点，求 的取值范围；（3）若函数 ，是否存在实数 使得 最小
16、值为 0，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.【答案】 （1） （2） （3）存在 得 最小值为 0.解：（1） ，即 对于任意 恒成立.- 13 -（2）由题意知方程 即方程 无解.令 ，则函数 的图象与直线 无交点.任取 ，且 ，则 ， ， 在 上是单调减函数. ， 的取值范围是（3）由题意 ，令 ，开口向上，对称轴 ，当 ，即 ，当 ，即 ， （舍去）当 ，即 ， （舍去）存在 得 最小值为 0.【解析】试题分析：（1）若函数 是偶函数，则 恒成立，化简可得 ，从而可求得 的值；（2）若函数 的图象与直线没有交点，方程 无解，则函数 的图象与直线无交点，则 不属于函数 值域，从而可
17、得结果；（3）函数，令 ，则 ，结合二次函数的图象和性质，分类讨论，可得 的值.试题解析：（1） ，即 对于任意 恒- 14 -成立.（2）由题意知方程 即方程 无解.令 ，则函数 的图象与直线 无交点.任取 ，且 ，则 ， ， 在 上是单调减函数. ， 的取值范围是（3）由题意 ，令 ，开口向上，对称轴 ，当 ，即 ，当 ，即 ， （舍去）当 ，即 ， （舍去）存在 得 最小值为 0.22. 已知函数 在区间 上有最大值 4 和最小值 1.设.（1）求 的值；（2）若不等式 在 上有解，求实数 的取值范围；（3）若 有三个不同的实数解，求实数 的取值范围.- 15 -【答案】 （1） （2）
18、 （3）解：（1） ，因为 ，所以 在区间 上是增函数，故 ，解得 ，（2）由已知可得 ，所以 可化为 ，化为 ，令 ，则 ，因 ，故 ，记 ，因为 ，故 ，所以 得取值范围是 .（3）原方程可化为令 ，则 ， 有两个不同的实数解 ，其中 ，或 .记 ，则 或 解不等组，得 ，而不等式组无实数解，所以实数 的取值范围是 .【解析】试题分析：（1）由函数 ， 在区间 上是增函数，故 ，由此解得 的值；（2）不等式化为 ，故有，求出 的最小值，从而求得 的取值范围；（3）方程，令 ，原方程等价于 ，构造函数，通过数形结合与等价转化的思想可求得 的范围.试题解析：（1） ，因为 ，所以 在区间 上是增函数，故 ，解得 ，（2）由已知可得 ，所以 可化为 ，化为 ，令 ，则 ，因 ，故 ，- 16 -记 ，因为 ，故 ，所以 得取值范围是 .（3）原方程可化为令 ，则 ， 有两个不同的实数解 ，其中 ，或 .记 ，则 或 解不等组，得 ，而不等式组无实数解，所以实数 的取值范围是 .
