空间夹角和距离1.doc

1、 1DBA C空间夹角和距离一【课标要求】1能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角和距离；2能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。二【命题走向】空间的夹角和距离问题是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察主要有以下情况：（1）空间的夹角；（2）空间的距离；（3）空间向量在求夹角和距离中的应用预测 2010 年高考对本讲内容的考察将侧重空间向量的应用求夹角、求距离。课本淡化了利用空间关系找角、求距离这方面内容的讲解，而是加大了向量在这方面内容应用的讲解，因此作为立体几何的解答题，用向量方法处理有关夹角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力

2、度题型上空间的夹角和距离主要以主观题形式考察三【要点精讲】1空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角 （1）异面直线所成的角的范围是 。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通2,0(过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决具体步骤如下：利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；证明作出的角即为所求的角；利用三角形来求角（2）直线与平面所成的角的范围是 。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。2,0具体步骤如下：找过斜线上一点与平面垂直的直线；连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；把该角置于三角

3、形中计算。注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若 为线面角， 为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有 ；（3）确定点的射影位置有以下几种方法：斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点

4、落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射2影是底面三角形的内心(或旁心 )；c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；（4）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指 ，解题时要注意图形的位置和题,0(目的要求。作二面角的平面角常有三种方法棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹

5、的角，即为二面角的平面角；空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角斜面面积和射影面积的关系公式： ( 为原斜面面积, 为射影面积, 为斜cosSS面与射影所成二面角的平面角) 这个公式对于斜面为三角形 ,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时,如果能找得斜面面积的射影面积,可直接应用公式,求出二面角的大小2空间的距离（1）点到直线的距离：点到直线 的距离为点到直线 的垂线段的长，常先找或作aa直线 所在平面的垂线，得垂足为，过作 的垂线，垂足为连，则由三垂线定理a可得线段即为点到直线 的距离。在直角三角形中求

6、出的长即可。点到平面的距离：点到平面 的距离为点到平面 的垂线段的长常用求法作出点到平面的垂线后求出垂线段的长；转移法，如果平面 的斜线上两点，到斜足的距离，的比为 ，则点，到平面 的距离之比也为 特别地，nm: nm:时，点，到平面 的距离相等；体积法（2）异面直线间的距离：异面直线 间的距离为 间的公垂线ba,ba,段的长常有求法先证线段为异面直线 的公垂线段，然后,求出的长即可找或作出过 且与 平行的平面，则直线 到平面的距离就是异面直线 间的距离找或作出分别过 且与 ，ba, ,分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线 间的距a ba离根据异面直线间的距离公式求距离。（3）直线到

7、平面的距离：只存在于直线和平面平行之间为直线上任意一点到平面间的距离。（4）平面与平面间的距离：只存在于两个平行平面之间为一个平面上任意一点到另一个平面的距离。以上所说的所有距离：点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点3间的最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离3空间向量的应用（1）用法向量求异面直线间的距离如右图所示，a、b 是两异面直线， 是 a 和 b 的法n向量，点 Ea ，F b，则异面直线 a 与 b 之间的距离是；nd（2）用法向量求点到平面的距离如右图所示，已知 AB 是平面 的 一条斜线， 为n平面 的法向量，则 A 到平面 的距离为 ；ABd（3）

8、用法向量求直线到平面间的距离首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题（4）用法向量求两平行平面间的距离首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。（5）用法向量求二面角如图，有两个平面 与 ，分别作这两个平面的法向量与 ，则平面 与 所成的角跟法向量 与 所成的1n2 1n2角 相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角。（6）法向量求直线与平面所成的角要求直线 a 与平面 所成的角 ，先求这个平面 的法向量 与直线 a 的夹角的余弦n，易知 = 或者 。n,cosn,an,2四【

9、典例解析】abEFABCn1n4题型 1：异面直线所成的角例 1（1）直三棱住 A1B1C1ABC，BCA= ，点 D1、F 1 分别是 A1B1、A 1C1 的中09点，BC=CA=CC 1，则 BD1 与 AF1 所成角的余弦值是（ ） （A ） （B） （C） （D）032530解析：（1）连结 D1F1，则 D1F1 ，/1BBC D 1F1/C/2设点 E 为 BC 中点， D 1F1 BE，BD 1EF 1，EF 1A 或其补角即为 BD1 与 AF1 所成的角。由余弦定理可求得 。故选 A。03cos1AE（2）（ 2009 广 东 卷 理 ） （本小题满分 14 分）如图 6，

