1、2018届广东省中山市第一中学高三第一次统测数学（理）试题（解析版）满分 150分，时间 120分钟第卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合 ，集合 ，则 （ ）MN=A. B. C. D. x|1x0(log2x)210 x0x2或 01 01，故选 C.be,alnx1【答案】B【解析】由题意得 ,因为 ,因此一个充分aelnx1a1 (,1)(,1,(,1)(,1不必要条件是 ,选 B.ak1A. B. C. D. f(1k)1k1 f(1k1)kk1【答案】C【解析】由已知条件，构造函
2、数 ，则 ，故函数 在 上单调递增，且 ，故 ，所以 ， ，所以结论中一定错误的是 C，选项 D无法判断；构造函数 ，则 ，所以函数 在 上单调递增，且 ，所以 ，即 ， ，选项 A,B无法判断，故选 C【点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题12. 已知函数 在区间 上有两个零点，则实数 的取值范围为（ ）f(x)=x2xlnxk(x+2)+2 12,+) kA. B. C. D. (1,910+ln25 (1,910
3、+ln24 (1,710+ln24 (1,710+ln25【答案】A【解析】函数求导可得 ，所以 在 上单调递增，f(x) 12,+)， ，当 时， 恒成立，所以 f(x) 上在单调递增，不满足有两个零f(1)=1k ln2k0 f(x)0 12,+)点，所以 ，即 ，所以存在ln2kln2，使得 (1)式，同时 且x012,+) f(x0)=2x0lnx01k=0 f(x0)=x20x0lnx0k(x0+2)+2x20+x0+2 k910+15ln2点一样，所以选 A.【点睛】利用导数解决零点问题是高考常见题型，先要考虑方程是否需要变形，构造新的函数，如分离参数等。如果参数不能分离就带参求导
4、，一般要参参数进行讨论，同时结合函数图像，根据根的存在性定理求解。第卷（共 90分）二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13. 命题：“ ”的否定为_ 【答案】 xR,x2ax+10【解析】存在性命题的否定是全称性命题，所以原命题的否定为： 。xR,x2-ax+1014. 设 ，则函数 的最小值是_x2 y=(x+2)(x+5)(x+1)【答案】283【解析】令 则 .该函数是 上的增函数,则 .x+1=t, y=t+4t+5,t3,+) 3,+) ymin=28315. 已知曲线 ， ， 所围成的图形的面积为 ，则 _y= x y=2x y=13x S S=【答案】13
5、616. 若函数 与函数 有公切线，则实数 的取值范围是_ f(x)=lnx g(x)=x2+2x+a(xln21 (ln12e,+)【点睛】可导函数 在 处的导数就是曲线 在 处的切线斜率,这就是导数的几何意义,在利用导数的几何意义求曲线切线方程时,要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”,已知 在 处的切线是 ,若求曲线 过点 的切线,应先设出切点 ,把 代入 ,求出切点，然后再确定切线方程.而对于切线相同，则分别设切点求出切线方程，再两直线方程系数成比例。三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在直线坐标系 中，圆 的方程为
6、.xOy C (x+6)2+y2=25（）以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 的极坐标方程；x C（）直线的参数方程是 （为参数） ，与 交于 ， 两点， ，求的斜率.x=tcosy=tsin C A B |AB|= 10【答案】 （1） .（2） . 2+12cos+11=0 k=153【解析】试题分析：（）利用 ， 化简即可求解；（）先将直线化成极坐标方程，将的x=cos y=sin极坐标方程代入 的极坐标方程得 ，再利用根与系数的关系和弦长公式进行求解 .C 2+12cos+11=0试题解析：（）化圆的一般方程可化为 .由 ， 可得圆 的极坐标方程x2+y2+12x+11
7、=0 x=cos y=sin C.2+12cos+11=0（）在（）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为 .=(R)设 ， 所对应的极径分别为 ， ，将的极坐标方程代入 的极坐标方程得 .A B 1 2 C 2+12cos+11=0于是 ， .1+2=-12cos 12=11.|AB|=|1-2|= (1+2)2-412= 144cos2-44由 得 ， .|AB|= 10cos2=38 tan=153所以的斜率为 或 .153 - 15318. 在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且 .ABC A B C a b ccosAa +cosBb=sinCc（1）证明： ；sinAsi
