基于开环对数幅频特性求系统传递函数的方法.doc

1、75第5 卷 第1期 石家庄铁路职业技术学院学报 VOL. 5 No .12006 年 3 月 JOURNAL OF SHIJIAZHUANG INSTITUTE OF RAILWAY TECHNOLOGY Mar.200 6基 于 开 环 对 数 幅 频 特 性 求 系 统 传 递 函 数 的 方 法王渝 1） 杨建新 2） 王玉彩 1）（石家庄铁路职业技术学院 1） 河北石家庄 050041 太原理工大学 2） 山西太原 030024）摘要： 由 开 环 对 数 幅 频 特 性 求 系 统 传 递 函 数 的 问 题 类 型 较 多 ， 对 这 类 问 题 的 求 解 方 法 进 行 分

2、析 、 总结，并通过例题加以说明。关 键 词 ： 传递函数 环节性质 转折频率 斜率中 图 分 类 号 ： TP311.11 文献标识码 ： A 文 章 编 号 ： 1673-1816(2006)01-0075-05在 工 程 实 际 中 常 常 要 针 对 给 定 的 控 制 对 象 和 所 要 求 达 到 的 一 定 的 性 能 指 标 ， 设 计 和 选 择 控 制 器 的 结 构 与 参 数 来 校 正 系 统 。 当 选 用 频 率 法 来 校 正 系 统 时 经 常 会 遇 到 一 类 问 题 ， 即 由 已 知 的 开 环 对 数 幅 频 特 性 求 系 统 的 传 递 函 数

3、， 如 不 摸 清 这 类 问 题 的 规 律 ， 就 不 知 道 该 从 何 处 下 手 解 决 ， 且 很 容 易 将 一些环节丢掉，不能完整的求出系统的传递函数。因此提出这类问题的求解方法，以供同行参考。由开环对数幅频特性求系统传递函数的解算方法可以分为以下四个步骤：1 由 低 频 段 渐 近 线 斜 率 求 出 系 统 含 有 积 分 环 节 的 个 数具 体 做 法 是 ： 先 在 系 统 开 环 对 数 幅 频 特 性 的 渐 近线上找出第一个转折频率1 ， 然 后 由 1 之前 渐近线的斜率求出系统开环传递函数含有的积分环节的个数，即 ： 20V = 第一个转折频率1 之前渐近线

4、的斜率 （V 表示积分环节的个数） ，求出积分环节的个数后，可将积分环节的传递函数1表示为 G ( s ) s n例 1 第一个转折频率 1 = 2 ， 1 之前渐近线的斜率为 0 ，所以 20V = 0 ， 得 V = 0 ，该系统不含有积分环节。例 2第 一 个 转 折 频 率 1 = 0.1 ， 1 之前 渐 近 线 的 斜 率 为 40 ， 所以 20V = 40 ，得 V = 2 ， 该系统含有两个积分环节，积分环节的传递函数为G ( s ) 1 。s 2收稿日期：2005-12-12作者简介：王渝（1978-） ，女，蒙族，河南镇平人，本科，助教，研究方向自动化。石家庄铁路职业技术

5、学院学报 2006 年第 1 期因为系统的开环对数幅频特性在第一个转折频率之前渐近线的斜率就是 20V dB/dec ,即由 积分环节的个数 V 来决定的，因此可以用20V = 第一个转折频率 1 之前渐近线的斜率来求 V 的值。2 确 定 系 统 所 含 其 它 环 节 的 性 质找出所有的转折频率 1 、 2 、 3 、 ， 由 每 个 转 折 频 率 前 后 渐 近 线的斜率确定系统含有 的 环 节 的 性 质 。 通 过 观 察 转 折 频 率 前 后 渐 近 线 的 斜 率 是 减 小 了 ， 还 是 增 加 了 ， 就 可 以 判 断 出 系 统 中 是 否 含 有 惯 性 环 节

6、 、 一 阶 微 分 环 节 、 振 荡 环 节 和 二 阶 微 分 环 节 ， 之 后 再 写 出 表 示 这 些 环 节 的 传 递 函 数。具体的做法见表 1 ，表 1转折频率前后渐近线斜率的变化系统所含环节性质对应环节的时间常数1对应环节的传递函数1减小 20dB/dec 惯性环节 T w一阶微分环 1G ( s ) Ts 1增加 20dB/dec t 节 w1G ( s ) t s 11减小 40dB/dec 振荡环节 T w二阶微分环 1G ( s ) T 2 s 2 2xTs 1例 3增加 40dB/dec T G ( s ) T 2 s 2 2xTs 1节 w第一个转折频率 1