10、已知正方体 1BCD的棱长为 2，点 E是正方形 1BC的中心，点 F、 G分别是棱 1,A的中点设点 ,E分别是点 ， 在平面 内的正投影（1）求以 为顶点，以四边形 E在平面 1DC内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（2）证明：直线 1FG平面 1；（3）求异面直线 EA与 所成角的正弦值.解：（1）依题作点 、 在平面 1DC内的正投影 1E、 G，则 1、 分别为 1C、D的中点，连结 1、 G、 、 ，则所求为四棱锥 FD的体积，其底面 1FE面积为 111 EDGRtRtGDSS212，又 面 ， ， 33111ESVFGDFGDE.（2）以 为坐标原点， A、 C、 所在直线分别

11、作 x轴， y轴， z轴，得 )1,20(E、)1,0(，又 ),2(， )2,10(， ),(，则 ),0(1， ,，zyxE1G15D)1,0(1FE， 0(G， 01)(01FEG，即 FEG1，1，又 FE， 1平面 1.（3） )0,2(1G， ),2(A，则 62,cos11EAGE，设异面直线 1E与 所成角为 ，则 31sin.例 2已知正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 2，点 E 为棱 AB 的中点。求：D 1E 与平面 BC1D 所成角的大小（用余弦值表示）解析：建立坐标系如图，则 、 ， ，2,0A,20,， ， ，1,1,B1,2， ，2,0E2,C， ，1

12、,D0,A。0,2B不难证明 为平面 BC1D 的法向量，1C 。113cos, 9AE D1E 与平面 BC1D 所成的角的余弦值为 。点评：将异面直线间的夹角转化为空间向量的夹角。题型 2：直线与平面所成的角例 3PA、PB、PC 是从 P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为 ，那么直线06PC 与平面 PAB 所成角的余弦值是（ ）A. B. C. 2123A1 B1C1D1ABCDExyz6D. 36解：构造正方体如图所示，过点 C 作 CO平面 PAB，垂足为 O，则 O 为正 ABP 的中心，于是CPO 为 PC 与平面 PAB 所成的角。设 PC=a，则 PO= ，故aPD3

13、2，即选 C。3cosPOC思维点拨：第（2）题也可利用公式 直接求得。coscos例 4（2009 北京卷文）（本小题共 14 分）如图，四棱锥 PABCD的底面是正方形， PDABC底 面 ，点 E 在棱 PB 上.（）求证：平面 E平 面 ； （）当 2且 E 为 PB 的中点时，求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小 .【解法 1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力（）四边形 ABCD 是正方形，ACBD， PDABC底 面 ，PDAC ， AC平面 PDB，平面 EP平 面 .（）设 ACBD=O，连接

14、 OE，由（）知 AC平面 PDB 于 O，AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角，O，E 分别为 DB、 PB 的中点，7OE/PD， 12OEPD，又 ABCD底 面 ，OE底面 ABCD，OEAO，在 Rt AOE 中， 2O， 45AOE，即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45.【解法 2】如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系 Dxyz，设 ,BaPh则 00,0,ACaPh，（） ,CDhBa， ,P，ACDP，ACDB，AC平面 PDB，平面 AEB平 面 .（）当 2PD且 E 为 PB 的中点时， 120,2,PaEa，设 ACBD=O，连接 OE， 由（）知 A

15、C平面 PDB 于 O，AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角， 122,0,2EAaaEa， cosO， 45AE，即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45.点评：先处理平面的法向量，再求直线的方向向量与法向量夹角间的夹角转化为线面角。题型 3：二面角例 5在四棱锥 PABCD 中，ABCD 为正方形，PA 平面 ABCD，PAAB a ，E 为BC 中点。（1）求平面 PDE 与平面 PAB 所成二面角的大小（用正切值表示）；8（2）求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小解析：（1）延长 AB、DE 交于点 F，则 PF 为平面 PDE 与平面 PAD 所成二面角的棱，

16、PA 平面 ABCD，AD PA、AB, PAAB=A DA平面 BPA 于 A，过 A 作 AOPF 于 O，连结 OD，则AOD 即为平面 PDE 与平面 PAD 所成二面角的平面角。易得 ，故平面 PDE 与平 PAD 所成二面角的正切值为 ；25tanD25（2）解法 1（面积法）如图ADPA、AB, PAAB=A，DA平面 BPA 于 A, 同时，BC平面 BPA 于 B，PBA 是 PCD 在平面 PBA 上的射影, 设平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角大小为 , cos=S PAB/S PCD= /2 =450。即平面 BAP 与平面 PDC 所成的二面角的大小为 45。