8、nB=sinC（2）若 ，求 .b2+c2a2=65bc tanB【答案】 （1）见解析（2） tanB=4试题解析：（1）根据正弦定理，设 = = =k（k0） asinA bsinB csinC则 a=“ksin“ A，b=“ksin“ B，c=“ksin“ C代入 + = 中，有 + = ，变形可得cosAa cosBb sinCc cosAksinAcosBksinBsinCksinCsin Asin B=“sin“ Acos B+cos Asin B=sin（A+B） 在ABC 中，由 A+B+C=，有 sin（A+B）=sin（C）=“sin“ C，所以 sin Asin B=“s
9、in“ C（2 ）由已知，b 2+c2a2=bc，根据余弦定理，有 cos A= =所以 sin A= =1cos2A由（） ，sin Asin B=“sin“ Acos B+cos Asin B，所以 sin B=cos B+sin B，故 tan B= =4sinBcosB考点：余弦定理的应用；正弦定理；余弦定理19. 已知 是各项均为正数的等比数列，且 ， .an a1+a2=6 a1a2=a3（1）求数列 通项公式；an（2） 为各项非零的等差数列，其前 项和为 ，知 ，求数列 的前 项和 .bn n Sn S2n+1=bnbn+1 n Tn【答案】 （1） ， （2） an=2n T
10、n=52n+52n【解析】试题分析：（）列出关于 的方程组, 解方程组求基本量；（）用错位相减法求a1,q和.试题解析：（）设 的公比为 ，由题意知： .an q a1(1+q)=6,a12q=a1q2又 ，an0解得： ，a1=2,q=2所以 .an=2n（）由题意知： ，S2n+1=(2n+1)(b1+b2n+1)2 =(2n+1)bn+1又所以 ,bn=2n+1令 ,cn=bnan则 ，cn=2n+12n因此,Tn=c1+c2+cn=32+522+723+2n12n1+2n+12n又 ,12Tn=322+523+724+2n12n+2n+12n+1两式相减得12Tn=32+(12+122
11、+ 12n1)2n+12n+1所以 .Tn=52n+52n【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项 a1和公比 q,然后由通项公式或前 n 项和公式转化为方程(组) 求解等比数列的通项公式及前 n 项和公式共涉及五个量 a1,an,q,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出 “Sn”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S nqS n”的表达式， 若等比数列的公比为参数,应分公比等于 1 和不等于1 两种情况求解20. 已知 ， ， .m0 p:(x+
12、2)(x6)0 q:2mx2+m（1）若 是 的充分条件，求实数 的取值范围；p q m（2）若 ， “ 或 ”为真命题， “ 且 ”为假命题，求实数 的取值范围.m=5 p q p q x【答案】 （1） .（2） . m4 3,2)(6,7【解析】试题分析：（1） ， 是 的充分条件， 是 的子集，所以p:2x6 p q 2,6 2m,2+m；（2）由题意可知 一真一假，当 时， ，分别求出 真 假、 假 真时m02m22+m6 m4 p,q m=5 q:3x7 p q p q的取值范围，最后去并集就可以x试题解析：（1 ） ， 是 的充分条件， 是 的子集，p:2x6 p q 2,6 2
13、m,2+m， 的取值范围是 m02m22+m6 m4 m 4,+)（2 ）由题意可知 一真一假，当 时， ，p,q m=5 q:3x7真 假时，由 ；p q 2x6x7 x假 真时，由 或 p q x63x7 3x3 时， ，所以 f(x)在 和 单调递增x0 (,1) (3,+)当-1g(x) a【答案】 （） .（）见解析（） .y=1 1e0,所以分f(x)=(x-1)(x+a)x2 ag(x) x+(a-1)lnx0 (a-1)-xlnxx(1,e只需 。a1(xlnx)max试题解析：（）函数的定义域为 .(0,+)当 时， .a=-2 f(x)=x-2x-3lnx,f(1)=-1,
14、f(x)=1+2x2-3x,f(1)=0所以曲线 在点 处的切线方程为 .y=f(x) (1,f(1) y=-1（）因为 .f(x)=1-ax2+a-1x =x2+(a-1)x-ax2 =(x-1)(x+a)x2令 ，即 ，解得 ， .f(x)=0 x2+(a-1)x-a=0 x=1 x=-a（1）当 ，即 时，00 01由 ，得 .f(x)1 a0 0-a由 ，得 .f(x)g(x)则 ，等价于 .x+(a-1)lnx0 (a-1)-xlnx令 ，则当 时， . F(x)=-xlnx x(1,e (a-1)F(x)max F(x)=1-lnx(lnx)2因为当 时， ，所以 在 上单调递增.x(1,e F(x)0 F(x) 1,e所以 .F(x)max=F(e)=-e所以 .a1-e所以 .1-ea0