7、 = 2 ， 1 前后渐近线的斜率由20dB/dec变到了40dB/dec ，减小了 20dB/dec ，所以系统含有一个惯性环节，其时间常数 T 1w 11 0.5 ，该惯性环节的传递函数为例 4第一个转折频率 1 = 0.5 第二个转折频率 2 = 2G ( s) 。0.5 s 1 1 前后渐近线的斜率由40dB/dec 变到了20dB/dec ，增 加 了 20dB/dec ， 则 系 统 含 有 一 个 一 阶 微 分 环 节 ， 其 时 间 常 数t 1 2w 1， 该一阶微分环节传递函数为 G ( s ) 2 s 1 ； 2前后渐近线的斜率由20dB/dec 变到了40dB/dec

8、 ， 减小了 20dB/dec ， 则系统含有一个惯性环节，其时间常数 T 1w 2 0.5 ，该惯性环节的传递函数为 G ( s) 1 。0.5 s 176第 1 期 王渝，等 基于开环对数幅频特性求系统传递函数的方法例 5第 一 个 转 折 频 率 1 = 0.1 ， 1 前 后 渐 近 线 的 斜 率 由 40dB/dec，变到了80dB/dec ，减小了40dB/dec ，则系统含有一个振荡环节，其时间常数 T 1w 1 10 ，该振荡环节的传递函数为 G ( s ) 1 。3 求 开 环 放 大 倍 数 K 的 值100 s 2 20 s x 1在任何系统的开环传递函数中都含有比例环

9、节，其比例系数即为 K ，K 的值可大于、小于或等于 1 ，但 K 的值一定是大于 0 的，因此还要求出 K 的值。求 K 的值有很多方法，每一种方法都有其特有的前提条件，对于不同的情况应该用不同的方法 求 K 的值，现将这些方法总结如下：3.1 由 = 1 时 的 L（）值求 K ，即 L（）= 20lgK , 此方法还要由第一个转折频率 1 的取值再细分为两种：3.1.1 当 1 1 时, 直 接 由 已 知 的 开 环 对 数 幅 频 特 性 求 = 1 时 L（）的值，然后算出 K 的值。例 6 第一个转折频率 1 = 10 ， 1 1 ， 由图可知当 = 1 时， L（）= 20 d

10、B ， 所以 L（）= 20lgK = 20 ， 得 K = 10 。例 7 第一个转折频率1 = 1 ，图上已经标出当 = 1 时， L（）= 10 dB ， 所以 L（）= 20lgK = 10 ，得 K = 3.16 。例 8 第一个转折频率1 = 2 ， 1 1 ， 但图中未标出 = 1 时 L（）的值，所以要先经过计算得出 = 1 时 L（）的值，计算方法如下：L ( 2 ) 0 lg 2 lg 28L (1) 45.89 lg 1 lg 2= 40 ， 得 L(2)= 45.89 dB ,= 20 ， 得 L(1)= 51.89 dB ， 而 L(1)的值即为 = 1 时 L（）的

11、值，所以 L（1）= 20lgK = 51.89 ， 得 K = 393 。3.1.2 当 1 1 时, 先将第 一 个 转 折 频 率 之 前 低 频 段 的 渐 近线延长，与过横轴=1 处的垂线相交，求出交点处的纵坐 标，然后由“交点的纵坐标 = 20lgK”算出 K 的值。例 9第一个转折频率 1 = 0.5 ， 1 1 ，将 1 之 前 低 频 段 的 渐 近 线 延 长 ， 并 从 横 轴 =1 处做垂77w20石家庄铁路职业技术学院学报 2006 年第 1 期线 ， 与 刚 才 做 的 延 长 线 相 交 与 A 点 ， 如 图 所 示 ， 下 面 先 求 A 点的纵坐标，L(0.