17、解法 2（补形化为定义法）如图：将四棱锥 P-ABCD 补形得正方体 ABCDPQMN，则PQPA、PD，于是APD 是两面所成二面角的平面角。在 Rt PAD 中， PA=AD，则APD=45 。即平面 BAP 与平面PDC 所成二面角的大小为 45。例 6（1）(2009 山东卷理)（本小题满分 12 分）如图，在直四棱柱 ABCD-A 1B C D 1中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E、E 、F 分别是棱 AD、AA 1、AB 的中点。（1） 证明：直线 EE 1/平面 FCC 1；（2） 求二面角 B-FC -C 的余弦值。 解

18、法一：（1）在直四棱柱 ABCD-A 1B C D 1中，取 A1B1 的中点 F1，连接 A1D，C 1F1，CF 1，因为 AB=4, CD=2,且 AB/CD，所以 CD A1F1，A 1F1CD 为平行四边形，所以 CF1/A1D，=/ 又因为 E、E 分别是棱 AD、AA 1的中点，所以 EE1/A1D，所以 CF1/EE1，又因为 平面 FCC ， CF平面 FCC ，所以直线 EE /平面 FCC 1.EA B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 OPEA B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 9（2）因为 AB=4, BC=CD=2, 、F 是棱 AB 的中

19、点,所以 BF=BC=CF,BCF 为正三角形,取 CF的中点 O,则 OBCF,又因为直四棱柱 ABCD-A 1B C D 1中,CC 1平面 ABCD,所以 CC1BO,所以 OB平面 CC1F,过 O 在平面 CC1F 内作 OPC 1F,垂足为 P,连接 BP,则OPB 为二面角 B-FC 1-C 的一个平面角, 在BCF 为正三角形中, 3O,在 RtCC 1F 中, OPFCC 1F,1OPFC 22, 在 Rt OPF 中, 21432BOP,27cos14POB,所以二面角 B-FC 1-C 的余弦值为 7.解法二:（1）因为 AB=4, BC=CD=2, F 是棱 AB 的中

20、点,所以 BF=BC=CF,BCF 为正三角形, 因为 ABCD 为等腰梯形,所以BAC=ABC=60,取 AF 的中点 M,连接 DM,则 DMAB, 所以 DMCD,以 DM 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD 1 为 z 轴建立空间直角坐标系,则 D（0,0,0）,A（ 3,-1,0）,F （ 3,1,0）,C （0,2,0）,C1（0,2,2）,E（ 2,0） ,E1（ ,-1,1）,所以 13(,)2E, (3,10)CF,1(0,)1(3,)F设平面 CC1F 的法向量为 (,)nxyz则 1n所以3xyz取 (,0)n,则 13102nE,所以 E,所以直线 EE 1/平面 FC

21、C 1. （2） (0,2)FB,设平面 BFC1 的法向量为 11(,)nxyz,则 10nFBC所以13yxz,取 1(2,03)n,则 1232,2|()n, 1| 7, EA B C F E1 A1 B1 C1 D1 D x y z M 10所以 1127cos,|n,由图可知二面角 B-FC 1-C 为锐角,所以二面角 B-FC1-C 的余弦值为 7. 【命题立意】:本题主要考查直棱柱的概念、线面位置关系的判定和二面角的计算.考查空间想象能力和推理运算能力,以及应用向量知识解答问题的能力.（2）（2009 安徽卷理）（本小题满分 13 分）如图，四棱锥 FABCD 的底面 ABCD

22、是菱形，其对角线 AC=2，BD= 2，AE、CF 都与平面 ABCD 垂直，AE=1，CF=2.（I）求二面角 BAFD 的大小；（II）求四棱锥 EABCD 与四棱锥 FABCD 公共部分的体积.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识，考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。本小题满分 13 分解：（I）（综合法）连接 AC、BD 交于菱形的中心 O，过 O 作 OGAF，G 为垂足。连接 BG、DG。由 BDAC，BD CF 得 BD 平面 ACF，故 BD AF。 于是 AF平面 B

23、GD，所以 BG AF，DG AF， BGD 为二面角 BAFD 的平面角。由 FCA， 2C，得 4FA， 2G 由 ,OBGD，得 BO11（向量法）以 A 为坐标原点， BD、 AC、 E方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）设平面 ABF 的法向量 1(,)nxyz，则由 10nBF得20yz令 1z，得 2xy， 1(,)同理，可求得平面 ADF 的法向量 2,1n。 由 120n知，平面 ABF 与平面 ADF 垂直，二面角 B-AF-D 的大小等于 2。（II）连 EB、EC、ED ，设直线 AF 与直线 CE 相交于点 H，则四棱锥 E-ABCD

24、与四棱锥 F-ABCD 的公共部分为四棱锥 H-ABCD。过 H 作 HP平面 ABCD，P 为垂足因为 EA平面 ABCD，FC平面 ABCD，所以平面 ACFE平面 ABCD，从而,.PAC由 1,FEA得 23H。又因为 2ABCDS菱 形 故四棱锥 H-ABCD 的体积 12.39ABCDVSP菱 形评析：（1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找证 求”直接简化成了一步曲：“计算” ，这表面似乎谈化了学生的空间想象能力，但实质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神；（2）此法在处理二面角问题时，可

25、能会遇到二面角的具体大小12问题，如本题中若取 时，会算得 ，从)23,1(2n 21,cos1nB而所求二面角为 ，但依题意只为 。因为二面角的大小有时为锐1060角、直角，有时也为钝角。所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角” 。（2）解析：球 的半径是 R= ， 三点都在球面上， 两点和 两点的球O1,ABC,AB,C面距离都是 ，则AOB，AOC 都等于 ，AB=AC， 两点的球面距离是 ，44, 3BOC= ，BC=1，过 B 做 BDAO，垂足为 D，连接 CD，则 CDAD，则BDC 是二面3角 的平面角，BD=CD= ，BDC=

26、，二面角 的大小是 ，BOAC22BOAC2选 C。题型 4：异面直线间的距离例 7如图，已知正方体 棱长为 ，1ABC1Da求异面直线与 的距离1B解法一：连结交的中点，取 的中点，连结1交 于，连 ，则 ，过作交C11A/COM于，则 。/EF又斜线 的射影为， ， 。1BDFEABD,1同理 ， 为与 的公垂线，由于为 的中点，CBAC1,EFC1C ， 。ME121M， ，故,25BaB3532BMEOF ， 3FaaEF32解法二（转化为线面距） 1A11D13A BCD OSxyz图 2因为平面 ， 平面 ，故与 的距离就是到平面CDB1CDB1B1的距离CDB1由 ，即 ，得 B

27、CDV11aha 221343 ah3解法三（转化为面面距）易证平面 平面 ，用等体积法易得到平面CDB1BA1的距离为 。BA1a3同理可知： 到平面 的距离为 ，而 ，1CB1a3aCA31故两平面间距离为 a3解法四（垂面法）如图，平面 ， ，DB1 111,ODBA平面 ，平面 平面 ， ，故 O 到平面1DBCO11CO的距离为 斜边上的高 。1Rt1 aah321解法五。（函数最小值法）如图，在上取一点 M，作 ME BC 于 E，过 E 作 EN BD交 BD 于 N，易知 MN 为 BD 与 的公垂线时，MN 最小。CB1设 BE= ，CE=ME= ，EN= ，xxax2MN=

28、 = = 。2213a3232ax当时 ，时， 。ax3MNmin例 8如图 2，正四棱锥 的高SABCD，底边长 。求异面直线 和SOAB之间的距离？C分析：建立如图所示的直角坐标系，则， ，2(,0)2(,0) 11BC1DO14， ，2(,0)C2(,0)D。S， 。(,)B(,)2CS令向量 ，且 ，,1nxy,nDBS则 ， ， ，0DBnCS(,)2,0)1xy 02xy， 。2xy(2,)异面直线 和 之间的距离为：BDSCOnd2(,0)(2,1),。22105()(题型 5：点面距离例 92009 江西卷文）（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 PABCD中，底面 AB是矩

29、形， PA平面 BCD， 4PA，2AB以 的中点 O为球心、 为直径的球面交 于点 M（1）求证：平面 平面 ；（2）求直线 与平面 M所成的角；（3）求点 到平面 的距离解：方法（一）：（1）证：依题设，在以为直径的球面上，则.因为平面，则，又，所以平面，则，因此有平面，所以平面平面.（）设平面与交于点，因为，所以平面，则，由（1）知，平面，则 MN 是 PN 在平面 ABM 上的射影，所以 PNM就是 C与平面 AB所成的角，OAPB CMDONAPB CMDzxy15且 PNMCDtantan2P所求角为 rc2（3）因为 O 是 BD 的中点，则 O 点到平面 ABM 的距离等于 D