12、5)= 6 dB ,L (0.5 ) 0 lg 0.5 lg 1= 20 ， 得6 L A (w )lg 0.5 lg 1= 40 ， 得 LA（）= 6 dB , 所以 LA（）= 20lgK = 6 ，得 K = 0.5 。3.2 若已知截止频率 c ，由 A( c)= 1 求 K 的值。 例 10由图可知截止频率 c = 28 ，第一个转折频率 1 = 2 ， 1 之前渐近线的斜率为20 ，所以 20V = 20 ， 得 V = 1 ， 该 系 统 含 有 一 个 积 分 环 节 ， 其1传递函数为 G ( s) ；s1由例 3 可知该系统还含有一个惯性环节，其传递函数为 G ( s)

13、，0.5 s 1由此可写出系统传递函数的表达式为 G ( s ) Ks ( 0.5s 1)， 其 中 K 的 值 未 知 ， 待 求 ， 下 面 求 K：系统的频率特性为 G ( jw ) K K， 幅频特性为 A(w ) ，jw ( j 0.5w 1)w 1 ( 0.5w ) 2K因 L(c)= 0 ，即 L( c)= 20lgA( c)= 0 , 故 A( c)= 1 ， A(w c ) = 1 ，w c 1 ( 0.5w c )代入 c = 28 ，得 A(w c ) 28 K1 ( 0.5 28) 2= 1 ，于是得 K = 393 ，此结果与例 8 所求 K 值一样。3.3 由 低

14、频 段 渐 近 线 的 延 长 线 与 横 轴 交 点 处 的 频 率 值 0 求 K ,即 K = n例 11（V 表示积分环节的个数） 。第一个转折频率 1 = 2 ， 1 之前渐近线的斜率为20 ， 所以 20V = 20 ， 得 V = 1 ；由 图 可 知 1 之 前 低 频 段 渐 近 线 的 延 长 线 与 横 轴n 1交 点 处 的 频 率 0 = 10 ， 所 以 K = w 0 = 10 = 10 。4 确 定 系 统 开 环 传 递 函 数具体做法： 将已确定的典型环节的传递函数相乘， 得出系统的开环传递函数 G(s)。 例 12综 合 示 例 ： 已 知 某 最 小 相

15、 位 系 统 的 开 环 对 数 幅 频 特 性如图所示，试写出系统的开环传递函数。78第 1 期 王渝，等 基于开环对数幅频特性求系统传递函数的方法（1）第一个转折频率 1 = 0.01 ，第二个转折频率 2 = 0.1 ，第三个转折频率 3 = 8 ，第四个转折频率 4 = 20 ， 1 之前渐近线的斜率为40 ，所以20V = 40 ， 得 V = 2 ，该 系 统 含 有 两 个 积 分 环 节 ， 其 传 递 函 数为表 21G ( s) ； （2 ） 系 统 所 含 其 它 环 节 的 性 质 分 析 见 表 2 ，s 2转折 转折频率前后渐 频率 近线斜率的变化系统所含 环节性质

16、对应环节的时间常数 对应环节的传递函数 1 增加 40dB/dec 二阶微分环节 T 1w 1 100 G ( s ) 10 4 s 2 200 s x 1 2 减小 20dB/dec 惯性环节 T 1 w 2 10 G ( s ) 110 s 1 3 减小 20dB/dec 惯性环节 1 T w 3 0.125 G (s ) 10. 125 s 1 4 减小 20dB/dec 惯性环节 T 1 w 4 0.05 G ( s ) 10 .05 s 1（3）由图可知 1 之前低频段渐近线的延长线与过横轴=1 处的垂线相交，交点处的纵坐标L（）= -40 dB , 所以 L（）= 20lgK =

17、-40 ， 得 K = 0.01 ；（4）将系统包含的所有典型环节的传递函数相乘，得出系统的开环传递函数为G ( s ) 0.01 (10 4 s 2 200 sx 1)s 2 ( 10 s 1)( 0.125 s 1)( 0.05 s 1)参 考 文 献 ：（ 责 任 编 辑 张 宇 平 ）1刘祖润.自动控制原理 M.北京: 机械工业出版社,2000,62史忠科,卢京潮.自动控制原理常见题型解析及模拟题 M.西安: 西北工业大学出版社,1998,9 3谢克明,刘文定.自动控制原理 M.北京: 兵器工业出版社,1998,9Method for Obtaining System Transfer

18、 Function Based onOpen Loop Logarithm Amplitude Frequency CharacteristicWang Yu1) Yang Jianxin2) Wang Yucai1)1)(Shijiazhuang Institute of Railway Technology2)Shijiazhuang Hebei 050041TaiYuan University of Technology Taiyuan Shanxi 030024 China)Abstract: There are many types of problems on obtaining system transfer function based on open loop logarithm amplitude frequency characteristic. Answer on this type problem is analysed and summarized with some examples.Key words: transfer function link character corner frequency slope79