30、 点到平面 ABM 距离的一半，由（1）知，平面于 M，则|DM|就是 D 点到平面 ABM 距离.因为在 RtPAD 中， 4PAD， A，所以 M为 P中点， 2，则O 点到平面 ABM 的距离等于 2。方法二：（1）同方法一；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则 (0,)A， (,04)P， (2,0)B， (,40)C， (,)D， (0,2)M，设平面 AB的一个法向量 nxyz，由 ,nM可得： xyz，令1z，则 y，即 (0,1).设所求角为 ，则 2si3CnP，所求角的大小为 2arcsin3. （3）设所求距离为 h，由 (1,0)(1,20)OA，得： 2AOnh15

31、.（2009 江西卷理）（本小题满分 12 分）在四棱锥 PABCD中，底面 B是矩形， P平面 BCD， 4P，2AB. 以 的中点 为球心、 A为直径的球面交 于点 M，交 于点 N.（1）求证：平面 平面 P； （2）求直线 CD与平面 M所成的角的大小；（3）求点 到平面 A的距离.解：方法一：（1）依题设知，AC 是所作球面的直径，则AMMC 。又因为 P A平面 ABCD，则 PACD，又 CDAD，所以 CD平面，则 CDAM，所以 A M平面 PCD，NODMCBPA16所以平面 ABM平面 PCD。（2）由（1）知， AMPD，又 A，则 M是 PD的中点可得A， 23C则

32、6CMS设 D 到平面 ACM 的距离为 h，由 DACMADV即 268h，可求得 23h，设所求角为 ，则 6sin3， arcsin3。（1） 可求得 PC=6。因为 ANNC，由 PNAC，得 PN 8。所以 :5:9NCP。故 N 点到平面 ACM 的距离等于 P 点到平面 ACM 距离的 59。又因为 M 是 PD 的中点，则 P、D 到平面 ACM 的距离相等，由（2）可知所求距离为5106927h。方法二：（1）同方法一；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则 (0,)A， (,04)P，(,0)B， (2,40)C， (,)D， 2M；设平面 CM的一个法向量 nxyz，由

33、n可得： xyz，令1z，则 (2,)。设所求角为 ，则 6sin3DC，所以所求角的大小为 6arcsi3。（3）由条件可得， ANC.在 RtPA中， 2PN,所以 83,则10NCP, 59，所以所求距离等于点 到平面 CAM距离的 59，设点到平面 M距离为 h则 263n，所以所求距离为5106h927。思维点拔：注意点距，线面距，面面距的转化，利用平面互相垂直作yxzDMCBPANO17距离也是一种常用的方法。例 10（1）(2009 湖北卷理)（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥 SABCD 的底面是正方形，SD 平面 ABCD，SD=2a， 2ADa

34、点E 是 SD 上的点，且 (02)DEa（）求证：对任意的 ,，都有 ACBE（）设二面角 CAED 的大小为 ，直线 BE 与平面 ABCD 所成的角为 ，若tan1g，求 的值 18.（）证法 1：如图 1，连接 BE、BD，由地面 ABCD 是正方形可得 ACBD。SD平面 ABCD， BD 是 BE 在平面 ABCD 上的射影， ACBE（）解法 1：如图 1，由 SD平面 ABCD 知，DBE= ,SD平面 ABCD，CD 平面 ABCD, SDCD。又底面 ABCD 是正方形， CDAD，而 SD AD=D，CD平面 SAD.连接 AE、CE，过点 D 在平面 SAD 内作 DE

35、AE 于 F，连接 CF，则 CFAE，故CDF 是二面角 C-AE-D 的平面角，即CDF= 。在 Rt BDE 中， BD=2a， DE= atn2DEB在 Rt ADE 中, 2,AAa从而 2DEF在 RtC中， tanF. 由 tan1，得222.1.18由 (0,2，解得 2，即为所求.（I） 证法 2：以 D 为原点， ,ACDS的方向分别作为 x，y，z 轴的正方向建立如图 2 所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（ ，0，0），B（ 2a， ，0），C（0， 2a，0），E（0，0a），(2,),(,)CaE20BEa， 即 A。（II） 解法 2：由（I）得 (,)

36、,(,2),(2,)ECaBEa.设平面 ACE 的法向量为 n=(x，y，z)，则由 nAC， 得0,2xz0,2(,2)nEAC即 取 ， 得。易知平面 ABCD 与平面 ADE 的一个法向量分别为 0,DaSa与 （ ， 2,0） .2 2sin,cos4DCnDSBE . 0， ,0，222tansinco24.由于 (0,2，解得 ，即为所求。例 11已知正三棱柱 的底面边长为1CBA8，对角线 ，D 是 AC 的中点。（1）求点10CB到直线 AC 的距离。（2）求直线 到平面1 1的距离。解析：（1）连结 BD， ，由三垂线定理可得：DB1 BA CD1A1B119A CBPEF

37、图7，所以 就是 点到直线 AC 的距离。ACDB1B11在 中 Rt,68022C34BD。211（2）因为 AC 与平面 BD 交于的中点，设 ，则 /DE，所以EC111AB/平面 ，所以 到平面 BD 的距离等于点到平面 BD 的距离，等于点1ABDC11AB1C到平面 BD 的距离，也就等于三棱锥 的高。BD， ， 所以，直线 到BDCBCV11131ShC312h1AB平面 BD 的距离是 。132思维点拔：求空间距离多用转化的思想。例 12如图 7，已知边长为 的正三角形 中，42ABC、 分别为 和 的中点， 面 ，且 ，EFBCAP2P设平面 过 且与 平行。 求 与平面 间

38、的距离？PE分析：设 、 、 的单位向量分别为 、1e、 ，选取 ， ， 作为空间向量的一组基底。2e31e23易知 ，123230123,6,APeEeCe= = = ，F1A()2PAEC1236ee设 是平面 的一个法向量，则123nxey，,EP，即 ，0nAF22212360yex 02yx20直线 与平面 间的距离 =132.neAEdApn113213().e（2009 陕西卷文）如图球 O 的半径为 2，圆 1是一小圆， 1O，A、B 是圆 1O上两点，若 1AB= 2，则 A,B 两点间的球面距离为 .答案: 3 解析:由 12O, AB=2 由勾股定理在 1O圆 中则有 ,

39、 又 1= 2 则 2AB 所以在 AB中 ，AB，则 为 等 边 三 角 形 ，那么 60 . 由弧长公式 ()lr为 半 径 得 2, 3ABlr两 点 间 的 球 面 距 离 .五 【思维总结】1这些角是对点、直线、平面所组成空间图形的位置进行定性分析和定量计算的重要组成部分，学习时要深刻理解它们的含义，并能综合应用空间各种角的概念和平面几何知识（特别是余弦定理）熟练解题。特别注意:空间各种角的计算都要转化为同一平面上来，这里要特别注意平面角的探求；2把空间问题转化为平面问题，从解决平面问题而使空间问题得以解决。求角的三个基本步骤：“作 ”、“ 证”、“算”。3求空间中线面的夹角或距离需

40、注意以下几点：注意根据定义找出或作出所求的成角或距离，一般情况下，力求明确所求角或距离的位置；作线面角的方法除平移外，补形也是常用的方法之一；求线面角的关键是寻找两“足”（斜足与垂足），而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质定理；求二面角高考中每年必考，复习时必须高度重视.二面角的平角的常用作法有三种：根据定义或图形特征作；根据三垂线定理（或其逆定理）作，难点在于找到面的垂线。解决办法，先找面面垂直，利用面面垂直的性质定理即可找到面的垂线；作棱的垂面。作二面角的平面角应把握先找后作的原则。此外在解答题中一般不用公式“cos ”求二面角否则要适当扣分。S求点到平面的距离常用方法是直接法与间接法，利用直接法求距离需找到点在面内的射影，此时常考虑面面垂直的性质定理与几何图形的特殊性质。而间接法中常用的是等积法及转移法；求角与距离的关键是将空间的角与距离灵活转化为平面上的角与距离，然后将所求量置于一个三角形中，通过解三角形最终求得所需的角与距离。A BO1O214注意数学中的转化思想的运用（1）常用等角定理或平行移动直线及平面的方法转化所求角的位置；（2）常用平行线间、平行线面间或平行平面间距离相等为依据转化所求距离的位置；（3）常用割补法或等积（等面积或等体积）变换解决有关距离及体积问题。